книги / Численные методы. Ч. 4

Погрешность аппроксимации можно уменьшить, если использовать в ка­ честве узловых точек корни полинома Чебышева степени п:

Выполнение расчетов

Пусть на отрезке [-1,1] построена равномерная сетка, содержащая 5 узлов. Воспользуемся аналитической зависимостью /(* )= |х| для табличного задания

значений функции. Узловые координаты и соответствующие им значения при­ ведены в табл. 1.9. Полином Лагранжа, аппроксимирующий функцию /(х ) = |х|, заданную таблично на отрезке [-1, 1] с помощью равномерной сетки,

содержащей 5 узлов, имеет вид

Л (х) *(* + 0.5)(*-0,5)(х-1) х(х +l)(x - 0,5)(х - 1)

Аналогичным образом строятся аппроксимации на сетках, содержащих 3, 9, 17, 33 и 65 узлов. Вид соответствующих функций приведен на рис. 1.10. На рис. 1.11 показана зависимость погрешности аппроксимации полиномами Рп(х) заданной функции /(* ) = \х\ на равномерных сетках,

б»= 1ИХ*)- /М П = n jax p .M - f{x )\.

Для повышения точности аппроксимации функции полиномом Ньютона воспользуемся чебышёвской сеткой на отрезке [-1,1]:

(2/' + 1)я . —

Полином Лагранжа, аппроксимирующий таблично заданную функцию на том же отрезке с помощью чебышёвской сетки, содержащей 5 узлов, имеет вид

р / ч х(х + 0,5878)(х-0,5878)(х-0,9511) х(х+0,951 l)(x- 0,5878)(х-0,9511)

Аналогично строятся полиномы Лагранжа на чебышёвских сетках, содер­ жащих 3, 9, 17, 33 и 65 узлов. Вид соответствующих полиномов приведен на рис. 1.12. На рис. 1.13 показана зависимость погрешности аппроксимации

Пусть отыскиваемое приближение Рт(х) зависит от известного числа т + 1 параметров а0,аи ...,ат. Отклонение функции / ( х) от ее приближения Р„(х)

определяется соотношением

писывается в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов ар, р = 0, т :

пП

Выполнение расчетов

Воспользуемся аналитической зависимостью /(х ) = |х| для табличного за­

дания функции, например, в 101 узле равномерной сетки на отрезке [-1,1].

Рассмотрим построение полинома ЛОО, то есть т = 4. В табл. 1.11 приве­ дена матрица коэффициентов и правая часть системы уравнений метода наи­ меньших квадратов.

Рис. 1.14. Аппроксимация на отрезке [-1, 1] функции /(* ) = \х\

полиномами Р„(х), построенными с использованием метода наименьших квадратов

Рис. 1.15. Погрешность аппроксимации 5„ функции /(х ) = |х|

полиномами Рп(х) на отрезке [-1,1] при использовании метода наименьших квадратов

- решение системы уравнений B a = f ;

п

- построение ср = ^ а к(рк .

к=о

Выполнение расчетов

Выполнение расчетов рассматривается на примере построения полинома Р4{х). В качестве системы линейно-независимых функций выбираются полино­ мы (р*(х) = х к, к = 0, п. В соответствии с приведенными соотношениями вычис­ ляются коэффициенты btj иf системы линейных алгебраических уравнений:

1

**=(ф*.ф,)я = Jx*x'dr = £ + р + 1

Значения подсчитанных коэффициентов приведены в табл. 1.12.

Рис. 1.16. Полиномы наилучшего приближения функции /(х)=|х| полиномами Рп(х) на отрезке [-1, 1 ]

Решение этой системы уравнений методом Гаусса позволило построить полином Р4(х) (рис. 1.16), аппроксимирующий на отрезке [-1, 1] функцию

/ М = Н :

/>4 (ж) = 0,1172 + 1,6406.x2 - 0,8203х4

Таблица 1.12

Коэффициенты матрицы btj и правая частьf системы линейных алгебраи­ ческих уравнений Ва = /п ри построении наилучшего приближения

Рис. 1.17. Погрешность 5„ аппроксимации функции У*(х)= |х|

полиномами Р„(х) наилучшего приближения на отрезке [-1,1]

Аналогичным образом строятся полиномы Рг(*\ Ръ(*\ Р\ь(*) и так далееВид этих функций приведен на рис. 1.16. На рис. 1.17 показана зависимости погрешности аппроксимации функции /(* )= |х| полиномами Рп(х\

Выводы

1. Разработана программа для наилучшего приближения в гильбертовой пространстве заданной функции /(* )= |х| полиномами Рп(х) на отрезке [-1,1].

2. С помощью этой программы исследована последовательность полиномов Рг(х\ Ра(х), PS(X), Р^С*), Рп(х) и Рб4(*) наилучшего приближения заданно# функции. Показано, что для заданной функции последовательность построен­ ных полиномов сходится.