книги / Элементы автоматики и счетно-решающие устройства
..pdfВоспользовавшись формулой |
(5.7), легко показать, что при' |
£у» 1 схема рис. 5.13, а может |
выполнять операцию умножения |
входного сигнала на постоянный коэффициент, равный Ro/R. Дей
ствительно, в этом случае
^ „ ы х = - у |
(* !+ £ * ). |
(5.12)' |
Если отношение Ro/R= 1. то такой |
усилитель выполняет |
функции |
перемены знака входного сигнала. |
|
|
5. 2. 2. Дифференцирование и интегрирование |
|
|
электрических сигналов |
|
Д и ф ф е р е н ц и р о в а н и е с п о м о щ ь ю т р а н с ф о р м а т о р а . Если переменное напряжение и, пропорциональное диффе
ренцируемой величине, подается на первичную обмотку электриче-
ского трансформатора |
(рис. 5.14), г вторичная обмотка трансфор- |
|||
матора |
работает |
на |
нагрузку |
|
с достаточно большим |
сопротив |
|||
лением |
(например, |
электронный |
||
усилитель), когда |
можно прене |
|||
бречь величиной тока k во вто |
||||
ричной |
обмотке, то величина на |
|||
пряжения на вторичной обмотке, |
||||
как известно, может |
быть запи |
|||
сана в виде |
|
|
Рис. 5. 14. Дифференцирование |
|
|
|
|
|
с помощью трансформатора |
где М — взаимная индуктивность первичной и вторичной обмоток;
i\ — ток в первичной обмотке. |
|
|
|
|
||||||
Если R i+ R n — активное |
сопротивление |
первичной цепи транс |
||||||||
форматора, a T i= — —— |
—ее постоянная времени, то в рассмат- |
|||||||||
|
^?1 + |
/?д |
|
|
|
|
|
|
||
риваемом случае справедливо следующее уравнение: |
|
|||||||||
|
^£вых |
, |
^ВЫХ |
М |
|
da |
^ da |
(5.13) |
||
1 |
at |
1 |
R\ -f- /?д |
dt |
dt |
|||||
|
||||||||||
Если Tj |
« ^вых» |
то |
выходное |
напряжение трансформатора |
||||||
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ua |
|
|
м |
d a __^ da |
(5.14) |
||||
|
|
|
t f i -ЬЯд |
dt ~~ |
H i' |
|||||
|
|
|
|
|
|
т. e. пропорционально производной от и по времени и коэффи циенту передачи k.
Е м к о с т н о - а к т и в н ы й к о н т у р . Рассмотрим электриче ский контур (рис. 5.15), состоящий из конденсатора с емкостью С
и активного сопротивления R, к входным зажимам которого прило жено напряжение и, пропорциональное преобразуемой величине.
Заряд конденсатора
Q— Cuc. |
(5.15) |
Любые изменения напряжения и будут вызывать соответствую
щее изменение заряда конденсатора, т.. е. по величине изменения напряжения на конденсаторе можно судить о всех изменениях на пряжения и, происходящих за некоторый интервал времени t. Сле
довательно, напряжение на конденсаторе (рис. 5.15, а) пропорцио нально интегралу от напряже ния и за время t.
Ток в контуре
|
|
dQ |
(5.16) |
|
|
i = ^ L |
|
|
|
dt |
|
|
появляется только в моменты из |
||
|
менения напряжения |
и пропор |
|
|
ционален величине скорости этих |
||
Рис. 5. 15. Емкостно-активный «кон |
изменений. |
Если напряжение и |
|
постоянно |
по величине, то заряд |
||
тур |
Q конденсатора постоянен, а зна |
||
|
чит, ток i |
в контуре равен нулю. |
Следовательно, по величине падения напряжения «я на сопротив лении R (рис. 5.15,6) можно судить о скорости изменения напря жения и. Другими словами, напряжение мн пропорционально произ водной от напряжения и по времени.
Покажем справедливость и пределы применимости приведенных
рассуждений. На основании равенств (5.16) |
и (5.16) ток в контуре |
л du„ |
|
i — C — £- |
|
dt |
|
и падение напряжения на сопротивлении R |
|
du „ |
(5.17) |
iR = R C ^ ~ |
|
dt |
|
Приложенное к контуру напряжение и должно быть равно сумме |
|
падений напряжения на С и R: |
|
и = «с + «я- |
(5-18) |
Подставляя сюда значение uR из формулы (5.17), получим сле
дующее уравнение для контура:
d u ,
d t
И Л И
и
RC 'RC
тис + \ ис d t= j' tidt. |
(5.19) |
Если подобрать произведение RC=x настолько большим, что
вторым членом в левой части равенства (5.19) можно пренебречь по сравнению с первым, то приближенно
t |
t |
|
^ u d t = - ^ ^ u d t, |
(5.20) |
оо
т.е. выходное напряжение пропорционально интегралу от входного
напряжения.
Чем меньше величина RC=т, называемая постоянной времени контура, и чем медленнее изменяется входное напряжение и, тем
скорее проявляется погрешность интегрирования, так как выходное напряжение «с точно определяется равенством (5.20) только для начального момента времени (при < т ). Увеличение т повышает точность интегрирования, однако оно приводит к уменьшению абсолютной величины ис, что затрудняет использование интегри
рующего контура. Наиболее хорошие результаты получаются в том случае, когда при большой величине х увеличение абсолютного зна чения ис достигается с помощью электронного усилителя.
Аналогично можно проанализировать и процесс дифференциро вания, когда выходное напряжение ивых=ин снимается с сопротив ления R (рис. 5.15,6). Для этого продифференцируем равенство
(5.18):
|
du |
duc |
dUR |
|
(5.21) |
|
|
~dt |
dt |
dt |
|
||
|
|
|
||||
Из |
равенства (5.17) |
|
|
|
|
|
|
|
duc |
.. . UR |
|
|
|
|
|
dt |
|
RC ' |
|
|
Подставляя это значение в формулу (5.21), найдем |
|
|||||
|
du |
И Л И |
T |
du |
du |
(5. 22) |
|
dt |
— — + |
И р = Т — . |
|||
|
|
|
dt |
dt |
|
|
Если выбрать постоянную контура x=RC настолько малой, что |
||||||
можно |
пренебречь первым |
членом |
левой |
части равенства |
(5.22) |
|
по сравнению со вторым, то получим приближенно |
|
|||||
|
1гл « т — = R C — , |
|
(5.23) |
|||
|
R |
dt |
|
dt |
|
7 |
т. e. напряжение, снимаемое с сопротивления R, пропорционально производной от и по времени t.
Чем больше т, тем в этом случае больше инерционная погреш ность контура, т. е. тем больше время, необходимое для того, чтобы после изменения и напряжение «я точно определялось равенством
(5.23). С уменьшением т инерционная погрешность уменьшается,
но вместе с тем уменьшается и абсолютная величина напряжения UR , т . е. затрудняется его измерение. Поэтому для дифференциро вания быстро меняющегося напряжения и, выбирая малую х, необ
ходимо применять электронный усилитель для повышения абсо лютного значения uR.
Чтобы уяснить себе физический смысл влияния величины т, рассмотрим точное решение уравнения (5.22) для частного случая,
когда входное напряжение и |
изменяется по линейному |
закону |
во времени, т. е. |
|
|
Точное решение уравнения (5.22) в этом случае имеет вид |
|
|
uR= x ^ |
- ( l - e -'Л). |
(5.24) |
a t |
|
Из этого выражения видно, что теоретически равенство (5.23) будет справедливо лишь через бесконечно большое время, прошед шее с момента начала изменения величины и. Практически же при
достаточно малой т погрешность дифференцирования, определяе мая членом е~Чх, будет достаточно малой уже через небольшой
интервал времени.
Действительно, если, например, 7?= 100 ом и С =1 мкф, то
т = Я С = |
10 0 - Ы 0- 6= 1 0 - 4 сек |
|
|
|
da |
и после некоторого изменения и, происшедшего со скоростью — = |
||
|
|
dt |
= 1 в/се/с, уже через |
/ = 0,001 сек величина выражения в скобках |
|
в формуле (5.24) |
|
|
|
|
0,001 |
(1 _ в - //т ) = |
1 _ в |
10-4= 1 -0 ,0 0 0 0 4 5 = 0 ,9 9 9 9 5 5 , |
определяющая погрешность дифференцирования, отличаются от единицы не более чем на 0,005%.
Однако при этом абсолютную величину напряжения uR
И п=т — = 10 - 4-1 = 0,0001 в dt
уже трудно измерить и следует применять усилитель.
Ин д у к т и в н о - а к т и в н ы й к о н т у р . Дифференцирование
иинтегрирование могут быть выполнены с помощью электриче ского контура, составленного из активного сопротивления R и ин дуктивности L. Индуктивно-активный контур получил, однако, зна
чительно меньшее применение для задач дифференцирования и интегрирования, чем емкостно-активный контур, по чисто прак тическим соображениям.
К о м б и н и р о в а н н ы е е м к о с т н о - а к т и в н ы е к о н т у - р ы. Совершенно очевидно, что при последовательном соединении двух дифференцирующих контуров (рис. 5.16, а) выходное напря жение пропорционально второй производной от входного. Если поменять местами С и R, то такая схема позволит осуществить
двойное интегрирование входного сигнала. При этом все замечания, высказанные относительно емкостно-активного контура ранее, остаются в силе. Контур, показанный на рис. 5.16,6, позволяет получить на выходе напряжение, пропорциональное сумме входного
я,
Рис. 5. 16. Комбинированные емкостно-активные контуры
напряжения и его первой производной, а контур, |
представленный |
|
на рис. 5.16, в, — напряжение, пропорциональное |
сумме |
входного |
напряжения и его интегралу. Все последующие |
выводы |
сделаны |
для режима холостого хода (#н=оо) |
контуров. |
Для схемы на рис. 5.16, а при достаточно малой т = RC анало |
|
гично (5.23) получим |
|
.2 |
(5.25) |
dt2 '
Для схемы на рис. 5.16,6 можно записать
о
Если продифференцировать второе равенство и подставить в него ток
• ___ И в ы х ___ и |
ц вы х |
|
С _ R2 |
Rx |
’ |
найденный из первого равенства, то после простейших преобразо
ваний получим, обозначая R\C=X\ и R\ -Ь =А:
|
Ат, ^ |
+ |
ивы1= А (т, ^ + « ) . |
(5.26) |
Если Ат, ^ц°ых |
ивых, то |
найдем |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
<5- 27) |
Физически этот результат можно понимать как создание на сопро тивлении Ri дополнительного падения напряжения за счет тока перезарядки емкости С при изменении входного напряжения. Если
соединить последовательно два таких контура, то результирующее выходное напряжение
<5- 28>
т. е. пропорционально сумме сигнала и его первой и второй произ водных.
Для схемы на рис. 5.16, в можно записать
; __И — ивых
~ |
Ri |
’ |
|
|
t |
«вых= № 2 -\-uc = |
iR2 + |
^ j' idt. |
|
|
о |
Подставляя первое равенство во второе, получим после простей
ших преобразований, обозначая (#, + Rz)C=x и -----—— =А:
|
|
|
R \ |
-г /?2 |
* |
|
|
/ |
|
«вы* + “ j «выхdt-= |
ku + |
- i - j* и dt. |
( 5 . 2 9 ) |
|
О |
|
|
о |
|
t |
|
|
|
|
Е сли - i - |'^ВЫХЛ <^^ВЫХ, то |
выходное |
напряжение |
|
|
о |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
ыХ~ |
^ + |
" 7 |
|
(5 .3 0) |
о
т. е. пропорционально сумме входного сигнала и его интеграла.
Д и ф ф е р е н ц и р о в а н и е |
с и г н а л о в ' п е р е м е н н о г о |
|||
тока. Сигналы переменного тока |
можно |
дифференцировать |
при |
|
помощи рассмотренных выше |
схем |
после |
предварительного |
пре |
образования их в сигналы постоянного тока (см. разд. 2.1). Диф ференцирование можно осуществить и непосредственно с помощью емкостно-активного фильтра, показанного на рис. 5.17, а.
Фильтр настраивается на частоту ©о переменного входного сиг нала u=Umsin (o0t- Если амплитуда входного сигнала постоянна,
Рис. 5.17. Контур для дифференцирования сигнала переменного тока
то напряжение С/'ых на выходе фильтра равно нулю, так как он
не пропускает эту частоту. Если амплитуда входного сигнала изме няется с частотой юс, т. е. Um—Umsina>ct (рис. 5.17,6), то
u — Umsin wct • sin (D0/.
Это выражение можно представить в виде
U = - y U m[qos (ш0— с»с) t —cos (ш0- f шс) /].
Следовательно, входное |
напряжение |
теперь имеет частоты |
||
соо—©с и |
юо+Юс, |
отличные |
от частоты юо настройки фильтра, |
|
и на его |
выходе |
появится |
напряжение |
£/”ых, тем большее, чем |
больше юс, т. е. пропорциональное производной входного сигнала. Чтобы получить на выходе схемы напряжение, пропорциональное сумме сигнала и его производной, фильтр подключают ко входу
при помощи делителя напряжения Ri—R2. Тогда действующее на
пряжение на выходе схемы будет равно
|
и вы х |
И вы х + и вы х |
*1 |
и. |
- sin и)ct -j- |
|
|
|
|
+ Я2 |
|
|
|
„ V |
• 5^ |
• - 7 = - cos 0)J — klUmsin |
+ |
cos »cf, |
(5.31) |
|
Л1 + /?2 |
2<o0 |
У 2 |
|
|
|
|
т. e. пропорционально сумме входного сигнала и его производной.
Д и ф ф е р е н ц и р о в а н и е |
и и н т е г р и р о в а н и е с при |
м е н е н и е м у с и л и т е л е й с |
о б р а т н о й с в я з ью. Примене- |
R |
|
Рис. 5. 18. Дифференцирование и интегрирова ние с применением усилителей
ние на выходе рассмотренных схем обычного усилителя увеличи вает выходное напряжение, но не устраняет принципиальных по грешностей дифференцирования и интегрирования, определяемых величиной постоянной времени т. Кроме того, изменение коэффи циента передачи усилителя ky вследствие нестабильности его пара метров и изменения сопротивления нагрузки RH на выходе усили
теля вносит дополнительную погрешность.
Применение усилителей, охваченных обратной связью (рис. 5.18), значительно ослабляет эти недостатки. Рассмотрим эти схемы, при отсутствии сеточных токов и нечетном числе каска дов усилителя (на рис. 5.18 приведены примеры простейших одно каскадных дифференциатора и интегратора).
Для схемы на рие. 5. 18, а можно записать
■+ ив |
|
£ _ _ и ВХ---- и ВЫХ _ _ |
|
ивх= и - и с =*и— - [ i d t = |
- - ^ - . |
С j |
ky |
Продифференцировав второе равенство и подставив в него пер вое, найдем после простейших преобразований, обозначая RC= тг
|
duB |
|
ky |
|
da |
|
(5.32> |
|
|
1 “Ь ky |
dt |
|
1 |
ky dt |
|
||
|
|
|
|
|||||
По |
сравнению со |
схемой |
на |
рис. 5.17, б |
постоянная |
времени) |
||
уменьшается в (l-f -£ y) |
раз (при члене а“вых \ . Если &у]^>1 |
х. |
||||||
|
|
\ |
|
dt |
/ |
|
|
1+«у |
х ^ |
« « ,вых, то выходное напряжение |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
da |
|
|
|
(5 .33)> |
|
|
и^ |
- |
%71 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
не зависит от величины k y при |
почти полном |
отсутствии |
принци |
|||||
пиальной погрешности |
дифференцирования, |
так как |
1 + ky очень |
|||||
мало. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для схемы на рис. 5.18,6 можно записать |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Мпых |
|
|
|
|
|
|
U — |
U ВХ |
«+■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 = - |
|
|
|
|
|
|
-ис+ и вт — Jidt+ u .
Подставляя первое равенство во второе, после простейших пре образований, обозначая RC=т, получим
ив |
----------- ^ ивых d t= — |
— . - ky [ и dt. |
(5. 34> |
|
|
т (1 + ky) 0 вых |
|
т 1 + * у ) |
|
|
о |
|
о |
|
По сравнению со схемой на |
рис. |
5.17, а постоянная времени |
||
при члене J ивыхdt'j увеличилась |
в ( l - f £ y) раз. |
|
Если £у^>1 и —j; ишхd t цвых, то выходное напряжение
|
Т (1 “р |
Ку) J |
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
^ВЫХ ~ |
~ |
^ tl dt |
|
(5. 35) |
не зависит от величины ky при почти |
полном |
отсутствии принци |
||||
пиальной |
погрешности |
интегрирования, так |
как т ( 1 + £ у) |
очень |
||
велико. |
|
|
|
|
|
|
С х е м а э л е к т р о м е х а н и ч е с к о г о и н т е г р и р о в а н и я |
||||||
(рис. 5. 19) |
применяется, если в качестве выходной величины необ |
|||||
ходимо иметь угол поворота. Эта |
схема позволяет получать |
инте- |
L |
UT |
0---------- |
-------------------------------------------- |
Рис. 5. 19. Схема электромеханического интегриро вания
грал как постоянного входного напряжения, так и амплитуды оги бающей напряжения переменного тока, а также использовать для интегрирования электродвигатели, не обладающие линейной зави симостью скорости вращения от приложенного напряжения.
На валу электродвигателя ЭД установлен токогенератор ТГ,
напряжение |
ит = 6тсо которого «вычитается на |
входе усилителя У |
из входного |
напряжения и. Следовательно, |
на электродвигатель |
всегда поступает усиленная разность напряжений
U 3 = k у ( U — & T U>).
Если вращающий момент электродвигателя выражается зави симостью обычного вида
Мвр = Мэ — *а«.
то, подставляя сюда иэ, получим выражение
Мвр = kxkyu —kxkykTu — £2U),
из которого можно найти величину со:
da |
1 |
Мв р |
dt |
|
-и • |
|
k 2 ~г k \ k j k y |
&Г“Ьk\kv
где а — угол поворота вала электродвигателя.