2.МЕХАНИЧЕСКИЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ

2.1.Определение механических четырехполюсников

Данный раздел использует терминологию монографии [1], но по части проектирования вибрационных фильтров следует учебнику [2], содержащему более богатый материал (правда, относящийся к электрическим цепям). Механические цепи, отвечающие линейным динамическим системам с сосредоточенными массами, упругими и вязкими элементами, имеют аналогию с линейными электрическими цепями [3]. Упомянутые элементы механической цепи являются двухполюсниками. При исследовании затухания либо усиления колебаний в определенной точке (полюсе) механической цепи при приложении вибронагрузки в другом полюсе, в зависимости от частоты вибровозбуждения, необходимо ввести понятие механического четырехполюсника.

Механическим четырехполюсником называется механическая цепь, для которой рассматривается связь переменных состояния в двух полюсах. Поскольку переменные состояния в полюсах отсчитываются относительно неподвижной системы отсчета, в модели формально присутствует связанный с ней полюс. Оператор представляет собой четырехполюсник, связывающий две переменные сил и/или скоростей в рассматриваемых полюсах относительно неподвижной системы отсчета с двумя оставшимися переменными.

В качестве примера рассмотрим две массы m1,m2 , последовательно соединенных пружинками с жесткостями k1,k2 , подвешенных к

неподвижному кронштейну (рис. 2.1, а). Каждая из масс независимо возбуждается вибронагрузками с одинаковой частотой и амплитудами Q1 и

Q2 . Строя механическую цепь рассматриваемой динамической системы

(рис. 2.1, б), можно выделить из нее четырехполюсник и обозначить переменные состояния на его «входе» (условно ― слева четырехполюсника) Q1,v1 и «выходе» (справа четырехполюсника) Q2 ,v2 . Если пара переменных

Qi ,vi таковы, что Qi / vi > 0, полагается, что ими к четырехполюснику приложена активная нагрузка. Если для пары переменных Qj ,vj будет Qj / vj < 0 , к данному полюсу динамической системы приложена пассивная нагрузка и, чтобы учесть это при составлении уравнений, переменная Qj

17

будет снабжаться отрицательным знаком: −Qj . В рассматриваемой схеме возможны любые сочетания активных и пассивных нагрузок.

Рис. 2.1. Пример динамической системы и отвечающий ей механический четырехполюсник

Обратимся к составлению уравнений оператора механического четырехполюсника. Активные силы Q1,Q2 связываются со скоростями v1,v2

матрицей сопротивлений

Если входными переменными являются скорости v1,v2 , то с силами Q1,Q2 их связывает матрица подвижностей

Связь переменных состояния Q1,v1 , порожденных активной нагрузкой, на входе с переменными состояния −Q2 ,v2 , порожденных пассивной нагрузкой, на выходе осуществляется оператором

Из (2.1)‒(2.3) видно, что четырехполюсник характеризуется четырьмя параметрами, называемыми первичными, которые являются

18

комплекснозначными и зависят от частоты колебаний. Параметры матрицы B выразим через параметры матрицы S :

где S = S11S22 − S12S21 , B = B11B22 − B12B21 ― определители матриц S и B .

Первичные параметры четырехполюсника теоретически определяются соотношениями

непосредственно следующими из (2.1)‒(2.3). Видно, что первичные параметры представляют собой сопротивления, подвижности и некоторые безразмерные величины при определенных кинематических или силовых ограничениях. Условия vi = 0, i = 1, 2 соответствуют закороченным полюсам на

входе или выходе (при мгновенной остановке), а условия Qi = 0, i = 1, 2 ― разомкнутым полюсам на входе или выходе (на холостом ходу).

В некоторых частных случаях четырехполюсник имеет меньше четырех независимых параметров. У обратимого четырехполюсника отношение силы на входе к скорости на выходе не зависит от того, что считать входом, а что ― выходом, то есть

откуда

и, с учетом (2.5),

то есть такой четырехполюсник характеризуется унитарной матрицей B .

Обратимый четырехполюсник характеризуется тремя независимыми параметрами. Для симметричного четырехполюсника перемена местами входа и выхода не изменяет скоростей и сил в его цепи, что эквивалентно любому из условий

Симметричный четырехполюсник всегда является обратимым и характеризуется двумя независимыми параметрами.

Интересует возможность соединения механических четырехполюсников в цепи. Из рассмотренных выше операторов (2.1)‒(2.3) только последний предполагает цепное правило для матриц

при каскадном соединении четырехполюсников 1 и 2, у которых нагрузка на входе полагается активной, а выходе ― пассивной. Согласно правилу (2.16), в результате каскадного соединения обратимых четырехполюсников получается обратимый четырехполюсник, что следует из свойств определителя произведения унитарных матриц. Симметрия четырехполюсника, образованного каскадным соединением симметричных четырехполюсников, требовала бы коммутативности произведения матриц, поэтому в общем случае она не будет иметь места.

20