25.26.27 / Лаба №26 / Лаба №26

Дата Фамилия Группа

Лабораторная работа №26

I.Название работы:

Изучение процессов зарядки и разрядки конденсатора.

Цель работы:

Изучить теорию зарядки и разрядки конденсатора, экспериментально получить зависимость напряжения на конденсаторе от времени при его зарядке и разрядке.

II.Краткое теоретическое обоснование:

Возникновение переходных процессов

В электрических цепях могут происходить включения или выключения пассивных (не содержащих источники энергии) или активных (содержащих источники энергии) ветвей, кроткие замыкания отдельных участков, различного рода переключения, внезапные изменения параметров и т. д. В результате таких изменении, называемых часто коммутационными или просто коммутациями, которые будем считать происходящими мгновенно, в цепи возникают переходные процессы, заканчивающиеся спустя некоторое (теоретически бесконечно большое) время после коммутации.

Законы коммутации

1.В любой ветви с индуктивностью ток и магнитный поток в момент коммутации сохраняют те значения, которые они имели до коммутации, и дальше начинают изменяться именно с этих значений.

2. В любой ветви напряжение и заряд на емкости сохраняют в момент коммутации те значения, которые они имели до коммутации, и в дальнейшим изменяются, начиная именно этих значении.

В дальнейшим мы будем изучать только изменение напряжения на конденсаторе при коротком замыкании цепи RC (ветви, имеющей последовательное соединение сопротивления R емкости С) и включении этой цепи RC на постоянное напряжение, т.е. процессы разрядки и зарядки конденсатора.

Разрядка конденсатора

Зарядим разряженный конденсатор емкостью С путем перевода переключателя П в положение 1 (см рис. 11.1) до некоторого напряжения U_co

U_c= U_co (11.1)

В частности, при бесконечно большом времени зарядки t U_co=ε

Затем переключатель П мгновенно перевести в положение 2, и конденсатор разряжается через сопротивление R. Введем следующие обозначения:

U_c– мгновенное значение напряжения на конденсаторе;

U_co– напряжение на конденсаторе при начале разрядки;

U_R –мгновенное значение напряжения на сопротивлении;

i – мгновенное значение тока в цепи;

q – заряд на обкладке конденсатора.

U_R = R_i = R • (dq/dt), U_C = (1/C)q (11.2)

Напомним второй закон Кирхгофа: в любом контуре алгебраическая сумма эдс равна алгебраической сумме напряжений на сопротивлениях, входящих в этот контур. Поэтому можно записать

U_R + U_C = 0 , (11.3)

Из уравнений (11.2) и (11.3) получим

R• (dq/dt) + (1/C)q=0

Преобразуем это уравнение к следующему виду

(dq/dt)+ (1/RC)q=0 (11.4)

Уравнение (11.4) представляет собой линейное однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Его легко проинтегрировать, разделив переменные, т.е. записав в виде

dq/q = – (1/RC) dt

откуда следует

∫ (1 / q) • dq = – ∫ (1/RC) • dt

Взяв интегралы, получим

lg q = – (t/RC) + ln const

(имея в виду дальнейшие преобразования, мы постоянную интегрирования написали в виде ln const).

Потенцирование этого соотношения дает

(q / const) = e ^{– (t / RC)}

отсюда q = const • e ^{– (t / RC)} (11.5)

Выражение (11.5) является общим решением уравнения (11.4). Значение const найдем из начальных условий. При t = 0 из (11.1) и (11.2) получим

q = U_coC

После подстановки полученного выражения в уравнение (11.5) получим:

U_coC = const • e ^{– (0 / RC)} = const 1

Поэтому уравнение (11.5) может быть представлено в следующем виде:

q = U_coC • C • e ^{– (t / RC)}

Разделив левую и правую части этого уравнения на С с учетом (11.2) можно записать

U_C = U_co • e ^{– (t / RC)}

Из (11.6) следует, что при коротком замыкании цепи R, С напряжение на конденсаторе убывает по экспоненциальному закону от U_co при t = 0 от 0 при t=∞. Теоретически U_C будет всегда больше нуля, т. к. t всегда конечная величина.

Зарядка конденсатора.

При полной разрядке конденсатора (при нулевом показании вольтметра, измеряющего напряжение на конденсаторе) мгновенно переключим переключатель П в положение 1 (см. рис.11.1)

По второму закону Кирхгофа можно записать:

U_R + U_C = ε (11.7)

(11.7) получим:

R • (dq / dt) + (1 / C) • q = ε

преобразуем это уравнение к следующему виду:

(dq / dt) + (1 / RC) • q = ε / R (11.8)

Уравнение (11.8) представляет собой линейное неоднородное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения можно получить, прибавив любое его частное решение к общему решению соответствующего однородного уравнения. Уравнение (11.5) дает общее решение однородного уравнения. Частное решение получим из условия, что конденсатор заряжается до напряжения U_С = ε при бесконечно большом времени зарядки t. Поэтому

q_частн = ε • C (11.9)

Сложив (11.5) и (11.9), получим

q = ε • C + const • e ^{– (t / RC)} (11.10)

Найдем const из начального условия при t = 0, U_C = 0, q = 0.

0 = ε • C – ε • C • e ^{– (t / RC)}

const = ε • C

Тогда из (11.10) будем иметь:

q = ε • C – ε • C • e ^{– (t / RC)}

Разделив это уравнение на С, с учетом (11.2), запишем:

U_С = ε (1 – e ^{– (t / RC)}) (11.11)

Из уравнений (11.6) и (11.11) следует, что напряжение на емкости изменяется по экспоненциальному закону. Напряжение уменьшается или возрастает тем медленнее, чем больше произведение RС. Поэтому произведение RС называют постоянной времени и обозначают буквой τ (тау).

τ = RС (11.12)

Найдем физический смысл постоянной времени τ. В соответствии с (11.6)

(U_C / U_C (t + τ)) = (U_CO • e ^{– (t / RC)}) / (U_CO • e ^{– (t+τ ) / (RC)}) = e ^{(τ / RC)} = e ^{(RC / RC)} = e

U_C • (t + τ) = U_C (t) / e

Следовательно, τ – это время, за которое напряжение на конденсаторе уменьшится в е раз.

Постоянную времени τ называют также временем релаксации (от латинского «relaxatio» – ослабление, уменьшение напряжения).

Найдем уравнение касательной к экспоненте (11.6) с учетом (11.12).

dU_C / dt = U_CO • e ^{– (t / τ)} • (– (l / τ)) = – U_C / τ = tg α

Экспонента (.11.6) и касательная к ней в момент t показаны на рис. 11.2.

Из рис. 11.2 следует, что τ – это время, за которое напряжение на конденсаторе достигло бы установившегося значения U_C=0, если с момента t скорость изменения напряжения на конденсаторе не изменялась бы.

III.Рабочие формулы и единицы измерения.

τ = RС U_R + U_C = ε

IV.Схема установки.

V.Измерительные приборы и принадлежности.

1. Конденсатор

2. Секундомер

3. Элемент питания

VI.Результаты измерения.

Изменение напряжения Uc, B	Время изменения напряжения t ,c	Среднее время tср, с
от до	1-ый опыт 2-ой опыт
0 0,1	4,45 5,3	4,875
0 0,2	9,6 10,4	10
0 0,3	16 16,6	16,3
0 0,4	24,6 25,7	25,15
0 0,5	36,1 37,3	36,7
0 0,6	52 53,2	52,6

Изменение напряжения Uc, B	Время изменения напряжения t ,c	Среднее время tср, с
от до	1-ый опыт 2-ой опыт
0,7 0,6	2,9 2,6	2,75
0,7 0,5	5,5 5,2	5,35
0,7 0,4	8,9 8,7	8,8
0,7 0,3	14,1 13,4	13,75
0,7 0,2	27 21,1	24,05

VII. Черновые записи и вычисления.

t_ср = (9,6 + 10,4) / 2 =10 t_ср = (2,9 + 2,6) / 2 = 2,75

t_ср = (16 + 16,6) / 2 =16,3 t_ср = (5,5 + 5,2) / 2 = 5,35

t_ср = (24,6 + 25,7) / 2 =25,15 t_ср = (8,9 + 8,7) / 2= 8,8

t_ср = (36,1 + 37,3) / 2 =36,7 t_ср = (14,1 + 13,4) / 2 = 13,75

t_ср = (52 + 53,2) / 2 =52,6 t_ср = (27 + 21,1) / 2 = 24,05

VIII. Основные выводы.

Мы изучили теорию зарядки и разрядки конденсатора, экспериментально получили зависимость напряжения на конденсаторе от времени при его зарядке и разрядке.

IX. Графики.