книги / Электромагнитные эффекты в твердых телах
..pdf1.10. Материальные постоянные теории пьезоэлектричества |
31 |
Способ преобразования коэффициентов сцм, еы], эц при из менении системы координат приведен в руководствах по тео рии упругости и кристаллографии. Здесь укажем только окончательный вид формул преобразования при повороте си стемы координат.
Обозначив материальные константы в системе координат
Xt через |
capve, |
эа/5 (а, |
р, Y, 6 = 1, 2, 3), а |
в системе |
|
х\ через |
c'l}kl, ekijt |
эц (/, |
/, |
k, / = 1, 2, 3), имеем |
следующие |
формулы преобразования: |
|
|
|
||
(4) |
|
Cijkl ~ |
n’utl№nkynl6cafiyв’ |
|
|
(б ) |
|
ekij ~ |
nkyniani$eya$* |
|
|
(6) |
|
3{j — nian.ftэар. |
|
Здесь через /г,а, ... обозначены косинусы углов между осями х\ и ха, приведенные в нижеследующей таблице:
|
Хг |
х г |
Хз |
< |
Пц |
*Нг |
Идз |
(7) |
|
П22 |
Пгз |
Хг |
п 21 |
||
Хз |
п 31 |
п 32 |
П33 |
Коэффициенты Сцм, э,-/ с учетом соотношений симметрии
(3) представлены в виде следующих матриц:
СП 1 1 СП 2 2 |
^1133 |
е11 33 |
|
С1 Ш |
|
|
|
^2222 |
с 2233 |
с 2223 |
^3231 |
с 2212 |
Эц |
2 |
9l3 |
|
|
|
|
|
|||
(8) |
С) ЗЭЗ |
СЭЭ23 |
С33‘31 |
^3312 |
|
Э22 |
з « |
|
С2 3 2 3 |
^2331 |
c 2 3 l 2 |
|
|||
|
|
|
|
Э33_ |
|||
|
|
|
С313Х |
СЗ П 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
С2212_ |
|
|
|
Выписаны только члены, расположенные выше главной диа гонали матрицы; члены ниже главной диагонали относитель но нее симметричны. Представим также матрицу коэффи-
32 |
f'ji. I. Основы линейной теории пьезоэлектричество |
|||
|
|
|
||
циентов вы'- |
|
|
||
|
Ч11 |
е2Ц |
е з ц |
|
|
Ч22 |
е г г г |
е з г г |
|
( 9 ) |
Ч3‘3 |
е г з з |
е 333 |
|
Ч 23 |
е г г г |
е 323 |
||
|
||||
|
Ч31 |
е 231 |
е 331 |
|
|
_ 4t2 |
*212 |
e 3 i 2 |
Мы видим, что в матрицах (8) содержатся 21 независимая константа Сцы и 6 независимых констант эц. В матрице (9)
мы имеем дело с 18 независи мыми константами е*//. Такое \ число постоянных отвечает
кристаллам триклинной систе мы класса 1. Это кристалли ческая решетка с наименьшей симметрией. Прямые векторы решетки различны между со бой; не равны и каждые два угла, заключенные между ними (рис. 1).
а |
^ |
В триклинной системе су |
Рис- 1* |
|
ществуют две возможные сим- |
|
метрик. Элементарная ячейка |
|
|
|
кристаллической решетки мо |
жет остаться искаженной или неискаженной при инверсии относительно точки. Преобразование относительно центра
симметрии |
(инверсия) |
состоит в |
переходе точки (хь х%, Хъ) |
|||
в положение (—х\, —х2, —х3). При преобразовании |
системы |
|||||
координат |
относительно |
центра |
симметрии коэффициенты |
|||
л/а, |
• • • |
принимают |
значения |
—6/а, —6,@, . . . . |
Из фор |
|
мул (4) |
и (6) получаем |
|
|
|
|
|
( 10) |
|
Cijkl — |
|
|
Cl!kV |
|
|
Э1{ ~ |
^<‘сАрЭаР == Э//’ |
|
|||
|
|
|
||||
Коэффициенты с\1Ы, |
|
описывающие эффект упругого ди |
электрика, должны быть в случае инверсии такими же, как до преобразования. Это условие не выполняется для пьезо электрических коэффициентов еьц, так как, принимая во вни мание (5), имеем
(И) |
е кЦ в |
^ftY^<Ape YaP |
e W ‘ |
|
1.10. Материальные постоянные теории пьезоэлектричества |
33 |
Если |
кристалл имеет центр симметрии, то должно |
быть |
e'kij= |
ekij• В результате имеем |
|
(12) |
ekl] = 0. |
|
Поэтому кристаллы, имеющие центр симметрии (централь но-симметричные), не проявляют пьезоэлектрического эффек та. В дальнейшем мы будем рассматривать кристаллы без центра симметрии.
Значительное уменьшение числа независимых материаль ных постоянных получаем для кристаллов, имеющих двукрат ную ось симметрии. Говорят, что кристалл имеет ось сим метрии л-го порядка, если внутренняя энергия и напряжения остаются неизменными при.каждом повороте вокруг этой оси на угол 2п/п. В случае двукратной оси симметрии при ка ждом повороте системы координат вокруг этой оси на угол 180° число постоянных, отличных от нуля, в повернутой си стеме координат должно быть тем же самым. Примем, что ось х\ является двукратной осью симметрии.
Рассматриваемая система называется моноклинной (кри сталлического класса 2). В матрицах (8) остается 13 коэф фициентов сцм и 4 коэффициента эц. Матрицы (8) прини мают здесь вид
СШ I С1 1 2 2 |
С1133 |
СХ123 |
0 |
0 |
|
|
С2 2 2 2 |
С2 2 3 3 |
с 2 2 2 3 |
0 |
0 |
0 |
(Г |
(13) |
С3333 |
С3 3 2 3 |
0 |
~Эц |
||
> |
3,22 |
Э23 |
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
С 2 3 2 3 |
0 |
0 |
|
ЭЗЭ_ |
|
|
|
С3131 |
СЗ П 2 |
|
|
|
|
|
|
|
СШ2
Вычисляя коэффициенты е**/ для рассматриваемого моно клинного кристалла, получим матрицу
|
еП1 |
0 |
0 |
|
|
|
е 122 |
О |
0 |
|
|
(14) |
^133 |
0 |
0 |
|
|
®123 |
О |
0 |
* |
||
|
|||||
|
|
e 2 3 i |
б331 |
|
|
|
_ 0 |
е212 |
^312_ |
|
Имеем в этом случае 8 независимых пьезоэлектрических по стоянных ekif.
Рассмотрим моноклинную систему в предположении, что двукратная ось симметрии параллельна оси х$. Тогда полу-
2 Зон. 516
34 Гл. 1. Основы линейной теории пьезоэлектричества
чим следующие матрицы:
CJ11I C l \ 2 2 |
^1133 |
0 |
0 |
^3112 |
|
0 |
0 |
бЗИ |
|
|
C l l l l |
С 2 2 3 3 |
0 |
0 |
С2212 |
|
0 |
0 |
*322 |
Э] 1 |
3,2 0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
||||||
05) |
Озззз |
С331.2 |
|
*333 |
|
0 » |
||||
|
С2323 |
С2331 |
0. |
9 |
е123 |
С223 |
0 |
|
||
|
|
|
. |
33J. |
||||||
|
|
|
СЗХ31 |
0 |
|
*131 |
£’31 |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
С1212_ |
|
0 |
0 |
*312 _ |
|
|
В случае когда двукратной осью симметрии является ось д'2, имеем матрицы
С!Ш *1122 |
С 1 1 33 |
0 |
С 1 1 3 \ |
0 |
|
|
0 |
е 2 ц |
0 |
|
|
С 2 2 2 2 |
*2233 |
0 |
^2231 |
0 |
|
|
0 |
& 2 2 2 |
0 |
9JU |
О э13 |
(16) |
*зззз |
0 |
*3331 |
0 |
|
|
0 |
*2эз |
0 |
||
9 |
' |
|
922 ^ • |
||||||||
|
*2323 |
0 |
*2312 |
*123 |
0 |
*323 |
|
||||
|
|
|
|
|
Э33. |
||||||
|
|
|
*3131 |
0 |
|
|
0 |
*231 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
- |
|
|
|
*1212- |
|
|
_*П2 |
0 |
* 3 12 _ |
|
|
Рассмотрим моноклинную систему класса т, когда пло скость х\хъ является плоскостью симметрии. Произведя пре образования тензора сцм, виц и э,/ согласно формулам (4)— (6), получим следующие матрицы коэффициентов:
*1111 *1122 |
*1133 |
0 |
С1131 |
0 |
*ш |
0 |
е211 |
|
|
С2222 |
*2233 |
0 |
*2231 |
0 |
еХ22 |
0 |
*322 |
эи |
О э1э |
|
*3333 |
0 |
*3331 |
0 |
*133 |
0 |
бззз |
||
07) |
|
&Z2. О « |
|||||||
|
*2323 |
0 |
9 |
0 |
е223 |
0 |
|
||
|
|
*2312 |
- |
азз_ |
|||||
|
|
|
*3131 |
0 |
*i3i |
0 |
*эз1 |
||
|
|
|
|
|
|||||
- |
|
|
|
*1212 и |
„ о |
е2ц |
0 _ |
|
|
Имеем здесь 13 независимых коэффициентов сцм> 10 неза висимых коэффициентов Скц и 4 независимых коэффициента ъц. Заметим, что коэффициенты сцм и эц имеют вид, иден тичный классу 2 с двукратной осью симметрии, параллель
ной оси *2.
Рассмотрим моноклинную систему класса m с плоскостью симметрии A'2*3. Матрицы с//**, а также э,;- те же, что и в слу чае (13). Отличны только коэффициенты efel/:
|
0 |
е 211 |
0 J 1 1 |
|
|
0 |
&222 |
022 2 |
|
(18) |
0 |
е 2 33 |
0$33 |
|
0 |
е 223 |
е 323 |
||
|
||||
|
е 13\. |
0 |
0 |
е 112 |
0 |
0 |
1.10. Материальные постоянные теории пьезоэлектричества |
35 |
Перейдем к ромбической системе, характеризуемой взаим но перпендикулярными осями поворота. Рассмотрим ромби ческую систему класса 222 — систему с тремя взаимно пер
пендикулярными осями, являющимися двукратными осями симметрии. Такая система должна отвечать двум моноклин ным системам класса 2 : одной — с двукратной осью симмет
рии, параллельной оси х2, и другой — с двукратной осью сим метрии, параллельной оси лг3. Материальные постоянные должны определяться обеими упомянутыми моноклинными системами. Это условие приводит к уменьшению числа по стоянных.
Приведем матрицу коэффициентов ромбической системы класса 2 2 2 :
^1111 c4l.22 |
с‘изз |
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
“ |
|
|
||||
$ |
2 |
2 |
2 |
2 |
^2233 |
0 |
0 |
0 |
|
|
о |
о |
о |
эа |
О |
О |
|
|
0 |
0 |
0 |
||||||||||||
(20) |
|
|
|
|
Cj33 3 |
0 |
|
0 |
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
О |
922 |
0 • |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
**23 2 3 |
|
0 |
0 |
|
*Д23 |
0 |
0 |
_0 |
0 |
3J J _ |
|
|
|
|
|
|
|
С31Э1 |
0 |
|
0 |
е23| |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ 0 |
0 |
|
|
|
|
В этом случае имеем дело с 9 коэффициентами сцы, с 3 ко эффициентами ekij и с 3 коэффициентами эц.
Рассмотрим ромбическую систему класса mm2. Здесь
имеем дело с двум я взаимно перпендикулярными плоскостя ми симметрии (плоскостями х \Х г и а2а'з) и с двукратной осью
симметрии, параллельной оси Л'з. П редполож им, что система |
||
ортотропиа. Это означает, что мы имеем две взаимно пер |
||
пендикулярные ПЛОСКОСТИ СИММетрИИ (ПЛОСКОСТИ Х\Хъ и х2х3). |
||
Такая |
система |
отвечает двум моноклинным системам клас |
са т , |
причем |
первая моноклинная система имеет в качестве |
плоскости симметрии плоскость а'1л:з, |
а вторая — плоскость |
АаА'з. М атериальны е постоянные должны |
определяться обеими |
моноклинными системами. |
|
Матрицы коэффициентов сцм и эц не отличаются от ко эффициентов класса 2 2 2 ; отличной будет матрица коэффи
циентов екц:
0 |
0 |
£ J I I |
0 |
0 |
£ 3 2 2 |
0 |
0 |
£333 |
(21) |
е 223 |
0 |
0 |
||
б 131 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Перейдем к тетрагональной системе, характеризующейся четырехкратной осью поворота. Рассмотрим сначала тетра
2*
36 |
Гл. 1. Основы линейной теории пьезоэлектричества |
гональную систему класса 4 с четырехкратной осью симмет рии, параллельной оси х3. В этом случае использование фор мул (4)— (6) приводит к матрицам
С11И с 1122- |
СД133 |
0 |
0 |
*1111 |
0 |
0 |
е з и |
|
|
А |
СИ И |
С!133 |
0 |
0 |
“ "*1112 |
0 |
0 |
* з и |
о |
П |
|
|
С3333 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
ЭИ |
v |
U |
|
|
У |
|
|
||||||
|
|
*2323 |
0 |
0 |
У |
е 223 |
*333 |
ЭХ1 |
0 |
|
|
|
*123 |
0 |
|
|
э зз_ |
||||
|
|
|
*2323 |
0 |
е 223 |
“ *123 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
* 1 2 1 2 ,. |
_ 0 |
0 |
0 |
|
|
|
Здесь мы имеем 7 независимых коэффициентов сцм, 4 коэф фициента eki) и 2 коэффициента э/у. _
Рассмотрим тетрагональную систему класса 4. В этом слу чае имеем дело с четырехкратной осью инверсии, параллель ной оси л*. Произведем поворот системы координат на 90° вокруг оси *з, а затем инверсию. Тогда матрицы коэффи циентов сцы (матрица (22) i) и коэффициентов э/у (матри ца (22) з) не изменяются. Ниже приводим матрицу коэффи циентов виц'.
0 |
0 |
*311 |
0 |
0 |
“ **3 1 1 |
0 |
0 |
0 |
(23) |
*223 |
0 |
*123 |
||
*223 |
*123 |
0 |
0 |
0 |
* 3 1 2 _ |
Перейдем к тетрагональной системе класса 422. Эта си стема имеет четырехкратную ось симметрии, параллельную оси л'з, и характерные признаки ромбической системы клас са 222. Коэффициенты матрицы должны одновременно опре
деляться тетрагональной системой класса 4 и ромбической системой класса 222. В результате получаем следующие матрицы:
|
СШ1 *1122 *1131 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
о“ |
|
|
|
|
*11И *1132 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
эи О |
О |
|
|
*»»зз |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|||
(24) |
Эд |
0 . |
||||||||
|
*2323 |
0 |
0 |
У |
0 |
0 |
||||
|
|
С 1 2 3 |
|
|
||||||
|
|
|
с2згз |
0 |
0 |
*“*1.23 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
*1212_ |
0 |
0 |
0_ |
|
|
Переходим к тетрагональной системе класса 4mm. Она имеет четырехкратную ось поворота, параллельную оси д:3, и признаки, описывающие ромбическую систему класса mm2.
1.10. Материальные постоянные теории пьезоэлектричества |
37 |
Коэффициенты матрицы должны удовлетворять условиям тетрагональной системы класса 4 и ромбической системы класса mm2 .
Врезультате получаем для коэффициентов сци матрицу
(24)1, для коэффициентов эц матрицу (24)3. Отличие прояв ляется в коэффициентах екц. Матрицу этих коэффициентов приводим ниже:
|
0 |
о |
е з и |
|
|
0 |
0 |
е з п |
|
(25) |
0 |
0 |
е 333 |
|
0 |
е 223 |
0 |
||
|
||||
|
е 223 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
Тетрагональная система класса 42т объединяет в себе
черты тетрагональной системы класса 4 и ромбической си стемы класса 222. Матрица коэффициентов Cijki совпадает с матрицей (24) ь а матрица коэффициентов эц с матрицей (24) 3. Для коэффициентов ещ получаем следующую мат рицу:
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
(26) |
0 |
0 |
0 |
|
e i 23 |
0 |
0 |
|
0 |
е 123 |
0 |
|
0 |
0 |
е 312 |
Перейдем к регулярным системам. Они характеризуются четырьмя осями тройной симметрии, расположенными как диагонали в кубе. Рассмотрим регулярную систему класса 23.
Эта система объединяет в себе черты ромбической системы 222 и имеет четыре оси трехкратного поворота, расположен
ные вдоль диагоналей куба. В результате получаем следую щие матрицы коэффициентов!
°Ш 1 СП 2 2 |
снаа |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
СШ1 |
С1122 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Эц ® 0 |
(27) |
СШ1 0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Эц 0 • |
|
|
с2»23 |
0 |
0 |
*123 |
0 |
0 |
эн. |
|
|
|
|
саза* |
0 |
0 |
*пз |
0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
*123. |
|
38 Гл. 1. Основы линейной теории пьезоэлектричества
Здесь мы имеем 3 независимых коэффициента сцы, 1 коэф фициент ekif и 1 коэффициент эц.
Регулярная система класса 432, которая обладает призна ками тетрагональной системы класса 422 и имеет четыре оси трехкратного поворота, расположенные как диагонали в кубе,
не проявляет пьезоэлектрического эффекта. Наконец, регу
лярная система 43т сводится к тем же матрицам коэффи циентов, что и регулярная система класса 23.
Переходим к гексагональным системам, в которых имеется шестикратная ось поворота или инверсии. Сначала займемся гексагональной системой класса 6, в которой шестикратная
ось параллельна оси х3. Ниже представлены матрицы ее ма териальных коэффициентов:
С1111 Cll22 |
<hl33 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
cm i |
с л з з |
0 |
0 |
0 |
|
о |
о |
eJU |
|
с эззз |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
e333 |
|
|
сг323 |
0 |
0 |
9 |
*123 |
0131 |
0 |
|
|
|
02323 |
0 |
|
01.31 |
~~e123 |
0 |
|
|
1____ |
о |
о |
1 ---- О |
эл |
О |
О |
|
|
|
|
Эл |
0 • |
|
|
|
|
|
эзз. |
|
|
|
В этих матрицах имеется |
11 |
независимых |
постоянных: |
б постоянных сум, 4 постоянные внц и 2 постоянные вц. Гексагональная система класса 6 (шестикратная ось па
раллельна оси Л'з) содержит трехкратную ось и признаки, характеризующие моноклинную систему класса m с пло скостью симметрии Х\Х2. Дело сводится к следующей матрица
величин ещц
ellL |
“ 0222 |
0 |
“*0U1 |
0222 |
0 |
0 |
0 |
0 |
(29) |
0 |
0 |
0 |
||
0 |
0 |
0 |
— *222 |
— -011Д |
0 |
Остальные матрицы величин сум и эц остаются без измене* ния (формулы (28) 1,з).
Гексагональная система класса 622 имеет шестикратную ось поворота (параллельную оси х%) и черты ромбической системы класса 222,. Учет этих признаков приводит к ела*
1.10. Материальные постоянные теории пьезоэлектричества |
39 |
дующим матрицам материальных коэффициентов:
СШ 1 с1.122 |
сиза |
О |
О |
О |
О |
0 0“ |
С1 111 |
С1133 |
0 |
О |
о |
О |
0 0 |
(30) |
с зэ зз |
О |
О |
о |
О |
0 0 |
|
С2323 |
О |
о |
е 123 |
о О |
|
|
|
|
С232Э |
о |
О |
~^123 О |
|
|
|
|
|
О |
0 0 |
э33_ .
Здесь имеем 8 независимых коэффициентов: 5 коэффициентов djkh 1 коэффициент еьц и 2 коэффициента э,/.
Гексагональная система класса 6mm имеет шестикратную
ось поворота, параллельную оси х3, и признаки, характерные для ромбической системы класса mm2. После сокращения коэффициентов имеем матрицы (30) i и (30) 3. Отличной яв ляется лишь матрица коэффициентов енц\
О |
0 |
е311 |
0 |
0 |
е311 |
0 |
0 |
£333 |
(31) |
31 |
0 |
0 |
||
е191 |
0 |
О |
0 |
0 |
0 |
Гексагональная система класса 6т2_ объединяет в себе
черты гексагональной системы класса 6 и моноклинной си стемы класса 2 с двукратной осью симметрии, параллельной
оси х2. Сокращение коэффициентов приводит к матрицам (30) 1 и (30) з, но с другим видом пьезоэлектрических коэф фициентов:
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
e^jj |
о |
|
(32) |
О |
0 |
0 |
|
О |
0 |
0 |
||
|
||||
|
О |
0 |
0 |
|
|
—0222 |
0 |
0. |
Рассмотрим еще тригональную систему, которая имеет одну ось трехкратного поворота или инверсии. Тригональная
40 Гл. 1. Основы линейной теории пьезоэлектричества
система класса 3 имеет трехкратную ось, параллельную оси
Л'з. Производя аналогичные действия, что и в случае гекса гональной системы, приходим к следующим матрицам:
C i l l i Сц 22 |
СЦЗЗ |
£ц 23 |
~~С2231 |
0 |
|
£щ |
" " £ 2 2 2 |
е ЗХ1 |
£llll |
СцЗЭ |
-~СЦ2 3 |
с 2231 |
0 |
|
— £ll 1 |
^222 £311 |
|
|
Сзззз |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
£ззз |
|
|
^2323 |
0 |
£2231 |
1 |
£ i23 |
£ i 3 i |
0 |
|
|
|
£2323 |
£1123 |
|
£ i 3 i |
” * £ i23 |
0 |
|
|
|
|
■^(^ИП £|12з) |
|
— e222 |
e i n |
0 |
Эи о |
о |
Э ц |
0 . |
|
Эзз _ |
Тригональная система класса 32 с трехкратной осью, па раллельной оси л'з, имеет в то же время черты, характерные для моноклинной системы с двукратной осью, параллельной оси х\. В этом случае коэффициенты должны удовлетворять условиям симметрии обеих систем; отсюда следует возмож ность сокращения числа коэффициентов. Матрица коэффи циентов э// принимает вид матрицы (33)з. Остальные матри цы имеют вид
£д111 CJJ22 |
£jl33 |
£jl23 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0" |
Cnn |
C1133 •“£3123 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
C3333 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
£52323 |
0 |
0 |
1 |
e123 |
0 |
0 |
|
|
|
C2323 |
Clt23 |
|
0 |
~e123 |
0 |
- |
|
|
|
2~(£JIII “"£3122) |
|
0 |
|
0 |
Тригональная система класса Згп имеет трехкратную ось, параллельную оси хз, и черты, характерные для моноклинной системы с плоскостью симметрии х2х3. После сокращения
материальных коэффициентов матрица сцм имеет вид (34) i, а матрица коэффициентов эц — вид (33) 3. Отличной будет матрица коэффициентов е«/, которую приводим ниже:
|
0 |
'~e 222 |
e 31l |
|
|
0 |
e 222 |
e 3 l t |
|
(35) |
0 |
0 |
e 333 |
|
0 |
e l 31 |
0 |
||
|
||||
|
e l3L |
0 |
0 |
e 2 2 i |
0 |
0 |