книги / Численные методы. Ч. 4

2.С уменьшением шага разностной сетки погрешность определения чис­ ленного значения первой производной уменьшается.

3.При очень малых сеточных шагах, h < 210‘п, погрешность определения значения первой производной возрастает, что связано с влиянием ошибок ок­ ругления результатов расчетов в ЭВМ.

2.1,2. Разностный аналог второй производной

Задание. Вычислить приближенно значение второй производной функции f{x ) - x/sin х в точке х = л/2 с помощью разностного аналога

/ f c -i) - 2/ ( s , ) + / f o J 2

А2

Исследовать сходимость численно определяемых значений к точному зна­ чению и определить зависимость погрешности численного дифференцирова­ ния от шага h.

Алгоритм решения

Пусть на отрезке [а9Ъ] задана сетка с шагом h = {b-a)!n. В произволь­

ной точке этой сетки приближенное значение второй производной функцииДх) представляется с помощью выражения

■г»_ /(* /-|)-У (* ,)+ /(* ,.|)

3>~ и2

Эта формула аппроксимирует значение второй производной в рассматри­ ваемой точке с погрешностью второго порядка.

При условии, что погрешность округления 5окр результата вычисления функции в ЭВМ не превышает погрешности аппроксимации при записи разно­ стных аналогов, можно получить ограничение на шаг сетки при численном оп­ ределении второй производной f ”,

'486^

h> i

М< ’

где М4 =qaxj/"(*)|.

Выполнение расчетов

Для оценки точности разностных формул определяется вторая производ­

Рис. 2.3. Погрешность 5 аппроксимации второй производной функции /(* ) = jc/sin х вблизи точки х = п/2

Для различных значений шага h определяются, в соответствии с приве­ денными формулами, приближенные значения производных. В табл. 2.2 приве­ дены отклонения получаемых значений от точного значения производной:

s =

На рис. 2.3 представлены те же данные в виде зависимости погрешности 6 от шага h.

Выводы

1. Определены приближенные значения второй производной заданной функции в указанной точке с ипользованием разностного соотношения.

2.С уменьшением шага разностной сетки погрешность определения при­ ближенного значения производной уменьшается.

3.При малых сеточных шагах, h < КГ4, погрешность определения значе­ ния второй производной возрастает, что связано с влиянием ошибок округле­ ния результатов расчетов в ЭВМ.

2.2.Численное интегрирование

Требуется вычислить значение определенного интеграла

/ = J/(x)dx.

а

Пусть подынтегральная функция на отрезке [а, Ь] представлена разложе-

у=0

данных точках ху; фу(х) - линейно-независимые функции. Подстановка разло­

жения под знак интеграла приводит к выражению

ь___

постоянным шагом h на заданном отрезке [а, Ь\. Аддитивность операции ин­

ох,_,

Вычислять и оценивать квадратурные формулы.

2.2.1. Формула прямоугольников

10

Задание. Для определенного интеграла je~* dx :

о

-разработать вычислительную программу, реализующую метод прямо­ угольников;

-найти значение заданного интеграла;

Рис. 2.4. Сходимость на последовательности сеток Q„ значений

ю

интеграла je~x dx, вычисленных по формулам метода прямоуголь-

о

ников с центральной (-о-), левой (-А-) и правой (-0-) точками

На рис. 2.4 приведены кривые, отражающие сходимость процесса при10

ближенного вычисления определенного интеграла jV x dx с помощью формул

о

метода прямоугольников с левой, центральной и правой точками.

Выводы

1. Найдены приближенные значения определенного интеграла от заданной функции на указанном отрезке с использованием формулы прямоугольников.

2.С уменьшением шага разностной сетки погрешность вычисления при­ ближенного значения определенного интеграла уменьшается.

3.Погрешность вычисления интеграла не превышает КГ6 (согласно табл.

2.3), если шаг интегрирования равен 3,9-10~3 для метода прямоугольников с центральной точкой и 1,9-Ю^6 для метода прямоугольников с левой И правой точками. Это свидетельствует о более высокой эффективности метода прямо­ угольников с центральной точкой.

4. Для вычисления значения определенного интеграла по формуле прямо­ угольников с центральной точкой на компьютере с процессором Intel® Pentium® 4 (тактовая частота 2,2 ГГц, объем оперативной памяти 512 Мбайт) требуется 0,8-10 '3 с.

ю

Задание. Для определенного интеграла je~xdx :

о

-найти значение заданного интеграла;

-исследовать сходимость численно определяемых значений при умень­ шении шагов интегрирования;

-определить зависимость погрешности численного интегрирования от шага интегрирования;

-установить, при каком шаге интегрирования погрешность вычисления интеграла не превышает КГ6/

-оценить быстродействие вычислительной программы.

Алгоритм решения

Пусть функция /(х ) на отрезке [xk. ]txk] заменяется линейным прибли­ жением /(х ) * [(хк - x)f{xk_\ )+ (х - хк_\)f(xk)]/h. Это означает, что для разло­ жения /(х ) используются две функции: Фо(*) = (**-*)/Л и Ф1(х) = (х-х^_1)/Л. В этом случае весовые коэффициенты принимают следую­ щие значения:

С0* = }<PoW£b: = r . С* = jcp,(x)dc = ^.

Отсюда вытекает формула трапеций:

}/(x)dx * /(**_, ) | + /(* , ) | = {/(х,.,)+ f{x t Щ . **-■

Погрешность вычисления интеграла на отрезке [х*ч , х*] оценивается ве­ личиной

M ± £ L = 0 {h} ).

Для всего отрезка интегрирования [а, Ь] погрешность интегрирования Оценивается выражением

|6|<M 2A2(6 -a)/l2 . В этих выражениеях, как и ранее,

Иными словами, для всего отрезка [а, Ь] погрешность формулы трапеций Имеет второй порядок.

На рис. 2.5 приведена зависимость погрешности приближенного вычисле-

ю

ния определенного интеграла Je'xdx с помощью формулы трапеций.

о

Выводы

1. Найдено приближенное значение определенного интеграла от заданной функции на указанном отрезке с использованием формулы трапеций.

2.С уменьшением шага разностной сетки погрешность определения при­ ближенного значения интеграла уменьшается.

3.Погрешность вычисления интеграла по формуле трапеций не превышает КГ6 (согласно табл. 2.4), если шаг интегрирования равен 1,95-10-3

4.Для вычисления значения определенного интеграла по формуле трапе­

ций на компьютере с процессором Intel® Pentium® 4 (тактовая частота 2,2 ГГц, объем оперативной памяти 512 Мбайт) требуется 3,Ы(Г3 с.

2.2.3. Формула парабол (Симпсона)

ю

Задание. Для определенного интеграла je~xdx ;

о

-разработать вычислительную программу, реализующую метод парабол;

-найти значение заданного интеграла;

-исследовать сходимость численно определяемых значений при умень­ шении шагов интегрирования;

-определить зависимость погрешности численного интегрирования от шага интегрирования;

-установить, при каком шаге интегрирования погрешность вычисления интеграла не превышает 10-6;

-оценить быстродействие вычислительной программы.

Алгоритм решения

Пусть на отрезке [х*_1} х*] функция /(х ) заменяется полиномом Лагранжа

2-й степени:

[а, b] погрешность формулы парабол имеет четвертый порядок.

Выполнение расчетов

Для различных значений шага h определяются, в соответствии с приве­ денным выражением, приближенные значения заданного интеграла. В табл. 2.5 приведены отклонения 5 = |/ - I h\ получаемых численных значений /* интегра­ ла от точного значения