Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

18.36 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 394 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

§ 2. БЕСКОНЕЧНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

215.Доказать, что если предел функции f(x) при х->-оо ра

вен а,	то f(x)	можно		представить		в	виде суммы f (x) = а + ф(х),
где ф(х) бесконечно мала при х-»-оо.
Представить в виде такой суммы следующие функции:
\|\	х3 .	0.		ха	0.		1—ха
1)	У - хз— 1»	2)	У - 2хъ+\'		3)
	П р и з н а к и с у щ е с т в о в а н и я п р е д е л а
216*. Функция н„ принимает значения
	1	1	,	1		1	,	1	,	,	1
« 1— 4 , “2— 4 -Г jo* ••• > «л — з						^_1	+	32^.1 +		+	зл_^11
Доказать, что ип стремится к некоторому									пределу при п -+ аа.

217.Функция и„ принимает значения

1	_	1 , 1		1 ,	1	,	I
Ml— 2 »	иъ — 2		“ 2 •4	Ua~ 2*" 2 . 4 ' “ 2 - 4 - 6' ''
					1	, 1 ,	,	1
				**•' U n~	2	2 - 4		........ 2n ’ * * *
Доказать,		что	ип стремится к некоторому				пределу	при п-*- оо.

218. Доказать теорему:

Если разность между двумя функциями при одном и том же изменении независимой переменной бесконечно мала, причем одна

из функций возрастает, другая убывает, то обе стремятся к одному

итому же пределу.

219.Даны два числа и0 и и0 («о<Уо). Члены последователь-

ностей ип и v„ задаются формулами

..	Мо+й) ..	«о + 2г)о.		"i + "i -	“1+ 2^1.
Ы1= —— •		>-	«а— —2— > — з *
вообще
	ы„ =	Un-1 + Vn-l	Vn—	5 ~ •
		2

Доказать иа основе теоремы, приведенной в предыдущей зада че, что обе последовательности и„ и и„ стремятся к одному и тому же пределу, заключенному между «о и и0-

220.Дана последовательность чисел ип:

Hi = ] / б , Но == ] / б + « 1, . . . , Un = К б + « л -1 , ■■■

Доказать, что эта последовательность имеет предел, и найти его.

32	ГЛ. II. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ

§3. Непрерывные функции

221.Функция у определена следующим образом:

у = 0	при х < 0;
у = х	при	1;
у = — х2 + 4 х ~ 2	при	1 = ^ х < 3 ;
у = 4 — х	при х Э гЗ .

Будет ли эта функция непрерывной?

222. Три цилиндра, радиусы оснований которых соответственно равны 3, 2 и 1 м, а высоты одинаковы и равны 5 м, поставлены друг на друга. Выразить площадь поперечного сечения получив шегося тела как функцию расстояния сечения от нижнего осно вания нижнего цилиндра. Будет ли эта функция непрерывной? Построить ее график.

223. Пусть

х + 1, если д ж 1;

{3 — ах\ е с л и х > 1.

При каком выборе числа а функция f(x) будет непрерывной? (Построить ее график.)

224.Пусть

— 2 sin*,	если Ж — я/2;
Л sinx + fl,	если	— я/2 < ;х < л / 2;
cos х,	если	х^ гя/ 2.

Подобрать числа Л и В так, чтобы функция f{x) была непрерыв ной; построить ее график.

225. В каких точках терпят разрывы функции У — - — 2

и у = тгт-nv? Построить графики обеих функций. Выяснить раз-

ннцу в поведении этих функций вблизи точек разрыва.

226.Функция / (x) = не определена при х = 1. Каким

должно быть значение / ( 1), чтобы доопределенная этим значением функция стала непрерывной при х = 1?

227.	Какого	рода разрывы имеют функции V—- J -	и
при л: — 0?	Указать	характер графиков этих функций в	окрест
ности точки х = 0 .			! j£ I
			! j£ I

228. Исследовать непрерывность функции, заданной так: у = ~ при х ^ О , у = 0 при х = 0. Построить график этой функции.

$ 3. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ

(2 2 9 . '‘Сколько точек разрыва (и какого рода) имеет функция

у = ^ , ? Построить ее график.

230. 'Функция «/= arctg-j- не определена в точке х = 0. Можно

ли так доопределить функцию /(х) в точке х = 0, чтобы функция стала непрерывной в этой точке? Построить график этой функции.

231. Исследовать непрерывность функции, определенной так;

/(x) = s in £ при х ^ О , /(0) = 1.

Построить график этой функции.

232. Построить график функции /(x) = xsin " . Какое значение

должно иметь /(0), чтобы функция f{x) была везде непрерывной?

233. Доказать, что функция у-	------ — имеет в точке х = 0
	1+ 2I/JC

разрыв первого рода. Построить схематично график этой функции в окрестности точки х = 0.

234.

Исследовать характер разрыва функции у = 2 *1~х в точке

х = \.

Можно

ли

так

определить

у при х = 1, чтобы функция

стала

непрерывной при х = 1?

21/*_1

235.

Исследовать характер разрыва функции

в точке

х = 0.

f(x)

236.

Функция

определена

следующим

образом:

/(х)=*

= (х +

1) 2

_/JL

х> при

х ^ О

и / (0) = 0. Доказать, что в

интер

Vi *1

вале

— 2 с х < : 2

функция

/(х)

принимает все без исключения

значения,

содержащиеся между /(— 2)

и /(2),

и что она

все же

разрывна (в какой точке?). Построить ее график.

237.

Исследовать непрерывность функции у =

Выяснить

характер ее графика.

238.

Функция

определена

так:

если

х — рациональное число,

то /(х) = 0; если

х — иррациональное

число,

то /(х) = х. При

каком

значении х

эта функция непрерывна?

239. Исследовать непрерывность и построить график функции:

\ )У = х -[х \ , 2) У = ~ Г , 3 ) 0 = ( - 1 ) М .

[Функция [х] равна наибольшему целому числу, не превосходя

щему х (см. задачу 59)j.
240.	Используя	свойства	непрерывных функций,	убедиться
в том,	что уравнение	х5 —Зх = 1	имеет по меньшей мере	один
корень,	заключенный между 1 и 2.

2 С* И- Берман

34 ГЛ. II. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ

241*. Показать, что: а) многочлен нечетной степени имеет по меньшей мере один действительный корень; б) многочлен четной

степени

имеет по меньшей мере два действительных

корня,

если

он принимает хотя бы одно значение,

противоположное по знаку

коэффициенту при его старшем члене.

242. Показать, что уравнение х ■2х =

1 имеет по меньшей

мере

один положительный корень, не превосходящий 1.

243.

Показать,

что

уравнение

x = a s in x + 5 , где

0 < а < 1 ,

Ь > 0, имеет

по

меньшей

мере

один

положительный

корень и

притом не превосходящий

Ь + а .

244*. Показать,

что уравнение

—а\ И— % - Ч—

^ _ = 0,

где

ДС*“ Лх ДС—Аз

Х“—Ajj

aiZ > 0,

a2> 0 ,

аэ > 0

Л-i < 3^ <

Хд,

имеет

два

действительных

корня,

заключенных в интервалах (А*, кд) и

(кг,

кд).

§ 4. Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых

Ф у н к ц и и ц е л о ч и с л е н н о г о а р г у м е н т а

В задачах

245 — 267

найти пределы.

245.

^ .

*246.

Игл

'247.

Нш

11* ■

гпла

л-* оо

«,-*» (* +

и3 — 100n2-f 1

«=249

П т

ЮОО^+Зл» __

2 4 8 '

1 ^ 0

Ю0«а+

15л

•

“ ".O.OOlni-lOOnM-l*

с 950

11т

251

lim

Ч4

(п

Ч*

■ л-?оо (2и+

1)4+ И — Ц1*

252.

lim

«253. Нш

п +

{

л-оо

	Г а д а *			9 Ч Ч

Я - С О			V n * + 1 __________
«256.	Игл {С">-=+4 ~ ^ " 2+ ?-. «257.
п-.ооКл4+2—
О 258.	lim		(«4-3)1	( 259
	n—.оо
260.	Н т	1 + Т + Т +		- , + j"
л-о® H -g- + Q - + - - + ЗЯ
*261.	Н ш -1у(1+2 + 3 + ... + я).
л-»оо		п	2—}—3—* -. —J—л ti\
а 262.		^1
	Нш (-		л + 2	Т j '
П-+ОЭV
263.	Нш (\—2 + 3 —			—2п1
П-¥00

П т	У п ! > - 2 п * + 1 + У И 4 + 1

y w + m + 2 - y r t + M + \ '

п\

Нш (п+ 1)! —л1 *

Н т (п+ 2)!+ (»+ 1Н

$ А.

НАХОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ

264* . lim (-р^ +

2^3 +

•“ +

(п=1)п)-

Л-»OO\e

265‘ i i

(ггз

зТВ +

••■+

W - l ^

l ) )-

* 266. lim J r r .

267.

2 Л — 1

lim *—

П - Ю О *

Я - Ю О -

2" + 1

Функция непрерывного

аргумента

В задачах 268—304 найти

пределы.

« 268.

lim

х2+ 5

о 269

lim /*3

8jc+ 1 |

х - » 2

х2— 3 -

х-»о \

X —4

«270.

lim

* 271.

lim

3 ..

1 - х *

J v i * + * + ' ■

* 272.

Нш

х2 — 2 х + 1

273.

lim

* + * * + *

х -*1

х ® ~ х _____

« 274.

lim

( X - 0 / 2-JC

275.

lim

8^8-

X—.1

X2— 1

1 6 x 2 - 5 * + 1*

Х-» —

‘

> 276.

lim

* ® + х - 2

277JL"? ( п Ь - г ^ д ) -

х3- х 2- х + Г

“

г7а- 1™ [« (» = 3 ? ~ х ‘ -зх+ г\ -

279

х + 2

х — 4

Л.

5 х + 4

3 (х*— Э *+ 2 ) ]"

280.

lim

(т и п —целые

числа).

282.

lim

х‘ - 5 х

ха— Зх +

283‘

2 F + 1 ‘

п о .

1 + х — Зх3

284‘ х

1+ * 2 + ^ 3'

285.

lim

( .**■. —х

')•

286.

lim

х3

х2

\2ха— 1

2х + 1)•

,U *+ i

х -.ю

287.

Пш [ +

в » -Ч № Ч -« + 2 П

x ^ » L 2* +

4х2

J -

288

Н т

(*+ 1)10 + (^+2)1° + ... + (д:+100)Ц|

‘

*-*со

х10+

10м

289.

V * T j+ V T

290

|im

/ g + i - i ^ + T

_________

Х - . + 0 0

>/ Х 3 + Х — X

291.

lim

v^ 7± i ±

2lf * 3^

ж .

Нш

х - +ао

{/х» + хТ+1_дс

•

у х7 + 1

X -*00

36	ГЛ. 11. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
« 293.	lim Ki t * * " 1-,	294. lim — + ,* l .
	x - » 0

295.Нш v & + \ -\

х - о У * 2 - 1 - 1 6 - 4 *

4 297.	lim
	x - l V'* - 1
299.	lim К 1 I f -	1.
	x~o
301,	lim		(a > b).
	x2— a2

296.	lim —	— 1Xt 2 .
	x —.В	* ~ 5
298.	lim ^ - tttz K JL .
	Л—M)	A

300. lim — t -— К * —*

x - » 0

Vx —1

302.lim —-z — (n и tn — целые числа). ■*—* У х —1

303*.				304. l i m ^ + ^ - 3- ± t .
	Х - . 0	* +	* *	Х^1	* - 1
305.	Как изменяются корни квадратного уравнения ajc2 + k t +
+ с = 0,	когда	б и	с	сохраняют постоянные	значения (Ь 0),

авеличина а стремится к нулю?

Взадачах 306— 378 найти пределы.

< 306.	lim (У х + а - У х ) .		307.	lim	{ У ^ + Х - У Т ^ Х ) .
с 308.	Нш	(К х 2+ 1 — х )*).	309.	Нш	х ( у х2+ 1 — х).
	х—* + оо		X-♦ +оо
310.	Нш	(У (х + а ) (х + b) —х).
	Х-++ СО
в 311.	lim	(У х 2 — 2 х - I - У	х 2 — 7х + 3).

х-»+ оо

312.Нш ( К ( х + 1 ) 2 - | / ( х - 1)“2). х-*оо

			а
313.		Iim x 2 0 / x 3 +				l - / x 3 - l ) .
314.		lim	sin Зх		315. lim		igte	316. lim	sin a x
		X-»U	х	‘		x—*o	x	x-»o	sin fix'
317.		lim	tg?x
		х -»о	sin 5x ‘
318.		lim	sin (a't)		(n	и in — целые		положительные числа).
		Q.—►0	(sin a )«*				2x —arcsinx
319.		lim2arcsin3x			x *		2x —arcsinx
319.		lim2arcsin3x			x *	320. lim ix + arctg x '
		X - + 0				X -M )
*)	В	примерах, где				указано х-»-±оо, следует отдельно рассматривать
случаи	j - t + o o			и ^ - т - д а .

		§ 4. НАХОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ					37
			о Т Ш Г -		323.	lim	tga
		322- ^
						a - o * / (l- “ )
324. lim		H -sjn^ -cosx	с 325. нт			•
		1—sin X —COS X		a-*-о	а З .
326.	lim		327.	(	1	i
		tgJ « —sin»a		lim f -		t g JC )•
	a -о			\sin x
> 328.	lim	— * * .	329.		co s*
				lim i л_________

V (!-«ln x)«

* - ? W

*330.	lim ^ 3JC
	» -.n sn2x
332.	lim	sin a
	a — я	i ___ a**
^	H sinV ‘8 l)'

331.	lim	( j - * ) t g * .
	X — —
	Я
« 333.	l i m	( l - z ) t g ? .
	2 -+ 1	*
335.	lim	^ ~ 0sir?- .
	л	cos 2*

X —

336. lim •M)

я/ З x~*j~2— -cos*

338.	lim	fox tg * -	£ Л .
	„	'	cos*/
340.	lim	—sa-*^ cos
	JC—0	**
342	П т	sin2ct-sin 2P
	« - 3	«a- P 2	•

		1 — sin -~
337.	lim	------------------ --------r.
	x- n cos-^- (cos — sin
339.	lim	” ! « + * ) - a * f e - * ) ;
		X
341.	lim	jf a f e + * ) - * » ( a - f t ,
	x - o	t g ( a + * ) _ t g ( a - * )

343.	lim	3111 (a~t~2A) 2 sin (a+ ft)+ s in a
	/1— 0
344.	lim	teJZ +l*) ~ 2 tg («+ ft) + tgд
	л-+ 0	h*
345.	x —о	sin2*	m .	lira
		sin2*		X - + 0	l S X
				X - + 0	l S X
347-	lim	i i n x ^ V ^ 2 x .	348.	lim
	X — 0	tg3-		X - + 0
		tg3-
349.	lim	VQ + ^ t g ^ - '/ i-a rcsin a *
	X - о	V 1 — arcsin 2 x — ]/ l-\|_ a rc tg 2 x
3 5 0 * .	lim

------1 / * + 1

ГЛ. II. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ

: 351. Нш	-)*.	352. lim (1 — j-V ,
х-*а>\Х+х)
	х 4-1

353. lim (1 4- ~Л х .

х —. о о '

х/

з!?- а™с й г-

■ 361. lim ( ] + ± У \

х - . ± о о \ х J

354.	lim	(\ + - ) т *.
	X -.00	\	х !
356-Л тЛ			т 1 ) ~ -
358•Л ? „ ( Й т ) ''
360. lim		(l + 4 ) * .
	X—*00 v		Х'
362.	lim		2 _ 2 + 1\*
			х2 — 4х + 2У в
	X - * с о
			1

363.	Нш (1 -\|-sinx)cosec X'	364.	lim ( j j^ ig iY x fx .
	х -»о
* 365.	li m —l+fat).	366.	iim !.n- i£ + ^ r i £ f .
	х -. О х		X о
«367 .	lim { х [In (дс + а) — In х]}.

368.

V'371.

____

374.

lim	In X— 1		"369.		lim ah /t 1'
lim	, x — e	'	"369.		lim ah /t 1'
					Й-»0
lim	ex — e		v		1-	e*‘ — coex
lim	x - l •			372*. lim ------ x— .
X —♦ 1	x - l •				дс-»о
_	g S ln 2 x _ esinx		\			gax_gbx
lim-		-.	' 375.		lim
x - . 0					x - *	0

V.. ft*_1

370.lim Ц - i .

x -»o a x

373. lim e* —e~x x _ 0 sin *

V376. lim x	377. lim (chx — shx).	378. lim thx .
X - » 0 0	X - . + 00	X - . + 00

Ра з н ы е п р е д е л ы

Взадачах 379— 401 найти пределы.

379.	lim	Отдельно рассмотреть			случаи, когда	п есть:
х-.ОО х "Ь-”					отрицательное	число,
1) целое	положительное число, 2) целое				отрицательное	число,
3) нуль.
380.	lim	х ( ] / х 2 + ]/х4+	Г - х ] / 2 ) .
х -*± с о		4
381.	lim	( а > 0).	382.	lim	( a > 0 ) .
X - > ± 0 0				<-♦+ 00
383.	lim	X	384.	lim
V _ /V4		X
X - * 0 0

§ 4. НАХОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ

385.	lim		386.	lim arcsin x
	* - » * + « « *
^	j.	sin (a+ 3ft) — 3 sin (a +	2ft) +	3 sin (a + ft) —sin а
	A™		W	‘	_	ч
388.	lim	tg » x (V 2 sm®x +	3 s in x 4 - 4 —l/sin2x +		6 sin x +	2)-
	Х-.Я/2
389.	lim	i_- c < s (i-c o M	з90*	ф lim (COs 4 c o s 4 - ... c o s £ ) .
	JC-*0

391.	lim x® (l —co s--V				392.
	К - * CO	\		X /
393* ‘
394.	Urn. x (arctg			-	arctg
396.	lim	(l +	i ) *	( n > 0 ) .
398.	lim
400.	lim (cosx +		sinx)*
	дс —в

lim (co sV ’x + T		— co sY * ) '
X - * CO
395*.	lim	arcsinx — a r c tg *
	x - + 0
397*.	lim (cos x)4iIlJ£*
	i-*0		sin X
			sin X
399i.	lim	(—	x — s i n *
399i.	lim	(—	V
		V *	I

401. lim (cosx-|-asin6x)*

	С р а в н е н и е б е с к о н е ч н о м а л ы х
402. Бесконечно малая				величина		ип принимает			значения
Hi	,	l	2 »	l	з *	••■•	Ип	1
	11	и%		из				^ » . . . \|
а бесконечно малая		величина vn —соответственно значения
	,	l		l		•••»	&п	1
Vi 1»		У* — 21*		®а— 31»				„\|>
								а!’
Сравнить и„	и v„; какая		из них		высшего		порядка		малости?

403.Функция и„ принимает значения

п	«2	3	8	ип -	га2— 1
и1 = о,	«2	= g ,	и3 = 27» •1•'	ип -	гаа

а функция vn— соответственно значения

О	5	10	n2+	1
V i *•% V2	g \| V 3	27» ■•• » Vn	jp	» ••.

Сравнить эти бесконечно малые величины.

404.Бесконечно малая величина иа принимает значения

1	2	ti_1	I
Hi ~ 0»	«3= 9-» •••I	Ия — п2 I	I

40	ГЛ. II. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
а	бесконечно малая	величина	v„ —соответственно		значения
	О	5	7	2п +	1
	Ul — 3, V2 •— 4 ■ £3— 9 * * * * ^п— да > * * •

Убедиться в том, что ип и v„ —бесконечно малые одного порядка,

но неэквивалентные.	1_у	.--
405. При х ~ * - 1 функции у — утг		и у = \ — у х бесконечно

малы. Которая из них высшего порядка малости?

406. Дана функция у = х3. Показать, что Ау и Ах при Ах-^-0

ипри х ^ О являются бесконечно малыми одного порядка. Проверить, что при х = 0 величина Ау бесконечно малая более

высокого порядка,				чем Ах.
При каком значении х приращения Ах и Ау будут эквива
лентными?
407. Убедиться				в том, что при х —>-1 бесконечно малые вели
чины	1 —х и		1 —Y x будут			одного порядка малости. Будут ли
они эквивалентными?						______		_
408. Пусть х -* -0 .					Тогда	Y a + x' — V a			( а > 0 ) будет беско
нечно малой величиной. Определить порядок										ее относительно х.
409. Определить порядок относительно х функции, бесконечно
малой при х -» -0:
1)		+ 1000**;		2) У * - У		х ;	3)			4)
410.		Доказать,		что	приращения		функций и = а)/х				и v = bx*
при х > 0 и при общем приращении Д х-*-0									будут одного порядка
малости. При			каком значении х они будут						эквивалентными (а и
Ь отличны от			нуля)?
411.		Показать,		что	при	х - > 1	бесконечно			малые	величины
1 - х	и	а ( 1	- Ы	где а Ф 0 и k — целое					положительное число,

будут одного порядка малости. При каком значении а они будут

эквивалентными?

412. Доказать, что при х->-я/2 функции secx — tgx и я — 2х будут бесконечно малыми одного порядка. Будут ли они эквива

лентными?
413. Доказать,		что	при х -» -0 бесконечно малые величины
е2х __ех и sin2x — sinx			будут эквивалентными.
414. Определить порядок относительно х функции, бесконечно
малой	при х - > 0 :
1) У 1 + Y ~ x - 1; 2) V l + 2 i - l - V x ; 3) е ^ - 1 ; 4)
5)	In (1 + У х sinx);		6) l A	+ x 2 tg	;	7) е* - cos х;
8)	е*2—cosx;	9) cosx->/ cosx;			10)	sin(y'l + x - l);
11)	1п(1 + х * ) - 2 У ( е * - 1 ) 2;			12) arcsin(K4 + x2- 2 ) .

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 394 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202313.31 Mб18Сборник задач и упражнений по импульсной технике..pdf
#
20.11.202310.44 Mб1Сборник задач по аналитической геометрии.-1.pdf
#
12.11.20238.94 Mб8Сборник задач по аналитической геометрии..pdf
#
19.11.202327 Mб24Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс..pdf
#
19.11.202346.05 Mб1Сборник задач по высшей математике. 2 курс.pdf
#
20.11.202318.36 Mб4Сборник задач по курсу математического анализа.-1.pdf
#
12.11.202319.54 Mб35Сборник задач по курсу математического анализа..pdf
#
19.11.202328.16 Mб3Сборник задач по курсу физики с решениями..pdf
#
20.11.20237.63 Mб16Сборник задач по общей физике.-1.pdf
#
12.11.20235.33 Mб27Сборник задач по общей физике..pdf
#
12.11.20236.71 Mб41Сборник задач по подземной гидравлике..pdf