Лабораторная работа № 15

Определение индуктивности соленоида Цель работы

Изучить явления самоиндукции, познакомиться с понятием индуктивности и методами её измерения.

Краткое теоретическое введение

1. Индуктивность контура. Явление самоиндукции.

Вокруг любого проводника с током I существует магнитное поле.

Собственное магнитное поле контура с током создает магнитный поток через воображаемую поверхностьS, ограниченную этим контуром:

, (1)

где - проекция вектора индукциимагнитного поля на нормаль к элементу поверхностиdS.

Из закона Био-Савара-Лапласа и принципа суперпозиции следует, что эта проекция при постоянном значении магнитной проницаемости среды равна

где - вектор индукции магнитного поля, созданного элементом замкнутого контураГ с токомIв точке, местоположение которой относительноопределяется радиус - вектором.

Подставляя выражение для в формулу (1) и вынося из-под знака интеграла постоянные, получим

(2)

или

.

Коэффициент пропорциональности между собственным потоком вектора магнитной индукциичерез поверхность, ограниченную контуром, и силой токав этом контуре называется индуктивностью контура (коэффициентом самоиндукции).

Из формулы (2) следует, что индуктивность контура зависит только от геометрических размеров, формы контура и магнитной проницаемости той среды, в которой он находится.

Единица индуктивности в СИ называется Генри (Г):

Для достаточно длинного соленоида, витки которого плотно прилегают друг к другу и сделаны из проводника с очень малым поперечным сечением, индуктивность выражается следующей формулой:

, (3)

где - плотность намотки витков соленоида,- объем соленоида,- магнитная проницаемость вещества сердечника.

Если сила тока, протекающего по контуру, изменяется со временем, то в соответствии с законом Фарадея, в контуре наводится ЭДС самоиндукции :

Если контур с током не деформируется и магнитная проницаемость среды не изменяется (нет ферромагнетиков в магнитном поле контура), тои

. (4)

По правилу Ленца ЭДС самоиндукции противодействует изменению тока в контуре, замедляя как его возрастание, так и убывание.

2. Закон изменения тока в цепи при подключении и отключении источника. Применение закона для определения индуктивности.

Найдем изменение тока в цепи, состоящей последовательно соединенных соленоида, индуктивность которого равна , и резистора, активное сопротивление которого -.

Если внешнее магнитное поле отсутствует или постоянно, а контур неподвижен, то индукционные явления обусловлены только самоиндукцией.

Из закона Ома для замкнутой цепи, в которой действует источник ЭДС , а общее активное сопротивление, сила тока равна

Для нахождения зависимости силы тока от времени разделим переменные:

.

Полагая постоянными интегрируя, получаем:

где - постоянная интегрирования, значение которой определяется начальными условиями решаемой задачи.

Пусть в момент времени сила тока. Тогда

Выразив силу тока, получим

(5)

Из этой общей формулы можно получить зависимость силы тока от времени при замыкании цепи. В этом случае начальный ток равен нулю и выражение (5) приобретает вид:

(6)

Из этой формулы видно, что сила тока при замыкании цепи постепенно увеличивается, стремясь к , соответствующей величине постоянного тока (Рис. 1). Нарастание тока происходит тем медленнее, чем меньше отношениев показателе степени экспоненты или больше обратное отношение, физический смысл которого обсуждается ниже.

Если же в момент времени при силе токаисточник ЭДС отключить () сохранив замкнутость цепи, то из формулы (5) получим следующую зависимость силы тока от времени:

(7)

В этом случае сила тока в цепи постепенно уменьшается от начального значения , стремясь к нулю. При этом за время(время релаксации) сила тока изменяется враз.

Рис. 1

Следует заметить, что в опыте удобнее снимать вместо зависимости силы тока в цепи от времени зависимость напряжения на некотором известном активном сопротивлении, последовательно включенном в цепь, от времени. Напряжение в этом случае будет пропорционально силе тока.

Из сказанного ясно, что, измерив силу тока (или напряжение) в некоторые моменты времени,и зная величину общего активного сопротивления контура, можно с помощью зависимостей (6) или (7) определить индуктивность контура.

Особенно просто можно определить индуктивность, измерив, время релаксации:

(8)

3. Вынужденные электромагнитные колебания в контуре, их применение для измерения индуктивности.

Рассмотрим контур, состоящий из последовательно соединенных конденсатора емкостью , активного сопротивленияи соленоида индуктивностью .

Для получения незатухающих электромагнитных колебаний необходимо включить в контур источник тока с периодически изменяющейся ЭДС (Рис.2).

В этом случае колебания в контуре являются вынужденными.

Пусть, внешняя ЭДС изменяется по гармоническому закону

.

Тогда, используя закон Ома, можно получить следующее дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний

и, решив это уравнение, получить для установившихся вынужденных колебаний следующую связь амплитудных значений силы тока и внешней ЭДС:

(9)

где величина называется полным сопротивлением электрической цепи переменного тока.

В нее входят активное сопротивлениеконтура,емкостное сопротивление ииндуктивное сопротивление.

Если электрическая емкость контура стремится к бесконечности , то есть емкостное сопротивление к нулю, то формула (9) упрощается:

(10)

Используя это выражение, получим рабочую формулу для экспериментального определения индуктивности соленоида. При этом учтем, что амплитуда падения напряжения на активном сопротивлении Rсвязана с амплитудой силы тока в цепи формулой

(11)

Из выражений (10) и (11) получим

(12)