книги / Напряженное состояние и прочность оболочек из хрупких неметаллических материалов

Будем предполагать, что тело является цилиндрически ортотропным. В этом случае через каждую его точку проходит плоскость, все направления которой эквивалентны в отношении упругих свойств.

Меридиональное сечение R тела вращения разобьем на ряд контак­ тирующих между собой треугольных элементов. Вершины этих треу­ гольников, обозначенные для каждого элемента /, /, k, являются узла­ ми области. Тело вращения, таким образом, разбивается на ряд торо­ образных элементов с сечением в виде треугольника (рис. 1, а).

Рис. 1. Разбиение области на треугольные элементы:

а — треугольный элемент lt /, k в осевом сечении тела вращения; 6 — задание поверхностных нагрузок в угловой точке i\ о — «звезда» из треугольных эле­ ментов вокруг узла /, в которых анализируются значения углов (J; г — схема задания поверхностных нагрузок в узле /.

Задача, записанная относительно непрерывных переменных (пере­ мещений), заменяется задачей относительно дискретных значений этих перемещений в узлах треугольников, Ur = Ut\ Uz = V{. (В дальней­ шем будет использоваться матричная форма записи для основных соот­ ношений МКЭ, что делает изложение и запись более компактными.)

Примем, что компоненты вектора перемещений внутри элемента распределяются линейно в зависимости от узловых перемещений

где « 1/, <*2/, аз/ могут быть найдены из двух систем совместных уравне­ ний, которые получаются из каждого уравнения (II.2), если вместо

cl = zk —

Другие коэффициенты получаются в результате циклической пере­ становки индексов. В матричной форме соотношения (II.4) при­ мут вид

ются координаты соответствующих узлов.

Изменение перемещений в пределах элемента по линейному за­ кону (П.З) удовлетворяет условиям непрерывности в пределах всего тела. Вдоль каждой стороны треугольника перемещения изменяются линейно и, следовательно, полностью определяются значениями в двух соответствующих узлах. Поэтому для соседних элементов с одинако­ выми перемещениями в узлах перемещения в любой точке их общей стороны совпадают, и непрерывность перемещений не нарушается при переходе от элемента к элементу.

При выборе начала координат в центре тяжести треугольного эле­

Известно, что в положении равновесия потенциальная энергия стационарна. Введем [£ х] диагональную матрицу с числом элементов по диагонали, равным порядку вектора {q}, причем каждому элемен­

Если перемещения в узле заданы, соответствующий диагональный член принимается равным нулю, в противном случае диагональный член равен единице.

Условие стационарности потенциальной энергии на возможных вариациях вектора перемещения в узлах дает

41^ - °. <"-зв>

Уравнение (11.37) является разрешающим уравнением равновесия

вперемещениях, полученным из условий стационарности и записанным

вматричной форме.

Раскроем смысл всех членов, входящих в уравнение (П.37): {qj — вектор перемещений всех N узлов тела; [£] — вектор внешней нагруз­ ки в узлах,

X ([Я/Г [D] 1Яуу])гД вычисленная для элемента R.

Подматрицы матрицы [/С;дг]— нулевые, если по крайней мере один из узлов i или N не принадлежит элементу R.

Решив уравнение (11.36), относительно компонентов вектора уз­ ловых перемещений {q}, можно по формулам (11.10) и (11.13) найти деформации и напряжения и таким образом полностью решить краевую задачу.

Так как матрица [В], как уже было сказано, зависит от координат, напряжения изменяются по всему элементу (11.13). Обычно вычисляют напряжения в центре тяжести треугольников, а затем усредняют их, суммируя для всех элементов, содержащих узел i.

Переход от функциональных уравнений теории упругости к их раз­ ностным аналогам выдвигает проблему решения систем линейных алгебраических уравнений высокого порядка. Методы решения спе­ цифических систем линейных алгебраических уравнений, порождае­ мых методом конечных элементов, постоянно совершенствуются [22, 54, 56, 87, 90, 98, 109].

В некоторых универсальных пакетах прикладных программ широ­ ко используется метод сопряженных градиентов, однако наиболее ши­ роко применяются различные модификации метода исключения Гаус­ са [75, 90, 107, 109, 145, 146].

За последние годы создан ряд эффективных программ, ориентиров ванных на решение плоских и осесимметричных задач теории упругос­ ти [56, 59, 60, 75, 109, 115]. Усилия разработчиков пакетов приклад­ ных программ сосредоточиваются на повышении степени автоматиза­ ции всех этапов решения задачи: от разбиения области заданного конструктивного элемента до выдачи графической информации о рассчи­ танных компонентах тензора напряжений и перемещениях, характе­ ризующих напряженно-деформированное состояние элемента от воздействия заданных нагрузок. Ниже кратко опишем методику ис­ пользования метода конечных элементов для решения упругих осесим­ метричных задач при помощи одного из высокоавтоматизированных пакетов прикладных программ «Элемент» [60].

Основная часть затрат инженерного труда и машинного времени при решении задач математической физики методом конечных элемен­ тов связана с подготовкой исходной информации и обработкой полу­ чаемых в результате расчета числовых массивов.

Предложенный алгоритм и соответствующая ему программа [60, 71 ] позволяют в значительной степени автоматизировать указанные выше операции. При этом производительность исследователя повыша­ ется в десятки раз, а также существенно снижается вероятность ошиб­ ки в исходных данных вследствие многократного уменьшения их объема.

Важнейшими условиями при разработке было обеспечение достаточ­ но высокого качества сетки независимо от специфических особенностей каждой конкретной области. К числу таких особенностей, затрудняю­

щих автоматизацию, относятся большая кривизна; сильная вытянутость в одном направлении, наличие полостей, необходимость сгущения в ок> рестности концентраторов и т. д. При оценке качества построенной сетки следует принять во внимание, что форма и размеры элементов оказы­ вают существенное влияние на точность решения задачи, а затраты машинного времени определяются (при использовании прямых методов для решения систем линейных уравнений) топологической структурой сетки и способом нумерации узлов.

В связи G этим основные требования, предъявляемые к конечно­ элементному разбиению, следующие:

размер элементов в зонах ожидаемых больших градиентов искомой функции должен быть достаточно мал для того, чтобы обеспечить ее адекватную аппроксимацию;

нумерация узлов должна давать близкую к минимально возможной ширину ленты в системе линейных уравнений (ширина ленты пропор­ циональна максимуму разности номеров двух узлов, входящих в один и тот же элемент);

число узлов и элементов не должно превышать пределов, устанав­ ливаемых объемом памяти, доступной пользователю ЭВМ.

Удовлетворить сразу всем перечисленным выше требованиям для достаточно сложной области весьма трудно. В связи с этим в ряде случаев приходится прибегать к повторному построению сетки после коррекции исходных данных.

Перечислим основные этапы построения сетки при использовании автоматической триангуляции.

г-' 1. Разбиение контура области на отрезки и занесение в массивы координат г и г контурных узлов и номеров контурных узлов, следую­ щих в порядке обхода области против часовой стрелки.

2. Триангуляция области, т. е. подразделение ее на конечные тре­ угольные элементы.

3.Оптимизация нумерации узлов с целью снижения ширины ленты

вматрице системы линейных уравнений.

4.Пересортировка выходных информационных массивов, харак­ теризующих разбиение области с учетом изменившейся нумерации узлов.

Все этапы, начиная со второго, выполняются программой автомати­ чески. Первый этап представляет собой подготовку исходных данных к программе. При этом область может быть разбита на подобласти, границы которых включают линии раздела между различными материа­ лами [7, 24, 98]. Каждая из линий — границ подобластей — подраз­ деляется на отрезки, которые на следующем этапе работы алгоритма должны стать сторонами конечных элементов. Поэтому разбиение гра­ ницы в значительной степени предопределяет густоту и другие свойства сетки. В процессе подразделения линий координаты деления заносятся в массив координат узлов, а информация о граничных условиях, задан­ ная применительно к линиям, преобразуется и приводится к узловым точкам. Области и подобласти произвольной формы триангулируются последовательным заполнением области, предварительно подразделен­ ной на отрезки от Гранины во внутрь ее. Область заполняется так, что­