книги / Цифровые сигналы и фильтры
..pdfразования как z*7. Это схема ре курсивного фильтра. В ней для определения сигнала на выходе используются значения сигнала на входе и значения сигнала на выходе в предыдущие моменты времени. Схема ЦФ отражает последовательность операций по определению сигнала на вы ходе в заданный момент време ни.
4.3.2. Метод наложения
Метод анализа прохождения сигнала через ЦФ, названный как метод наложения, основан на использовании дискретной
свертки импульсной характеристики ЦФ и сигнала на входе
«2(«Т) = £ |
и, (kT)h(nT- к Т ) = ± к, (пТ - кТЩ кТ). |
(4.25) |
к=0 |
к=О |
|
а)
Схема расчета по записанному алгоритму - схема ЦФ представлена на рис. 4.5. В схеме для получения сигнала на выходе используются значения только сигнала на входе. Такие фильтры называются нерекурсивными.
Примеры характеристик ЦФ и прохождения сигнала через них приведе ны на рис. 4.6 и 4.7; а - характеристики фильтра (импульсная и частотная), б —сигналы на входе и выходе фильтра.
Анализ алгоритма нерекурсивного фильтра показывает, что ЦФ может быть выполнен как нерекурсивный только в том случае, когда импульсная характеристика его конечна, или когда при ее использовании можно огра ничиться конечным числом членов в (4.25).
4.3.3. Метод, основанный на использовании системной функции
Системная функция ЦФ найдется, если в (4.23) перейти к z-преобразо- ванию левой и правой частей равенства
а)
М |
О ш м м м » |
» |
|
|
! |
|
|
: |
|
.... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.............: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ГО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
---------------------------------- |
|
|
|
|
|
1 2 |
14 |
15 |
|
— т ---------- |
5— |
; ---------- |
Г |
10 |
11 |
12 |
|||
б) Рис. 4.7
иг(z) - (г) -... - bHz~NU2(z) =
=a0C/,(2) + a12-1C/,(2) + ... + aM2-M[/1(z).
Из (4.26) получим выражение для системной функции в виде:
Н( =) - и * Ы - |
До + a 'Z~‘ + - + aMz"M |
(4.27) |
c/,(z) |
i - v , - - - V w |
|
Системная функция (4.27) соответствует рекурсивному фильтру, схема которого изображена на рис. 4.4. Анализ (4.27) показывает, что коэффици енты слагаемых числителя системной функции определяют нерекурсив ную часть фильтра, а коэффициенты слагаемых знаменателя определяют рекурсивную часть фильтра. Таким образом, получив системную функцию в виде (4.27), можно построить схему ЦФ.
Системная функция, как указывалось ранее, определяется как z-преоб- разование импульсной характеристики
Я (2 ) = Х Л ( и7,К "
п=0
Системная функция определяет рекурсивную схему фильтра. Таким образом, от нерекурсивной схемы ЦФ можно перейти к рекурсивной.
Деление методов анализа ЦФ, как это проведено, является довольно условным, все они, как и характеристики ЦФ, взаимосвязаны. Удобство же такого деления состоит по большей части только в методическом плане.
В дальнейшем описанные характеристики ЦФ и методы их анализа ис пользуются при решении задач проектирования ЦФ. Удобство использо вания той или иной характеристики определяется исходными данными (постановкой задачи) и требованиями к проектируемому ЦФ.
4.4. Схем ы реализации циф ровы х ф и л ь тр о в
4.4.1.У с ло в и я реализуемости и устойчивости ЦФ
При реализации ЦФ, как и аналоговых линейных цепей, должны вы полняться некоторые условия, прежде всего: условия его физической реа лизуемости и устойчивой работы.
Условие физической реализуемости ЦФ может быть записано в виде:
И(пТ)=0 при п<0. |
(4.28) |
Существуют цепи, имеющие важное значение для практики, но физи чески не реализуемые. К ним относится, например, идеальный фильтр нижних частот. Вследствие такого положения определенная часть теории цепей посвящена методам аппроксимации характеристик физически нере ализуемых цепей характеристиками, которые могу'рбыть обеспечены фи зически реализуемыми фильтрами. Сказанное относится как к аналого вым цепям, так и ЦФ.
Второе условие, которое должно выполняться для ЦФ (подобное усло
вию для аналоговой цепи), это условие устойчивости: |
|
]Т|Л(ЛГ)|<оо |
(4.29) |
Jt=0
Так ЦФ с импульсной характеристикой вида
ЩпТ) = cfT,
будет устойчивым только при \а\ <1.
4.4.2. Нерекурсивные фильтры
Из-за сходства структуры нерекурсивного фильтра с линией задержки с отводами его иногда называют фильтром с многоотводной линией задерж ки или трансверсальным фильтром (рис. 4.5).
В нерекурсивном фильтре отсутствует обратная связь, что делает его работу устойчивой. Простота и устойчивость - основные достоинства не рекурсивного фильтра. В ряде случаев реализация ЦФ возможна (целесо образна) только по схеме нерекурсивного фильтра.
Ограничения в применении нерекурсивных фильтров связанны с необ ходимостью описания импульсной характеристики фильтра конечным чис лом членов последовательности (отбросив те, которые малы). В случае медленного убывания импульсной характеристики алгоритм нерекурсив ного фильтра может быть нереализуем.
Импульсные характеристики аналоговых цепей не ограничены. Им со ответствуют ЦФ с бесконечной импульсной характеристикой - БИХ филь тры. Однако наряду с БИХ фильтрами могут быть и ЦФ с импульсной ха рактеристикой конечной длительности - КИХ фильтры. КИХ фильтры ре ализуются только как ЦФ, они не имеют прототипов среди аналоговых цепей.
4.4.3. Рекурсивные фильтры
Каноническая схема рекурсивного фильтра
Как указывалось ранее, рекурсивный фильтр реализует алгоритм, опи сываемый разностным уравнением, в общем случае N-ro порядка - (4.23). Выражение для z-преобразования сигнала на выходе такого фильтра запи сывается в виде
an + |
Æ, Z |
1 + . . . |
+ ÆwZ |
м |
|
U2 (Z) = -2 — |
Ч : |
---------- |
7 * 4 r U t(z) |
(4.30) |
|
1 - 6 ,z ... |
-b Nz |
|
|
||
Представим (4.30) как |
|
|
|||
U1(z) = W (z){a,+ a,z-' +... |
+ aMz -M), |
(4.31) |
|||
где W(z) =
t/,(z )
1 - b xz —,.. — bNz - N
Преобразование, соответствующее W(z), осуществляется с помощью рекурсивного фильтра N-то порядка. Выражению (4.31) соответствует не рекурсивное преобразование сигнала.
Таким образом, схема ЦФ, включающая нерекурсивную и рекурсивную части, может быть изображена, как показано на рис. 4.8.
Если объединить дублирующие элементы схемы (элементы задержки), то получится схема, изображенная на рис. 4.9. Такая схема рекурсивного
фильтра называется канонической, в отличие от основной или прямой. Преимущество канонической схемы - минимальное число элементов за держки и связанное с этим удобство при программной реализации ЦФ.
Достоинством рекурсивного фильтра (по сравнению с нерекурсивным) является сокращение числа вычислительных операций. Кроме того, мо жет быть обеспечена более высокая точность расчета. Некоторые алгорит мы линейной обработки сигналов могут быть реализованы при рекурсив ной схеме ЦФ.
4.4.4. Каскадная схема фильтра
Если в системной функции фильтра
flo+fliZ-1+ ... + о,г~*
tf(z ) = |
( 4 . 3 2 ) |
1 - bxz~x- b2z~2 - ... |
- bnz~n |
многочлены числителя и знаменателя разложить на множители вида:
<*K + P K Z |
и л и ^Х-к ^ Р к 2 ~ ^ Y K Z |
( 4 . 3 3 ) |
то, группируя эти множители, можно представить системную функцию фильтра в виде произведения
( 4 . 3 4 )
где Н к(z) |
представляет дробь вида |
а к + Р |
к или a K + PKz -'+ Y Kz -2 |
|
(4.35) |
1 + ÇK Z~' |
1 + ÇK Z ~ ' + Ç K Z ~2 |
Множители Hk(z) представляют системные функции ЦФ первого или второго порядков. Как следует из (4.34), ЦФ может быть реализован по средством каскадного соединения ЦФ меньших порядков (первого или вто рого порядков).
Схему, реализующую такой алгоритм, называют каскадной. Она изоб ражена на рис. 4.10.
Каскадное включение может выполняться с целью корректировки час тотной характеристики ЦФ. Влияние каскадного соединения и числа пос ледовательно включенных ячеек на характеристики фильтра иллюстриру ют графики, приведенные на рис. 4.13 и 4.14. На рис. 4.13 приведены им пульсные характеристики (слева) и АЧХ (справа) для ФНЧ, схема ячейки
Рис. 4.10
1
Рис. 4.15
которого приведена на рис. 4.11. На рис. 4.14 приведены такие же характе ристики для ФВЧ, схема ячейки которого приведена на рис. 4.12.
Как следует из анализа приведенных характеристик, при последователь ном включении идентичных ячеек полоса пропускания ФНЧ сужается, полоса ФВЧ расширяется.
4.4.5. Параллельная схема фильтра
Системную функцию фильтра (4.32) можно также представить в виде суммы простых дробей
H ( z ) ^ H k(z), |
(4.36) |
*=1 |
|
где H k(z) - системные функции, соответствующие фильтрам меньших
порядков.
Как следует из (4.36), цифровой фильтр N-ro порядка может быть реа лизован с помощью фильтров меньших порядков (первого или второго порядков) - посредством их параллельного включения (рис. 4.15). Такую схему называют параллельной.
В частном случае знаменатель дроби
tf(z ) = и м £/,(*)
может представлять постоянную величину. В этом случае ЦФ становится нерекурсивным, т.е. текущее значение и/пТ) зависит только от значений входной последовательности.