книги / Гидравлика.-1
.pdfV2 |
2 |
1 |
Y2 |
2 ' |
|
1 |
z 2 1) 1 2 z |
Заметам, что величина в скобках может быть упрощена
1 |
2 |
1 |
2 |
1 / 9 |
2 \ |
1 / |
\ 2 |
— V 2 - V V 2 + - - V , = “ ( V2“ “ 2 - V 1 - V 2 + V 1 ) = - J - ( V 2 - V 1)
Проведя замену, получим
Р . - Р 2 = P ^ ( v 2- V ,)2+ p i - v 2- p ~ V f
После перегруппировки членов получим
Pt + P ~ vi2 = Рг + P ^ ' v2 + P | ' ( v2 ~ v.)2
Разделим все члены равенства на произведение p-g, получим
P g |
P g 2 |
p g |
p g 2 2 |
p g 2 1 2 |
|||
После |
преобразований уравнение окончательно примет |
||||||
следующий вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
„2 |
Pi |
| У2 |
| (V2~Vl)' |
|
||
|
Р. |
_ |
|
||||
|
p g 2-g |
p g 2 g |
2 g |
|
|||
Сравним полученное уравнение с исходным уравнением для Лвр, |
|||||||
полученным из уравнения Бернулли |
|
|
|
|
|||
|
■+ |
а, |
2 |
Л |
|
■+ а. |
V, 2 \ |
|
|
|
|
2 g |
|||
|
P' g |
’ 2 g j |
I P ' S |
|
|||
Если допустить, что |
форма эпюр скоростей в первом и втором |
||||||
сечении одинакова, т.е. aj = ot2, и их значения приближаются к единице, так как поток турбулентный, и поменять местами Vi и V2, так как (vi - V2)2 = (v2 - V1)2, то из сравнения последних уравнений можно получить, что
hв р = ( у . - у . ) 2 2 g
Назвав разность (vi - V2) потерянной скоростью, можно сказать, что потеря напора при внезапном расширении равна скоростному напору, подсчитанному по потерянной скорости. Это утверждение носит имя теоремы Борда - Карно.
Последнюю формулу можно переписать в таком виде
|
г |
л2 |
|
|
2 |
|
|
|
\ |
|
Vp = |
1 - ^ |
. |
V. |
|
или |
/2 |
= |
I I -1 |
|
|
|
V1J |
|
2 |
g |
|
в р |
|
, V 2 У |
g |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
С учетом того, что на основании уравнения неразрывности потока |
||||||||||
S\ vi = S? V2, те же потери напора можно представить в виде |
||||||||||
|
1- ^ |
О > 2 |
|
V,2 |
или |
hBв.рn |
|
S |
\ |
|
|
- |
2 g |
= |
^ - 1 |
J 2 g |
|||||
< ^ 2 J |
|
|
|
< ^1 |
||||||
Сравнивая последние |
выражения |
с |
формулой |
Вейсбаха, можно |
||||||
выделить выражения для коэффициента местного сопротивления при внезапном расширении потока
£ |
р = |
1——L |
»если потери напора определять по скорости vi; |
|
|
s2 |
|||
|
|
|
2J |
|
|
|
S |
v |
• если потери напора определять по скорости V2. |
|
|
5, |
У |
|
|
|
V^I |
|
|
Частным случаем внезапного расширения потока является постепенное расширение трубы, называемое диффузором. Движение жидкости в диффузоре сопровождается уменьшением скорости и повышением давления. Частицы жидкости движутся вперёд, в сторону более высокого давления, по инерции за счёт своей кинетической энергии, которая уменьшается по направлению движения. Кроме того, за счёт расширения трубы частицы жидкости движутся не только вдоль оси потока, но и в направлении от оси к стенкам. В каком-то сечении инерция жидкости уменьшается до такой степени, что её не хватает для преодоления повышающегося давления. Тогда такие частицы жидкости останавливаются или даже начинают двигаться в обратном направлении. В результате возникают вихревые потоки и потоки, отрывающиеся от стенки. Эти явления зависят от скорости и интенсивности расширения потока. Кроме того, в диффузоре происходят обычные потери на трение, подобные потерям по длине в трубах постоянного сечения. Таким образом, потери энергии в диффузоре складываются из потерь на трение по длине и потерь на вихреобразование за счёт расширения
^ д и ф — ^ д л ^ р а с ш *
Выражение для определения потерь напора в диффузоре имеет вид
Сравнивая это выражение с формулой Вейсбаха, легко выделить коэффициент потерь на местном сопротивлении, который для диффузора будет равняться
2
Внезапное сужение потока
Рассмотрим внезапное сужение, то есть переход трубы диаметром d\ в трубу меньшего диаметра di (рис. 61 ).
При переходе из трубы большего диаметра происходит сжатие потока до площади Scx, а затем наступает его расширение до площади живого сечения S2 . Многочисленные исследования показали, что потери напора на участке сжатия (от S\ до 5CW) пренебрежимо малы по сравнению с потерями напора на участке расширения (от 5СЖдо 5г).
При внезапном сужении трубопровода поток не следует вдоль острых изломов канала, а следует по более плавным линиям тока. По инерции струя жидкости срывается с внутренней угловой кромки. При этом образуется область, где частицы не имеют основной поступательной составляющей скорости движения (так называемая вихревая зона, см. рис. 61). В результате возникает вращательное движение жидкости, Заполняющей вихревую зону, которое поддерживается непрерывным обменом частицами между этой зоной и основным потоком.
При турбулентном режиме происходит интенсивный обмен беспорядочно движущимися частицами между основным потоком и вихревой зоной. Основной поток ускоряется и постепенно сужается, увлекая частицы вихревой зоны. Скорость в сжатом сечении увеличивается. Давление понижается, что, является причиной возникновения дополнительного эффекта «подсасывыния», увлекающего частицы жидкости из зоны более высокого давления (сечение 1 — 1, см. рис. 6])5 они устремляются в зону более низкого
давления (сечение 2 - 2 , см. рис. 61). Опыт показывает, что поверхность раздела вихревой зоны и основного потока неустойчива и периодически свертывается в отдельные крупные вихри, которые увлекаются потоком и сносятся далее по течению.
|
Последующее |
|
более |
|||
|
интенсивное |
|
перемешивание |
|||
|
частиц |
вызывает |
дробление |
|||
|
более крупных вихрей на более |
|||||
|
мелкие |
вихри |
и |
постепенное |
||
|
размывание |
их |
в |
основном |
||
|
потоке. При |
этом |
уменьшается |
|||
|
неравномерность |
скоростей, |
||||
Рис. 61. Внезапное сужение |
возникшая на |
участке |
сужения |
|||
струи, происходит стабилизация |
||||||
потока, которая в основном завершается на длине около десяти диаметров трубопровода. Затраты механической энергии потока на создание вихрей и последующий переход кинетической энергии их вращения в тепло под действием сил внутреннего трения (рассеивание энергий вихрей) представляют здесь преобладающую часть местных потерь.
Потери напора при внезапном сужении могут быть найдены по формуле Борда
где /7в.с - потери напора, м; усжскорость жидкости в сжатом сечении, м/с;
V2 - скорость жидкости после препятствия, м/с.
Из уравнения неразрывности потока определим усж
Используем понятие коэффициента сжатия струи |
тогда |
Ав.с выразятся так
Обозначим
и окончательно получим
где ÇB.C - коэффициент местного сопротивления при внезапном сжатии потока. Коэффициент сжатия струи s зависит от степени сжатия потока
п = S2/Sx.
Частным случаем внезапного сужения является постепенное сужение трубы, т.е. коническая сходящаяся труба, называемая конфузором (рис. 62). Течение жидкости в конфузоре сопровождается увеличением скорости и падением давления. Давление жидкости в начале конфузора выше, чем в конце, поэтому причин для возникновения вихрей и срыва потока здесь нет. В конфузоре имеются лишь потери на трение. В связи с этим сопротивление конфузора всегда меньше, чем сопротивление такого же диффузора (при одинаковых углах конусности).
Рис. 62. Конфузор |
Рис. 63. Плавный конфузор |
Потери напора на трение в конфузоре можно определить по формуле
2
где X - коэффициент гидравлического трения;
а- угол конусности конфузора.
Небольшое вихреобразование и отрыв потока от стенки с
одновременным сжатием потока возникает лишь на выходе из конфузора в месте соединения конической трубы с цилиндрической. Для ликвидации вихреобразования и связанных с ними потерь
рекомендуется коническую часть плавно сопрягать с цилиндрической или коническую часть заменять криволинейной, плавно переходящей в цилиндрическую (рис. 63). При этом можно допустить весьма значительную степень сужения п при небольшой длине вдоль оси и небольших потерях.
Коэффициент сопротивления такого плавного сужения, называемого соплом, меняется примерно в пределах Çc = 0,03...0,10 в зависимости от степени и плавности сужения и Re (большим Re соответствуют малые значения Çc и наоборот).
Поворот потока
Такое местное сопротивление, называемое обычно коленом, очень сильно влияет на потери напора (рис. 64, а). В нём происходит отрыв
а б
Рис. 64. Поворот потока: а - без скругления; б - плавный поворот
потока от стенки трубы, и создаются две сложные вихревые зоны, в которых интенсивно теряется энергия. Степень интенсивности существенно зависит от угла поворота а. Коэффициент местного сопротивления значительно возрастает с увеличением угла поворота, и его можно определить по эмпирической формуле
|
Скол =0,95 |
sin2'а Л + 2,05 •sin4 а |
|
|
|
|
v 2 , |
|
|
В |
гидросистемах |
подобных |
местных |
сопротивлений |
рекомендуется избегать или заменять на плавный поворот (рис. 64, б). Постепенный поворот трубы (отвод или закруглённое колено)
значительно уменьшает вихреобразование и, следовательно, потери энергии. Величина потерь существенно зависит от отношения RJd и угла а.
Коэффициент местного сопротивления для плавного поворота можно определить по экспериментальным формулам. Для поворота под углом а = 90° и R/d > 1 он равен
С ол =0,51 + 0,1 9 - |;
для угла поворота более 100°
аг 90
Г= 0,7 + 0,35- — S . '■Экол I 5 90 KO
для угла поворота менее 70
Скол = С!л -0,9-sinа.
Вход и выход из трубы
Потери давления при входе потока в трубу, помимо критерия Рейнольдса, существенно зависят от конструктивного и технологического оформления входа, а также угла а между осью трубы и стенкой (рис. 65, а).
Если кромка острая, то коэффициент сопротивления на входе в трубу при а = 180° составляет Ç = 0,5. Если же кромка скругленная, то коэффициент сопротивления на входе в трубу равно Ç = 0,05 + 0,1.
При выходе жидкости их трубы в неподвижную жидкость (бак, бассейн), коэффициент сопротивления обычно принимают равным Ç = 1 (рис. 66, б).
б - выход из трубы
Контрольные вопросы
1.Какие виды гидравлических сопротивлений и связанных с ними потерь напора существуют?
2.От каких характеристик зависит коэффициент гидравлического
трения?
З.Что такое относительная и эквивалентная шероховатость?
157
4.В какой области сопротивления коэффициент Дарси не зависит от числа Рейнольдса?
5.В какой области сопротивления коэффициент Дарси зависит только от числа Рейнольдса?
6.В какой области сопротивления коэффициент Дарси зависит только от шероховатости трубы?
7.Каково соотношение между толщиной ламинарной пленки и высотой выступов шероховатости в области квадратичного сопротивления?
8.Почему при гладкостенном сопротивлении потери напора по длине не зависят от шероховатости трубы?
9.Почему зону гидравлически шероховатых труб называют квадратичной?
10.Какие трубы называются гидравлически гладкими и гидравлически шероховатыми?
11.Приведите формулы для расчёта X гидравлически гладких труб, а также для случаев, когда X зависит только от шероховатости.
12.Что такое местные гидравлические сопротивления? Приведите
пример местных сопротивлений.
13.Как аналитически определяются потери напора на местных сопротивлениях (формула Вейсбаха)?
14.Какова природа потерь при внезапном сужении (расширении) трубы?
15.Как определить местные потери напора из уравнения Бернулли, записанного для двух сечений трубы?
16.Запишите выражение для определения числа Рейнольдса.
17.Когда потери напора больше: при внезапном сужении или при внезапном расширении? Объяснить почему.
18.Как изменятся потери напора на внезапном сужении потока при увеличении (уменьшении) расхода?
19.Зависит ли коэффициент потерь напора на внезапном сужении от числа Рейнольдса? Если зависят, то каким образом?
20.Какие параметры жидкости, русла (или трубопровода) потока влияют на потери напора?
21.Запишите формулы Шези для средней скорости и расхода при равномерном движении.
22.Какова размерность коэффициентов Дарси и Шези?
23.0т каких факторов в общем случае зависят значения коэффициентов местных сопротивлений?
Решение дифференциальных уравнений гидродинамики охва тывает ограниченный круг задач. В ряде случаев аналитическое реше ние сопряжено со значительными математическими трудностями. В частности, не всегда можно получить удовлетворительный результат и с помощью численных методов. В таких случаях на помощь приходят экспериментальные методы исследования. При исследовании гидродинамических явлений в жидкости обычно идут экспериментальным путем.
Цель этих исследований состоит в том, чтобы получить данные, необходимые для расчета других процессов, родственных изучаемому.
Эксперименты проводятся на специально создаваемых модельных установках, моделирующих определенным образом исследуемые устройства и протекающие в них физические процессы. При этом возникает вопрос: каким условиям должен удовлетворять модельный поток, чтобы по модельным испытаниям можно было установить свойства натурного потока? На этот вопрос ответ дает теория гидродинамического подобия.
Известны физический и математический методы моделирования. При физическом моделировании исследуемая модель обычно
выполняется в меньшем масштабе, чем оригинал (натура), и воспро изводит изучаемое явление с сохранением его физической природы.
Физическое моделирование находит широкое применение при опытных исследованиях в области гидравлики. Моделирование ос новано на создании модели, имеющей ту же физическую природу, что и процессы, протекающие в натуре. Достоинством этого метода является возможность изготовления модели в любом произвольном масштабе и применения на модели любой жидкости.
Обычно модель выполняется меньших размеров, чем в натуре, что значительно удешевляет и упрощает проведение опытов. Полученные результаты опытов обрабатываются и обобщаются с целью переносов их в натуру. Физическое моделирование базируется на законах теории механического подобия и теории размерностей.
На практике обычно применяется частичное, или приближенное, моделирование. В этом случае модель исследуется по основным признакам, соответствующим реальному процессу.
При частичном моделировании используются свойства прибли женного подобия по одному из определяющих критериев.
В этом случае основной задачей является определение связи меж ду определяющими и неопределяющими критериями, а также нахождение масштабов для основных физических величин.
Непременным условием при физическом моделировании является строгое геометрическое подобие модели и натуры, а также равенство в них соответствующих критериев подобия.
Математическое моделирование осуществляется путем изучения явлений, имеющих иное, чем исследуемый процесс, физическое содер жание, но описываемых аналогичными математическими уравнениями.
Гидродинамическое подобие включает в себя геометрическое, кинематическое и динамическое подобия потоков несжимаемой жидкости.
Геометрическое подобие означает пропорциональность сходственных размеров и равенство соответствующих углов. Будем рассматривать сходство тех поверхностей, которые ограничивают поток, т.е. подобие русел. Пример подобных русел приведен на рис. 66.
Н |
М |
1
Рис. 66. Геометрическое подобие русел
Кинематическое подобие означает подобие линий тока и пропорциональность скоростей (сходственных). Для этого необходимо соблюдение условий геометрического подобия русел.
Динамическое подобие означает пропорциональность сил, действующих на сходственные элементы кинематически подобных потоков. В потоке действуют силы: давления (Р), веса (G), вязкости (7).