книги / Моделирование систем

Рис. 8.24. Структура N-схемы с начальной марки­ ровкой (а) и ее описание на языке MODAL

Оператор T(MOD) представляет собой таблицу пред- и постусловий для каждого перехода N -схем.

Пусть задана N-схема с начальной маркировкой (рис. 8.24, а). Соответствующее ей описание на языке MODAL представлено на рис. 8.24, б.

Кроме описания структуры должны быть составлены программные модули — описания переходов (событий) MODI — MOD5, причем все модули должны содер­ жать единую для данного набора COMMON-область, которая служит для передачи данных между модулями.

Естественно предположить, что для моделирования конкретных систем S в узкоспециализированной области количество возможных событий-переходов ограничено. Можно составить список стандарт­ ных событий и соответствующий ему набор программных модулей. Вместе со средствами описания структуры N-схемы, поясняющей взаимодействия, такой набор составит пакет моделирования систем в специализированной области. Известны системы, построенные по такому принципу для моделирования аппаратных и программных средств вычислительных систем, для моделирования протоколов связи. Известны также примеры успешного применения N-схем (сетей Петри) для исследования социальных, экономических систем, сложных физических и химических процессов.

Расширение N-схем. Возможные расширения N-схем, заданных в виде сетей Петри, о которых говорилось в § 2.6, рассмотрим с точки зрения их прикладного использования, т. е. с ориентацией на увеличение моделирующих возможностей данного аппарата. Для моделирования процессов в информационных системах наиболь­ ший интерес представляют N -схемы в виде временных сетей и Е- сетей, являющихся наиболее мощным расширением сетей Петри [28].

Задание временной сети, т. е. N s-cxeMbi, включает семь множеств

NS= (B, D, I, О, М, и, v>,

где В, D, /, О, М имеют тот же смысл, что и ранее (см. § 2.6); v = (^, ...

th ...) — возрастающая последовательность действительных чи­ сел, называемая временной базой; v:B xv= > v— функция времен­ ных задержек.

Фактор времени учитывается в Ng-схемах путем введения пас­

сивного состояния метки в позиции. При поступлении метки в по­ зицию bi она остается в пассивном состоянии (не может участвовать в возбуждении переходов) на время v(bi, ts)— и только после этого переходит в активное состояние.

Подклассом временной сети является сеть Мерлина, где время пассивного состояния метки определяется как случайная величина,

Пример 8.11. Построим в виде схемы модель микропроцессорного абонентс­ кого пункта (АП) информационно-вычислительной сети [30, 54,]. Структура этого АП показана на рис. 8.25, где обозначено: МП — микропроцессор; ОЗУ — оператив­ ное запоминающее устройство; ПА — периферийный адаптер; ЭПМ — электрифи­ цированная пишущая щ ттп га; КС2 и КС2 — входной и выходной каналы связи.

Задание Т^^-схемы в виде временной сети включает в себя задание структуры <2?, D, /, 0>, вектора разметок М 0 и вектора задержек Z.

Структуру Ng-ехемы яяяя тпч графически, так как именно графическое представ­ ление обладает шиболыпей наглядностью и простотой соотношения со структурой объекта, т. е. в данном примере со структурой АП. На рис. 8.26 для наглядности пунктиром выделены элементы Ng-схемы, относящиеся к конкретным элементам структуры АП (рис. 8.25).

Вектор разметок имеет вид

М0= (01010000111i t Iк 1 т .

а вектор задержек

Сиспользованием N-схем осуществляется структурный подход

кпостроению имитационной модели, при котором обеспечиваются наглядность модели, модульный принцип ее разработки (сборки), возможность перехода к автоматизированной интерактивной про­ цедуре проектирования.

292

Одним из основных вопросов, который надо решить разработчику имитационной модели процесса, формализуемого на базе N -схем, яв­ ляется выбор языка программирова­ ния. Реализация модулей N E- c x e M на машинно-ориентированном языке или же языках общего назначения позволяет снизить затраты машин­ ного времени и оперативной памяти при моделировании систем, но при этом следует учитывать высокую трудоемкость разработки библиоте­ ки моделирующих подпрограмм. Этот недостаток устраняется при ис­ пользовании для моделирования си­ стемы S, формализованной на базе N-схем, языков имитационного мо­ делирования.

Использование ЯИМ. Про­ граммная реализация моделей си­ стем S на базе расширенных N -схем (Ns-, NE-cxeM) более сложна по срав­ нению с программированием моде­ лей на основе обычных сетей Петри. Для упрощения перехода к модели­

Рис. рующей программе рационально ис­ пользовать языки имитационного моделирования (ЯИМ). Рассмотрим

особенности использования ЯИМ для имитации на базе N E-cxeM на примере применения системы моделирования GPSS, которая дета­ льно была рассмотрена ранее.

Пример 8.13. Проведем анализ соответствия между элементами N g - с х е м и объектами языка моделирования G P S S (см. § 5.3). В результате сравнительного анализа можно сформулировать следующее 37.

1. М етка может быть представлена динамическим объектом

т. е. транзакгом .

2.Описатели меток аналогичны параметрам транзактов G P S S .

294

3.П озиция Ng-схемы идентична объекту, принадлежащему к аппаратной катего­ рии G P S S типа накопителя единичной емкости.

4.Решающие позиции Ь^еВ^ Ng-схемы в зависимости от принадлежности к мно­ жеству Вр реализую тся двумя способами: а) если Ь^еВр, то Ьк эквивалентна набору

6.Операции вычисления предикатов Пу,7—1, S , для p ( d ^ ) соответствует приме­ нение блока TESTE, изменяющего маршруты транзактов, в сочетании с булевыми переменными вычислительной категории G P S S .

7.Операции {^} для p ( d m ) выполняются с помощью блоков ASSIGN динами­

ческой категории G P S S в сочетании с арифметическими переменными.

8.Хранение значений описателей меток можно имитировать путем записи значе­ ний параметров транзактов в ячейки хранимых значений (X, ХН) с помощью блока SAVEVALVE запоминающей категории G P S S .

9.Процессы синхронизации движения меток через переход d m и удаления меток из реш ающей позиции b k s B R могут быть обеспечены с помощью логических пере­

ключателей LO G IC S и LOGIC R аппаратной категории G P S S .

10.М акропозиция генератора аналогична блоку GENERATE динамической ка­ тегории G P S S .

11.М акропозиция поглощения функционально идентичена блоку TERM INATE

динамической категории G P S S .

12. М акропозиция очереди может интерпретироваться в G P S S з а п и с ь ю транзакта в цепь пользователя.

Таким образом, рассмотренное представление моделей элемен­ тов информационных систем в виде N E - c x e M позволяет упростить этап определения их базовой структуры. Задание модели в виде Ng-схем допускает достаточно простую программную реализацию имитационной модели на ЯОН или ЯИМ.

8.4.М ОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ

ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СИСТЕМ НА БАЗЕ А - С Х Е М

Особенности использования при моделировании систем обо­ бщенного агрегативного подхода, реализуемого с помощью А-схем, и основные понятия агрегативных систем были даны в § 2.7. Оста­ новимся на возможностях использования А-схем для формализации процессов функционирования различных систем [4, 36, 37].

Формализация на базе А-схем. Рассмотрим частный случай А-схем в виде кусочно-линейных агрегатов (КЛА), позволяющих опи­ сать достаточно широкий класс процессов и дающих возможность построения на их основе не только имитационных, но и аналитичес­ ких моделей. В отличие от общей постановки (см. § 2.7) полагаем, что на вход агрегата А не поступают управляющие сигналы м(/), т. е. агрегат рассматривается как объект, который в каждый момент времени характеризуется внутренними состояниями z(t)eZ ; в изо-» лированные моменты времени на вход агрегата А могут поступать входные сигналы * (t) е X, а с его выхода могут сниматься выходные

295

сигналы y (t)e Y . Класс КЛА выделяется с помощью конкретизации структуры множеств Z, X, Y, т. е. пространств состояний, входных и выходных сигналов соответственно, а также операторов перехо­ дов V, U9 W и выходов G.

Пусть имеется некоторое конечное или счетное множество 7= {0, 1, 2, ...}, которое назовем множеством основных состояний, а элементы этого множества vе / — основными состояниями. Каждому основному состоянию ve7 поставим в со­ ответствие некоторое целое неотрицательное число ||v||, называемое рангом основ­ ного состояния. Кроме того, каждому состоянию ve7 поставим в соответствие выпуклый многогранник Z*v) в евклидовом пространстве размерности ||v||. Будем

считать, что Z= {JZP \ т. е. пространство состояний Z можно представить состо-

размерности ||v||, принимающим значения из многогранника Z (v). Вектор Z (v) будем называть вектором дополнительных координат. Бели ||v|| = 0 , то в данном основном состоянии v дополнительные координаты не определяются.

Например, если хотим описать процесс функционирования прибора обслужива­ ния как КЛА, то основное состояние будет соответствовать числу заявок в приборе

(П) [в накопителе (Н) и канале (К)], а вектор дополнительных координат будет содержать информацию о длительности пребывания заявки, ее приоритетности и др., т. е. ту информацию, значение которой необходимо для описания процесса z ( t ) .

Определим действие оператора U , описывающего поведение КЛ А при отсутст­ вии входных сигналов *(/). Пусть в начальный момент времени агрегат А находится в состоянии z(/0)= (v, z(v)(0)), где z M(0) — внутренняя точка многогранника Z w. Тогда при t > t 0 точка r (v)(0 перемещается внутри многогранника Z (v) до тех пор, пока не достигнет его границ. М омент времени Г, когда это произойдет, называется

и данному состоянию v соответствует вектор дополнительных координат a (v) разм ер­ ности ||v||, причем

Пусть Z}v) — j -я грань многогранника Z (v), содержащего т ( у ) граней, которые могут быть заданы линейными уравнениями вида

где z j v) — компоненты вектора z (v), /= 1 , ||v||.

Тогда можно показать, что значение опорного момента t x определяется траек­ торией z (0 и может быть найдено из соотношения

(8.6)

[

Пусть

296

z ( t 1 + 0 ) является случайным и задается распределением Р х, которое зависит лишь от состояния z (fj). Ш ирокий класс систем описывается КЛА, у которых Р х зависит не от всего вектора z (**), а лишь от значения основного состояния v и номера j -й грани

Z jv), на которую вышел вектор дополнительных координат z (v).

В момент времени может выдаваться выходной сигнал у, что описывается оператором G (см. § 2.7). При этом для КЛА

ооm(v)

zy — U и z y

у- 0 J - 1

имножество Y имеет структуру, аналогичную Z, т. е. выходные сигналы у=(А , у (v)),

где X — элемент некоторого конечного или счетного множества; у м — вектор, принимающий значения из евклидова пространства размерности, зависящей от X.

П ри t > t x функционирование КЛА вновь описывается формулами (8.4) и (8.5) до

Если в рассматриваемый момент времени t состояние КЛА z( t ) = (v, z (v)) и посту­

пает входной сигнал х = ( д , Xм ), то при этом состояние агрегата меняется скачкооб­ разно z (/+ 0 ) в соответствии с действием оператора V (см. § 2.7). Состояние z (/+ 0 ) является случайным и задается распределением Р 2, которое зависит от z [ t ) и х. В рассматриваемый момент времени выдается выходной сигнал, необходимость выдачи и содержание которого зависят от состояния z (/) и содержания поступившего входного сигнала х. Далее КЛА снова функционирует в соответствии с (8.4) и (8.5) до следующего момента времени выхода вектора состояний на границу допустимых значений или до момента времени наступления входного сигнала.

П ростой вид формул для вычисления «опорных» моментов (8 .6 )... (8.8) является следствием кусочно-линейного закона изменения состояний z ( t ) и обеспечивает про­ стоту машинной реализации модели в виде отдельного КЛА или Л-схемы, состав­ ленной из нескольких КЛА .

Рассмотрим особенности формализации процессов функциони­ рования системы S, представленных в виде частных типовых мате­ матических схем (D- и P-схем), в виде КЛА. При этом надо иметь в виду, что представление процессов функционирования реальных систем в виде КЛА является неоднозначным, так как неоднозначно могут быть выбраны состояния агрегатов [4].

Пример 8.14. Рассмотрим особенности КЛА D-схемы, представляющей собой обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида

d z / d t = f [ t , z ( t ) , х(/)],

где х (0 — известная функция времени.

297

Представим это уравнение в конечно-разностном виде, выбрав какой-нибудь метод численного интегрирования уравнения (например, метод ломаных Эйлера), а шаг интегрирования А возьмем из условий близости решения исходного уравнения и его кусочно-линейной аппроксимации. В результате кривая f(t), изображающая ранение этого уравнения, заменяется ломаной f (/), звенья которой в точках

tk=t0+kh, к=0, г, имеют тангенс угла наклона, равный/[ f t, z(f*), *(/*)]. Представим систему S, описываемую этим дифференциальным уравнением,

в виде КЛА. В качестве состояния агрегата выберем пару (v, z w), где v — основное состояние, которое соответствует номеру интервала времени длины h вида [/0+vA,

/0+(v+l)A]; — вектор дополнительных координат, который сформируем сле­ дующим образом. В качестве координаты z1(t) возьмем ломаную конечно-раз- носгного уравнения, а в качестве координаты z2(0 — время, оставшееся до око­ нчания текущего интервала. Тогда состояние такого КЛА определяется как z(t)=[v,

Zj (0, z2(/)], где координаты zx(г) и z2(0 вектора z (v)(/) изменяются линейно в пределах интервалов, причем координата z2(/) убывает с единичной скоростью

и обращается в нуль в момент времени fv= r0+vA, v = l, s. В эти моменты времени состояние совершает детерминированный скачок z(fv+ 0 )= [v + l, zx (tv), А].

После скачка при /v<f^*v+i координаты описываются соотношениями

Zy (0= *i (Ь)Н*-Ь)/[*у» zi ('v), Z2= h —(t—ty),

где x(ty) — входной сигнал, поступающий в моменты времени tv—t0+vh.

Таким образом, в этом случае при построении КЛА считается, что /= {0, 1,...

..., г), И =2, Z w={zw : ziT>>2}, m (v)=l, Z^>={*W : z<?>=0}.

Выходными сигналами y(t) могут быть любые функции от состояния.

Пример 8.15. Рассмотрим особенности представления в виде КЛА Р-схемы, представляющей собой конечный асинхронный вероятностный автомат Мура, кото­ рый не имеет жесткой тактносги, а изменяет свое состояние только при поступлении входного сигнала. Пусть У* и Уа — конечные входной и выходной алфавиты авто­ мата, a Z , — конечное множество его внутренних состояний. Полагаем для опреде­ ленности, что ЯГа= {1 ,2 ,..., К}, Уа= {1,2,..., A/}, Z*={1, 2 ,..., А/} функционирование такой P-схемы описывается следующим образом: если в момент времени t автомат находился в состоянии zt (t)=i и поступил входной сигнал ха (*)=£, то состояние

Выдаваемый при этом выходной сигнал уле Ул является однозначной функцией нового состояния, в которое перешел автомат, т. е. ул=т=Ф (/), где Ф — некоторая детерминированная функция с множеством значений Уа и областью определения Z*.

Для представления такой P-схемы в виде КЛА в качестве множества входных сигналов агрегата X выберем множество а в качестве множества выходных сигналов Y — множество У». В качестве основных состояний КЛА I выберем мно­ жество ZAи будем полагать, что ||v||=0 для всех ve/, т. е. вектор дополнительных

координат z w не определяется. При таком задании КЛА многогранники Z (v) не определяются, т. е. отпадают вопросы, связанные с движением внутри многогран­ ников, выходом на границу и распределением Рх.

Таким образом, функционирование такого КЛА сводится к скачкам состояния при поступлении входных сигналов, причем из-за отсутствия вектора дополнитель­ ных координат такие скачки сводятся лишь к скачкам основного состояния v, что требует только задания распределения Р2, которое совпадает с распределением Р\к). Содержание выходного сигнала, выдаваемого в момент поступления входного сиг­ нала КЛА, определяется только функцией Ф.

Если предположить, что ||v||=0, ||Я||=0, ||д|| = 0 для всех v, Я, д, то КЛА превращается в P-схему общего вида.

298

Способы построения моделирующих алгоритмов A-схем. Основ­ ные преимущества агрегативного подхода состоят в том, что в руки разработчиков моделей и пользователей дается одна и та же фор­ мальная схема, т. е. А-схема. Это позволяет использовать резуль­ таты математических исследований процессов, описывающих функ­ ционирование агрегативных систем, при создании моделирующих алгоритмов и их программной реализации на ЭВМ. В настоящее время имеются разработки математического обеспечения, в основу которого положен агрегативный подход. Но при этом у пользова­ теля всегда должна оставаться свобода в переходе от концептуаль­ ной к формальной модели. Таким образом, имеется возможность многовариантного представления процесса функционирования не­ которой системы S в виде модели М, построенной на основе А-схем.

Пример 8.16. Рассмотрим технологию перехода от содержательного описания к A -схеме на примере Q-схемы, структура которой приведена на рис. 8.6. Такой переход возможен, так как A -схема отражает наиболее общий подход к фор­ мализации процесса функционирования системы S. Для представления этой системы в виде /4-схемы будем использовать пять типов агрегатов, а именно: АБ— внешняя среда; А н — накопитель; А к — канал; А* — распределитель; Ас — сумматор. Функ­ ции агрегатов А н и А г соответствуют функциям таких элементов g -схемы, как накопитель (Н) и канал (К). Агрегат А в позволяет формализовать взаимодействие между агрегатами /4-схемы и внешней средой Е. Использование вспомогательных агрегатов А г и Ас вызвано необходимостью синхронизации работы агрегатов в со­ ставе A -схемы в соответствии с принятыми дисциплинами постановки в очередь и обслуживания заявок. Кроме того, через агрегат Ас возможна передача сигналов от различных выходных контактов одних агрегатов на один и тот же входной контакт другого агрегата, что запрещено делать непосредственно (см. § 2.7).

При таких предположениях структура A -схемы будет иметь вид, приведенный на рис. 8.29. Опишем работу каждого типа агрегатов, показанных на рис. 8.30, в отдель­ ности.

Агрегат «Внешняя среда» А в (рис. 8.30, а) имеет два входных контакта и один выходной: на вход Х хт поступают обслуженные заявки (сигнал д^Р=1); на вход ЛГ2№) — заявки, получившие отказ в обслуживании (сигнал х2(Е)=1); с выхода снимают заявки через промежутки времени, распределенные по заданному закону

распределения входящего потока заявок. Вектор состояний агрегата АБ : z E(t)= l. Агрегат «Канал» Ак (рис. 8.30, б) имеет три входных контакта и один выходной:

А £

Рис. 8.29. Пример A-схемы общего вида

299

Рис. 8.30. Агрегаты

выдачи обслуженной каналом заявки; с выхода У?4 снимают сигнал выдачи об­ служенной каналом заявки. Вектор состояний агрегата

*к(0={4(0, *2(0» СО}»

где 4 ( 0 — время, оставшееся до окончания обслуживания заявки, которая находит­ ся в канале;

если блокировка отсутствует,

" - S ' в противном случае;

если заявка находится в канале,

4(0

- f r в противном случае.

В том случае, если время обслуживания заявки в канале истекло, т. е. 4 (0 ^0 , но ее выдача из канала запрещена, т. е. 4 (0= 0, заявка остается в канале до тех пор, пока не придет сигнал 4 (0 = 1 -

Агрегат «Накопитель» Ан (рис. 8.30, в) имеет три входа и три выхода, входные контакты Х ^ \ Х ф , ХЧр соответствуют по своим функциям контактам Х ^ \ X f \ ЙГ§С) агрегата Ак; с выхода У р выдается заявка, стоящая в очереди в накопителе первой; с выхода Уф выдаются заявки, потерянные из-за переполнения накопителя;

с выхода У?} поступает сигнал о том, что накопитель полностью заполнен. Внутрен­ нее состояние агрегата Ан описывается вектором

*н(О-{*?(0.4(0},

300