книги / Электромагнитные эффекты в твердых телах
..pdf2.10. Термоупругость диэлектриков |
121 |
Ограничимся рассмотрением неограниченного упругого про странства. В этом случае решением системы связанных урав нений (53) — (55) будут функции
(57) |
u = gr^d^, |
P = |
gradx- |
|
Подставляя |
(57) в уравнения |
(53) |
— (55), получим простую |
|
систему дифференциальных уравнений |
|
|||
(58) |
cuV 4 + dnV2%= |
Ye, |
||
(59) |
<*цУ2Ф + b{iV2X — |
— Ф= |
'П0. |
|
(60) |
— э0У2ф + |
V2X = |
0, |
где сп = |
2c4i + с12, bn = |
2bAA+ bl2, du = |
2du + |
dn. Функцию 0 |
||
«ей |
1ГУ(х'ННх') |
Л = |х - х ' | . |
||||
определим из уравнения Пуассона |
(56): |
|
||||
|
4nk J |
R (х, х ') |
’ |
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
Введем вспомогательные функции |
|
|
|
|||
(62) |
а = спф + |
d n%, |
р = |
— э0Ф+ X- |
||
С их помощью представим уравнения |
(58) и |
(60) в виде |
||||
(63) |
V2a = v0, |
V2P = |
0. |
|
||
Решением уравнения (63) i является функция |
|
|||||
(64) |
“ (X )------- |
0 (х ') dV (x ') |
|
|||
R (х, |
х ') |
|
||||
|
|
в |
|
|
|
|
Решение |
уравнения V2p = 0 при выполнении |
условия р->0 |
||||
при R - * оо есть функция |
|
|
|
|
||
(65) |
Р = 0 |
или |
ф= |
(1/э0)х* |
|
Теперь исключим функции ф, ф из уравнения (59). Получим уравнение
(66)
где |
|
|
d — Hi + э0 |
Решением уравнения |
(66) |
будет функция |
|
(67) |
Х(х) = |
— m |
0(x')e-W dV (х'). |
|
|
4яй/? J R (х, х ') |
|
|
|
|
в |
Функцию ф найдем из уравнения (65)2, а функцию ф— из уравнения (62) ь Наконец, функции и и Р определим из урав нений (57). Другой путь решения следующий. Применим к
122 Гл. 2. Теория пьезоэлектричества Тупика и Миндлина
уравнениям (63) и (66) оператор Лапласа и воспользуемся уравнением теплопроводности (56). Получим уравнения
(68) |
|
|
|
|
|
|
тп |
W. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ai]k |
|
|
В |
частном |
случае сосредоточенного |
источника |
тепла |
W = |
|||||
= |
И706(х) |
получим следующие решения: |
|
|
|
|||||
(69) |
|
а = V^o |
п |
.. |
mWp |
-Rll> _ |
j |
|
|
|
|
R |
|
|
|
||||||
|
|
|
8nk |
|
л |
Алак |
|
|
|
|
Функцию |
ф определим |
по |
формуле |
(65) 2, |
а функцию |
ф — |
||||
по формуле |
(62) 1. |
(58) — (60) можно также решить при |
||||||||
|
Систему уравнений |
помощи функции типа Галёркина. Если из уравнений (58) —
(60) |
исключить функцию ф, то |
задача |
сведется к решению |
системы двух уравнений: |
|
|
|
(70) |
си\72Ф + |
^nV2X = |
Y0. |
(71)rfnV2V 4 + V2(&nV2— й)%= r)V20.
Выразим функции ф, % через функции Qi, Q2 следующим об разом:
(72) |
ф = (644V” d) Qj — d\\Q,2> |
(73) |
X == — rfnV2^i + Сцй2- |
Подставляя (72), (73) в (70) и (71), приходим к двум урав нениям для функций Qi, Q2:
Из этих уравнений определяются функции Qi, й2. Подста новка их в соотношения (72) и (73) приводит к определению функций ф, %.
Рассмотрим ограниченное односвязное тело, подверженное действию температурного и электромагнитного полей.’ Поло жим, что в теле отсутствуют массовые силы (Xi = 0) и что поверхность тела свободна от нагрузок (р,- = 0). В этом слу чае уравнение равновесия примет вид
(76) |
ал, / = 0. |
Помножим это уравнение на xi и проинтегрируем по области тела. Имеем
(77) |
J Оц. ixi dv = |
J |
da — ^ Оц dv = 0. |
|
в |
OB |
в |
|
|
2. JO. |
Термоупругость |
диэлектриков |
123 |
|||
Поскольку нагрузка |
р,- = <т/,П/ равна нулю на поверхности |
|||||||
дВ, ограничивающей тело, то из (77) получим |
|
|||||||
(78) |
|
|
|
J ffj] dv = |
0, |
|
|
|
|
|
(2с12 4 |
|
в |
|
|
|
|
(79) |
Of] = |
ЗС44) ец + |
(2^12 4" З ^ ) Pj, / — Зуб. |
|
||||
Подставляя |
выражение |
для |
оц |
в |
(78) и замечая, |
что |
||
|
= &У |
является |
приращением |
объема тела, получим |
||||
из (78) |
|
Зу |
|
|
2d\2 -f" 3d*4 |
|
||
(80) |
Д1Л |
ЗС44 ^Qdv |
|
|||||
2^12 |
|
2сl2+ ЗС44 \ Pj. i dv. |
|
|||||
|
|
|
|
В |
|
|
в |
|
Теперь видно, что изменение объема тела.мы получим, про изведя интегрирование функций 0 и div Р по объему тела. Если эффект пьезоэлектричества отсутствует, то Р/, / = 0 и остается интеграл
(81) |
VV = |
зу |
2С(2-f- ЗС44 |
в
известный из теории термоупругости изотропного тела. Рассмотрим еще динамическую задачу термоупругости
диэлектриков. Ограничим рассмотрение неограниченным упругим пространством. Здесь мы имеем дело с системой дифференциальных уравнений
(82) |
C44V 2U + {са 4 |
с44) grad div u + d44V2P 4 |
||
|
|
|
4 (di24 |
^44)grad divP= уgrad04 pii, |
(83) |
d44V2u + (di24 |
d44)grad divu + (644 4 b71) V2P 4 |
||
|
4 Ф\2 + |
^44 — b17) grad div P —aP — grad<p = r\ grad0, |
||
84) |
|
|
— э0У2Ф+ div P = 0, |
|
(85) |
{kV2 - |
cBdt) 0 - Го(у div u + r\ div P) = - W. |
||
Подставляя в эту систему уравнений выражения |
||||
(86) |
|
u = grad ф, |
P = gradx* |
т. е. рассматривая только продольные волны, получим сле дующую простую систему волновых уравнений:
(87) |
|
сиУ2ф 4 с/цУ2Х ^ |
у8 + рф> |
(88) |
</цУ2ф 4 |
&uV2X —а%— ф = |
Ц0, |
(89) |
|
— э0У2ф 4 V2%= |
0. |
(90) |
( № - сД ) 0 - |
Т0(уУ2ф 4 T]V2X) = |
~ W, |
124 . Гл. 2. Теория пьезоэлектричества Тупина и Миндлина
Исключая ф из равенств (88) и (89), получим уравнение
(91) |
d „ v V 4 + (6UV2 - й) Vh = *iv2e, й = а + э0- ‘. |
Затем из равенств (87) и (91) исключим последовательно функции %и ф. Получим следующие уравнения:
(92) Г ^ 2- ( 1 + ^ ? a<)v2 + T ? d fb =
= ^ 7 [Y (6 i. V 2 - d ) - n r f „ V 2ie,
(93) p y v 2- ( i + - ^ d 2) v 2 + 4 a 2l x =
~ йсп I1! (cii^i — р^|) — Y^u]
Эти уравнения удается легко решить в предположении, что поле деформаций и электрическое поле имеют пренебрежимое влияние на изменение температуры. При этом предпо ложении в уравнении теплопроводности (85) исчезнет член
vV2ij)-f- T)V2%. Воспользуемся, следовательно, классическим уравнением Фурье
(94) |
( k t - c Bdt)Q= - W . |
Из этого уравнения с учетом заданных краевого и началь ного условий найдем функцию 0 и подставим ее в правую часть уравнений (92) и (93). Знание функций ф и %позво ляет определить перемещение и и поляризацию Р по фор мулам (86). Функцию ф определим следующим образом. Представим уравнение (84) в виде
(95) |
V2P = О, Р = — э0ф + х, Ф= э0~1(х — р). |
Уравнение (95) i дает функцию р, а уравнение (95) 3 — функ цию ф.
Рассмотрим случай связанного уравнения теплопроводно сти. Исключая ф из уравнений (88) и (89), приходим к си стеме уравнений
(96) |
СцУ2Ф + |
= у® + РФ» |
(97)duV2V2Ф Н- V2 (&nV2 — й) %= ^V20,
(98) (&V2 — cBdt) 0 = Г0 (уУ2ф + nV2x).
Здесь принято, что W = 0.
Рассмотрим классическое уравнение теплопроводности
(99) (v 2 — -- G (х, х', /) — — 6 ^х — х') 6 (/), и = k/c9.
2.10. Термоупругость диэлектриков |
125 |
В правую часть этого уравнения входит сосредоточенный по месту и времени источник тепла. Решением уравнения (99) будет функция
|
G (х, х', |
0 = |
1 |
ехр ( - ИЧ{Ш)) |
|
(Ю О ) |
8 Л |
1'2 |
tm |
||
|
|
|
|
||
|
R |
[(xi х |
(xt |
|
При использовании функции Грина (100) решение уравнения (98), в котором правая часть трактуется как источник тепла, примет следующий вид:
(101) 6(х, 0 = ал312кЩ° $ * '$ (< - < ') 3,2<iXP ( _ 4* ( ( - ( ') ) Х
Ов
X -fir [уу2ф (х', о + rjV2x (х', /')] do (х').
Определенную таким образом функцию 0 можно подставить в правую часть дифференциальных уравнений (96) и (97). Получим систему двух интегродифференциальных уравнений, из которых можно определить функции ф и %. Зная эти функ ции, можно определить температуру из интегрального урав нения (101).
Глава 3
ТЕОРИЯ МАГНИТОУПРУГОСТИ
3.1. УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ И ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ МАГНИТОУПРУГОСТИ
В последнее десятилетие развилась новая область — тео рия магнитоупругости, в которой исследуется взаимное воздей ствие поля деформаций и электромагнитного поля в твердом упругом теле. Эта теория в основном является продол жением линейной теории упругости и линейной электроди намики свободно перемещающихся сред. Если тело, находя щееся в сильном первоначальном магнитном поле, привести в движение внешней нагрузкой, то вместе с полем деформа ций возникнет электромагнитное поле. Оба поля связаны, действуя одно на другое.
Причинами к рассмотрению магнитоупругости были ее возможные приложения в геофизике, в некоторых разделах акустики, в исследованиях по затуханию акустических волн в магнитном поле и т. п. Первой работой в этой области была работа Киопоффа [26], в которой автор исследовал распространение упругих волн при наличии магнитного поля Земли. Заслуживают также внимания работы Баиоса [3] и Чедвика 17]. Важными для развития магнитоупругости были работы Кадисского и Петыкевича [23, 24]. Проблема маг нитоупругости несколько иным образом была поднята в ра боте Данкина и Эрингена [17].
Рассмотрим твердое упругое тело, находящееся в сильном первоначальном магнитном поле. Механические причины (удар) и температурные (например, тепловой удар) создают в теле поле деформаций и связанное с ним электромагнитное поле. Во всех вышеупомянутых работах принято, что дей ствие электромагнитного поля на поле деформаций проис ходит посредством сил Лоренца, которые появляются в урав нениях движения. В законе Ома возникает член, отвечающий приращению плотности электрического тока и зависящий от скорости материальных частиц, перемещающихся в магнит ном поле.
Используя такую упрощенную модель, Киопофф показал, что магнитоупругие воздействия на распространение упругих волн в магнитном поле Земли играют лишь незначительную роль. Однако существует ряд конструкций, работающих в сильном первичном магнитном поле. В' этих случаях, как экспериментально показали Алерс и Флёри [1], влияние маг нитоупругих воздействий значительно,
3.1. Уравнения поля и определяющие уравнения |
127 |
Рассмотрим однородную и изотропную упругую среду, характеризуемую большой электропроводностью. Предполо-. жим сначала, что мы не имеем дело с взаимодействием элек тромагнитного поля с полем деформаций (среда находится в состоянии покоя). В этом случае справедливы уравнения Максвелла
(1) r o tH = j + D, rot Е = — В, divD = pe, divB = 0.
Здесь векторы Е, Н, D, В, j соответственно означают напря женность электрического поля, напряженность магнитного поля, электрическое смещение, магнитную индукцию и плот ность электрического тока. Через ре обозначена плотность электрических зарядов. Величины Е, Н, D, В, j, рв наблю даются в неподвижной системе отсчета.
Рассмотрим теперь точку х тела, перемещающегося во внешнем электрическом или магнитном поле [46]. Матери альная точка х в момент времени t, отнесенная к лаборатор ной системе координат, имеет скорость v. Введем в окрест ности точки х новую систему координат {x'itt'}, связанную
с материальной точкой х, такую, что относительно этой си стемы точка х находится в покое. В системе х', if снова спра ведливы уравнения Максвелла для состояния покоя
|
■|_*/ |
,/ j |
dTi' |
j п / |
= |
дВг |
rotH |
|
— , |
rotE |
----- |
||
(2) |
|
|
|
|
|
|
div D' = pe, |
|
div В' = |
0. |
|||
К уравнениям |
(2) |
присоединены определяющие соотношения |
||||
(3) |
D' = |
eE', |
B' = |
pfiH', |
j' = aE'. |
Здесь материальные постоянные е, ре, а отличны от постоян ных для вакуума. Величины е, ре последовательно означают электрическую и магнитную проницаемости, а а является ко эффициентом электрической проводимости. Обычно магнит ная проницаемость обозначается через р; здесь, однако, вве дем обозначение р* для того, чтобы отличить эту величину от постоянной Ламе, которую обозначим через р. Постоянные е, рв имеют те же значения, что и в случае, когда тело на ходится в состоянии покоя. Обозначения di*v rot и производ ная по времени относятся к системе со штрихами.
Уравнения (2) справедливы также в лабораторной систе ме отсчета. Опустим в них штрих ввиду основных свойств электромагнитного поля, а именно его инвариантности отно сительно преобразования Лоренца. В то же время опреде ляющие соотношения (3), отнесенные к лабораторной системе отсчета, принимают иной вид. Для малых скоростей v = <?u/d/, где и — вектор перемещения деформируемого тела, справед
128 |
|
Гл. 3. |
Теория магнитоупругости |
|||
ливы следующие соотношения |
[46, 48]: |
|||||
|
Е' = Е + v X В, |
D' = D + (1/C2) V X H , |
||||
(4) |
H' = |
H - v X D , |
|
В' = |
В — (1/с2) v XЕ» |
|
|
Y = |
j “ РД, |
Ре = |
р', |
с = (Ро8о)",/2* |
Подставим соотношения (4) в определяющие уравнения (3). После простых преобразований, в которых пренебрегаем чле нами порядка v2/c2 и выше, получим следующие определяю щие уравнения [17]:
(5) |
D = |
еЕ + av X Н, |
ерй — е0;р0> |
|
а = |
||
|
В = цеН — av X Е, |
|
|
(6) |
|
j = сг (Е + v X В) + |
pev. |
Таким образом, мы получили комплект уравнений электро динамики для свободно перемещающихся сред. Это — урав нения Максвелла (1) и определяющие соотношения (5) и (6) для линейной и изотропной среды. Уравнение (6) является модифицированным законом Ома. В этом законе появляется член, отражающий влияние скорости частиц, перемещающих ся в магнитном поле, на плотность электрического тока.
Если твердое тело соприкасается с вакуумом, то для ва куума должны быть учтены определяющие соотношения
(7) |
D = е0Е0, В = р0Н. |
Здесь ео, ро — проницаемости для вакуума. Для вакуума справедливы уравнения (1) в предположении, что j = 0. Из этих уравнений с учетом соотношений (7) получим следую щие волновые уравнения:
(8) |
(V2 - - ^ ) ( E , Н) = 0. |
Перейдем к уравнениям движения деформирующейся среды. Предположим, что единственным механическим эффектом электромагнитного поля является сила Лоренца [46, 48]:
(9) |
f = РеЕ + j X В. |
Так поступают во всех работах, касающихся магнитоупруго сти (упомянутых в § 3.1). Подставим объемную силу f в урав нение принципа сохранения импульса. Получим уравнение
(10) |
$ (Xt -f ft) dv -f |
J ontij da = |
— ^ pvt dv. |
|
В |
дВ |
В |
Послеприменения преобразования Гаусса приходим к ло кальному равенству
(11) |
Oji, i + Xi + ft = pvi. |
3.1. Уравнения поля и определяющие уравнения |
129 |
Из принципа сохранения момента импульса устанавливаем симметрию тензора напряжений <тУ/. Уравнения движения (11) можно представить в виде1}
(12) (or„ + ryi).; - ^ i + jr, = pd„ |
= |
Здесь Tji — тензор напряжений Максвелла, определенный следующим образом:
Тц = EtDj + H tB, - V2 (EkDk+ HkBk) 6iy,
а функция gi представляется формулой ^ = (DXB)<. Определяющие механические соотношения зададим в виде,
обобщающем соотношения Гука. Для рассматриваемых здесь изотропных тел имеем
(13) |
сг£/ = 2|Аву + Лвувы, |
где |
ц, А,— постоянные Ламе, отнесенные к адиабатическому |
состоянию.
Мы предполагали, что тело не имеет начальных напря жений и находится в первоначальном магнитном поле. В со отношениях (13) опущены дополнительные члены высшего по рядка, отражающие действие электромагнитного поля на ме ханическое поле. Поэтому предполагается, что соотношения
(13) |
остаются |
неизменными |
в обеих |
системах отсчета: х, |
t |
и х', |
t'. |
уравнениям |
движения |
(11), дополненным |
в |
Вернемся к |
случае магнитоупругости объемной силой Лоренца f,-. Вве дем деформации
( И ) е ,ц = 7 2 (Щ , / + « /,*).
Подставим соотношения Гука в уравнения движения и из но вых .уравнений исключим деформации ец, учтя соотношения
и Справедливость соотношения ft = Тц1/ — gi легко проверить, прини мая во внимание уравнения
(а) |
D/ . / e |
Pe« |
/ “ |
° |
|
(б) |
Dk=e£ft, |
Bk=pe#fc. |
|||
и определяющие соотношения |
|
|
|
|
|
После простых преобразований приходим к уравнению |
|||||
(в) |
Т}1 / « рeEt + (rot E X D ) ( + |
(rot H X В)г |
|||
Используя уравнения Максвелла |
(1) i 2, получим |
||||
(г) |
TJt } = рвЕ{ + (] X |
В), + |
(D X |
В), - (В X Т))(. |
|
откуда следует формула |
|
|
|
|
|
W |
|
д |
|
|
d g , |
тц, / - рА + (1X В),+ -щ (D X В), - f, + -5Г- |
б 31K.6I9
130 |
Гл. 3. Теория магнитоупругости |
(14) . В результате получим систему уравнений в перемеще ниях
(15) |
Р-V2H* (А, + р)«/, ji + %i + fi = рй/» |
или в векторной форме
(16){iV2u + (Л + р) grad div u + X + реЕ + (j X В) = pti.
Уравнения |
(16) |
вместе с уравнениями электродинамики |
(1) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
и |
определяющими |
уравне |
||||
|
|
|
|
|
|
ниями (5) и (6) образуют |
||||||
|
|
|
|
|
|
полную |
систему |
дифферен |
||||
|
|
|
|
|
|
циальных |
уравнений |
маг |
||||
|
|
|
|
|
|
нитоупругости. К этим урав |
||||||
|
|
|
|
|
|
нениям |
следует |
добавить |
||||
|
|
|
|
|
|
краевые |
и |
начальные |
ус |
|||
|
|
|
|
|
|
ловия. |
|
условия элек |
||||
|
|
Рис. 5. |
|
|
|
Краевые |
||||||
|
|
|
|
тромагнитного поля |
введем |
|||||||
боте Данкина |
и |
|
|
так, как это сделано в ра |
||||||||
Эрингена [17]. |
Запишем |
уравнения |
(1J |
|||||||||
в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rot (Е + v X В) = —~ |
— v div В + rot v X В , |
|
|
|
|||||||
|
rot (Н — v X D) = |
+ v div D —- rot v X D + |
j — p.v, |
|||||||||
|
|
|
|
div D = |
pe, |
div В = 0. |
|
|
|
|
|
|
Уравнения |
(17) i, 2 |
проинтегрируем |
по открытой поверхности |
|||||||||
В', |
опертой |
на |
кривую с |
(с = |
дВ'), а уравнения |
(17) 3 |
про |
интегрируем по области В с границей дВ. К двум первым
полученным |
равенствам |
применим |
преобразование Стокса, |
||
к последнему — преобразование Гаусса. Получим |
|||||
J (Е + |
v X В) • dc = |
— |
^ В - da, |
|
|
(18) г |
|
/ |
г |
г |
J (j — pev) • da, |
) (H — v X D ) .d c = |
— |
j D - d a + |
|||
с |
|
|
В' |
|
В' |
(19) |
J В • da = |
0, J |
D • da = |
J рedv. |
|
|
дВ |
дВ |
|
В |
При интегрировании уравнений (17) 1,2 использовалась фор мула для материальной производной интеграла по матери альной поверхности
(20) — J b • da = f |
+ v div b — rot v X b) • da. |
B' B'