деформаций площадь поверхности раздела оказывается прямо про порциональной суммарной деформации. Следовательно, главным условием хорошего смешения является наличие больших деформа
ций
компонентов
смеси. Это требование должно быть дополнено
не
менее важным
условием — распределением элементов поверх
ности раздела внутри системы [9 ]. Иными словами, хорошее ламинар ное смешение достигается только при больших деформациях компо
нентов при условии макрооднородности смеси.
В большинстве ламинарных смесителей можно выделить элементы конструкции, обеспечивающие выполнение этих двух требований. Например, на вальцах можно достичь больших деформаций поли мера, проходящего через зазор между валками, т. е. удовлетворить первому требованию эффективного смешения. Второе требование, однако, можно выполнить, только подрезая и многократно пропу ская полимер через зазор вальцов. Точно так же в роторном сме сителе жидкость, проходя между лопастями роторов и в зазоре между ротором и стенкой камеры смесителя, подвергается значительной деформации. Кроме того, конфигурация роторов обеспечивает осе вое течение жидкости, что приводит к требуемому распределению элементов поверхности раздела внутри системы. Такой сложный процесс течения, который можно наблюдать, например, в роторных смесителях, сопровождающийся многочисленными неконтролируе мыми явлениями, можно назвать псевдорандомизированным (псевдо случайным) процессом. В случаях, подобных описанному выше, выполнение второго требования равноценно достижению случай ного распределения диспергируемой фазы. То же самое происходит в «статических» смесителях при упорядоченном, а не случайном смешении. В этих смесителях основное увеличение площади поверх ности раздела достигается за счет ламинарного смешения, а пере распределение элементов поверхности раздела происходит упоря доченно.
Ориентация поверхности раздела и исходное расположение частиц относительно линий т о т
Увеличение площади поверхности раздела и перераспределение ее элементов, обеспечивающие эффективное смешение, зависят от начальных условий: от исходной ориентации поверхности раздела и исходного расположения ее элементов. При одноосном сдвиговом течении оптимальной является ориентация перпендикулярно на правлению сдвига (см. разд. 7.9). Это хорошо видно на примере сме сителя, состоящего из коаксиальных цилиндров, изображенного на рис. 11.3. В случае а частицы диспергируемой фазы не пересекают все линии тока и вся поверхность раздела параллельна направлению деформации сдвига. Смешения не происходит совсем, несмотря на наличие деформации, возникающей при вращении одного из цилин дров. В случае б частицы диспергируемой фазы пересекают все линии тока и поверхность раздела перпендикулярна направлению дефор мации сдвига. При этом может быть достигнута любая требуемая
372
Рис. 11.3. Влияние начальной ориентации и расположе ния частиц диспергируемой фазы на смешение в зазоре между коаксиальными цилиндрами:
а —■смешения не происходит; б — полное смешение; J — проме жуточный случай — частичное смешение.
Исходное Конечное состояние состояние
степень смешения в зависимости от числа обо ротов цилиндра. В промежуточном случае — случае в происходит увеличение площади поверхности раздела до требуемого уровня, но вследствие неудачного исходного расположе ния частиц диспергируемой фазы (при данных условиях течения) элементы поверхности раз дела не могут распределиться равномерно внутри системы. В данном случае течение раз вивается по замкнутым линиям тока и до стигается лишь частичное смешение.
Следовательно, для равномерного распределения элементов по верхности раздела внутри системы начальное расположение частиц должно быть таким, чтобы они пересекались со всеми линиями тока. Однако контролировать начальную ориентацию и расположение смешиваемых компонентов трудно. Для смесителей со сложной кар тиной течения (псевдослучайное смешение) начальные ориентация и расположение компонентов не столь существенны. Если смешивае мые компоненты представляют собой твердые частицы, то их предва рительно перемешивают для усреднения начальных ориентации и расположения частиц.
Мы рассмотрели две крайние разновидности течения; упорядо ченное течение с регулярными линиями тока в коаксиальных ци линдрах и псевдослучайное вихревое течение в смесителях непре рывного и периодического действия. Между этими двумя крайними случаями есть много других реализуемых на практике сложных видов течения, поддающихся теоретическому анализу. Некоторые из них, например течение в зазоре между коаксиальными цилиндрами с встроенными планетарными роликами, исследовал Шерер [10]. При течении движутся все четыре стенки, и картина течения подобна той, которая наблюдается в двухчервячном экструдере с взаимозацепляющимися червяками. (Такие устройства применяют в одно червячных экструдерах для интенсификации смешения.) В этом случае осевое течение накладывается на тангенциальное. Для опре деления смесительного воздействия в центр камеры впрыскивали окрашенную жидкость (метку) и следили за ее перемещением, за увеличением площади поверхности раздела, а также за распределе нием элементов поверхности раздела внутри системы. Начальное расположение метки таково, что она пересекает все линии тока, так же как в случае коаксиальных цилиндров (см. рис. 11.3, б), но в данном случае можно ожидать более благоприятного распреде ления элементов поверхности раздела и при не столь благоприятном исходном расположении диспергируемой фазы.
стоящими из ряда стержней или других приспособлении, изменя ющих направление потока. Эрвин [8] показал, что если в смеси тельной зоне экструдера осуществляется рандомизация распределе ния элементов поверхности раздела, то смесительное воздействие
существенно возрастает.
До сих пор, рассматривая ориентацию элементов поверхности раздела, мы имели в виду только начальную ориентацию. Установ лено, что при больших деформациях в режиме одноосного сдвига наилучшие результаты достигаются, если поверхность раздела рас полагалась перпендикулярно направлению сдвига (т. е., как Видно из рис. 7.13, cos сбд. = 1, cos <ху = cos az = 0). Однако, если бы удалось непрерывно изменять положение поверхности раздела, задавая наиболее выгодную ориентацию, то, как следует из приведен ного ниже примера, при фиксированной величине деформации сдвига можно было бы добиться существенно большего увеличения поверх ности раздела. Непрерывное изменение ориентации поверхности раздела равноценно непрерывному изменению направления сдвига.
Поэтому
перейдем
к определению оптимальных условий течения
в описанных
ранее
смесителях.
Пример
11.1.
Оптимальная ориентация элемента поверхности раздела при
течении, обеспечивающая максимальное увеличение площади поверхности раздела. Выражение (7.9-15) устанавливает связь между площадью поверхности раз дела А, зависящей от суммарной деформации, и начальной ориентацией элемента
поверхности. Дифференцируя выражение (7.9-15), получим:
НА — гпя а . , спя а.. 4 - v спя2
(11.3-1)
Выражение (11.3-1) справедливо для любой начальной ориентации И для любого значения деформации от 0 до у. Следовательно, при у = 0 начальное значение dA/dy равно
dA/dy = — A cos ах cos ау
(11.3-2)
при А = А0. Отсюда видно, что в зависимости от ориентации площадь Поверхности раздела может увеличиваться или уменьшаться. Далее для того, чтобы произведе
ние
cos (Хх cos CLу принимало
максимальное значение при
cos а
2 = 0»
ни cosa.x,
ни
cos а у не должны иметь
максимального значения
1 (или
— 1),
Потому что,
как следует из выражения (7.9-2), другой направляющий косинус становится равным
нулю. Из выражения (7.9-2) также следует, что произведение —cos а*
сХу прини
мает максимальное положительное значение,
когда cos az = 0, а у =
45°, а ах =
= 135°. Это означает, что элемент поверхности
раздела ориентирован
род углом 45°
к направлению сдвига (см. рис. 11.9, я). При такой оптимальной ориентации выраже ние (11.3-2) принимает вид:
dA/dy = А/2
(11.3-3)
После интегрирования получаем:
А
А * *
(11.3-4)
Рис. 11.4. Увеличение площади поверх ности раздела при простом сдвиговом течении:
а — начальная ориентация элемента по верхности под углом 45° к направлению сдвига; б — оптимальная начальная ори ентация поверхности раздела; 1 — вектор, нормальный к исходной поверхности разде ла; 2 — первоначальная площадь поверх
ности раздела
А 0 ;
3
— конечная
площадь
поверхности
раздела А = 6,1 А 0; 4 —
конечная
площадь
поверхности
раздела
А =
4,1
А 0 .
т. е.
площадь
поверхности
раздела
экспоненциально
возрастает
с увели
чением деформации *.
На
рис.
11-4 показано последова
тельное увеличение площади поверхно сти раздела в процессе сдвигового течения при оптимальной начальной ориентации
поверхности раздела (б) и при ориентации элемента поверхности раздела под углом 45° к направлению сдвига (а). Из рисунка видно, что в случае б вращение отсут ствует и после деформирования на 4 единицы сдвига отношение конечного значения
площади поверхности раздела к ее начальному значению равно А/А0 = (1+42)1,2 =
= 4,1
[выражение (7.9-15)], а в случае а это отношение равно 6,1. После деформиро
вания
на 1 единицу сдвига поверхность раздела
поворачивается и возвращается
к исходной ориентации под углом 45°, А/А0 = е2 =
7,3 [выражение (11.3-4)]. Теоре
тически, если все время строго поддерживать угол 45° между поверхностью раз дела и направлением сдвига, то отношение А/А0 будет равно 7,3.
Описанный выше процесс сдвига и вращения приводит к чисто сдвиговому или экстенсивному течению (см. разд. 6.8). Следует, однако, отметить, что реализо вать установившееся экстенсивное течение на достаточно продолжительный срок, требуемый для достижения больших высокоэластических деформаций, чрезвычайно трудно. В разд. 11.7 будет показано, как можно преодолеть это затруднение с по мощью статического смесителя Росса.
При псевдослучайном характере смешения, необходимом для равномерного распределения элементов поверхности раздела внутри системы, направление сдвига также непрерывно изменяется, компен сируя до некоторой степени неблагоприятное влияние одномерного сдвига. Са и др. [3] предложили ряд методов повышения эффектив ности смешения при одномерном сдвиге. Они усовершенствовали смеситель, состоящий из коаксиальных цилиндров, создав электро статическое поле между цилиндрами. Если вязкость компонентов достаточно мала, то за счет электростатического поля поверхность раздела приобретает волнообразную форму, благодаря чему послед няя стадия смешения дополнительно интенсифицируется.
Функция распределения деформаций и реологические характеристики
Рассмотрим теперь важный фактор смешения — функцию рас пределения деформаций (ФРД). Даже при самых выгодных началь ных условиях широкая ФРД обязательно приведет к плохому сме
* См. также L. Erwin, «New Fundamental Consideration of Mixing in Laminar Flows», 36th Annual Technical Conference, Soc. of Plastic Engineers, Washing ton D. C., 1978, p. 488.
шению. Чтобы проиллюстрировать это, обратимся снова к смеси телю, состоящему из коаксиальных цилиндров. Берген [9] изучал смешение черно-белой композиции, используемой для изготовления линолеума. На рис. П.5 показаны начальное и конечное состояния смеси после 1 и 20 оборотов внутреннего цилиндра. Видно, что в ре зультате смешения после 20 оборотов у поверхности движущегося цилиндра появилось кольцо, образованное «однородной» серой смесью, а в области, прилегающей к внешнему цилиндру, смешение, очевидно, отсутствует. Автор приписал эту неравномерность смеше ния бингамовскому характеру реологических свойств жидкости, хотя это обстоятельство лишь отчасти может быть причиной такой картины смешения. Дело в том, что неравномерность смешения проявляется даже у ньютоновской жидкости, а также у степенной жидкости, поскольку причина неоднородности смешения состоит в неоднородности функции распределения деформаций. Поясним этим эту мысль на примере.
Пример 11.2. ФРД для смесителя, состоящего из коаксиальных цилиндров. Рассмотрим степенную жидкость, помещенную между двумя длинными коак сиальными цилиндрами с радиусами Ri и R0 (R0 > Ri). В определенный момент вре мени внутренний цилиндр начинает вращаться с постоянной окружной скоро стью Q рад/с. Предположим, что имеет место изотермическое ламинарное установив шееся течение и проскальзывание на стенках отсутствует. Пренебрегая гравитацион ными и центробежными силами, получим следующее выражение для профиля ско
ростей:
*9
_
P - P 2S
i)
Ш 3.5)
GtfiP
p2s (p2s _
(U,35)
где VQ — тангенциальная скорость;
р =
rlRt\ 0 == R jR i\
s = \lti (п — показатель
степени в степенном уравнении течения жидкости).
Дифференцируя выражение (11.3-5), получим зависимость, определяющую
скорость сдвига:
Yro = Р
д
(
VQ \
2sp2sQ
1)
dp
\
Rip
)
p2s (P2s -
(11.3-6)
Очевидно, что скорость
сдвига
максимальна
у стенки внутреннего цилиндра
и минимальна у стенки внешнего цилиндра. Разность между этими крайними зна чениями скорости сдвига тем больше, чем больше кривизна канала (больше Р) и чем больше отклонение от ньютоновского характера течения жидкости (больше s).
Распределение деформаций определяется произведением | уге | на
время t
V ( P ) = I W I=
« 1 .3 - 7 )
Заметим, что Q/, деленное на 2тс— это просто общее число оборотов цилиндра.
Отношение максимального значения деформации к минимальному
ее значению по
сечению зазора равно:
Ymax/Ymln = P2s
(11.3-8)
Рис. 11.5. Смешение сырой
композИНИи для
изготовления линолеума в смесителе, Состоя щем из коаксиальных цилиндров:
а — начальное состояние; б — после оДного обо рота ротора; в — после 20 оборотов роТ°Ра (диа
метр ротора — 25,4 мм, радиальный зайор — 6,3 мм).
Рис. 11.6. Функция распределения деформаций G (у) для степенной жидкости при куэттовском течении в зазоре между коаксиальными цилинд рами для случая, показанного на рис. 11.5, п.
Значение п :
1; 2 — 0,5; 3 — 0,25.
Ширина полос смеси обратно пропорцио нальна суммарной деформации. Это следует из выражений (7.8-1) и (7.9-16). Поэтому отношение ширины полос у стенки внешнего цилиндра (при максимальном значении радиуса R0) к ширине
полос у стенки
внутреннего цилиндра
(при минимальном
значении радиуса R t)
определяется выражением
rolri — Ymax/Vmln =
P2s
(11.3-9)
Для случая,
показанного на рис. 11.5, внешний и внутренний радиусы равны
соответственно 19,1 и 12,7 мм, поэтому
кривизна
Р = 1,5.
Из выражения (11.3-9)
следует, что в данном случае отношение ширины полос для ньютоновской жидкости
равно 2,25. Для степенной жидкости
с показателем степени п = 0,5 оно равно
5,06, а для степенной жидкости с п =
0,25 это отношение равно 25,6 (!).
Чтобы лучше понять природу этого явления, рассчитаем ФРД G (у), описанную в разд. 7.10. Доля материала, подвергшегося суммарной деформации у (или меньше у), эквивалентна доле материала, расположенной в смесителе длиной L между без
размерными
радиусами р и Р [при значении радиуса р деформация у определяется
выражением
(11.3-7)]:
(f(y) =
7 i(R l-R '-)L
р з - p s
(11.3-10)
n ( R l - R j ) L
P2 - l
Подставив выражение (11.3-7) в (11.3-10), получим:
G(y) =
- $ & r
[ l -
( J f
L Y ]
(11-3-п>
где Ymin — минимальная
деформация
(у
внешнего цилиндра),
определяемая из
выражения
Ymln=p§=T
(11'3'12)
Дифференцируя выражение
(11.2-11), получим ФРД g (у) dy:
g ( y ) d y - n
(11.3-13)
И, наконец, среднее значение деформации у равно:
^тах
__
2 (l-s)
Y =
J
y g ( y ) d y =
pj™ *
1 s l
j -----
(П.3-14)
‘Vmln
На рис. 11.6 показаны функции распределения деформаций при различных зна чениях п для частного случая, приведенного на рис. 11.5, а. Звездочками отмечены средние значения деформации у- Видно, что даже в случае ньютоновской жидкости 56 % материала подвергается деформации, которая меньше среднего значения у. При этом ширина функции распределения деформаций составляет 200—450 единиц сдвига. Важно отметить, что 56 % значений деформации, лежащие ниже среднего уровня, охватывают более узкий интервал деформаций (около 100 единиц сдвига), чем оставшиеся 44 % (около 150 единиц сдвига). С уменьшением п эта неоднород-
ность существенно возрастает, а среднее значение деформации уменьшается, ширина функции распределения увеличивается и само распределение изменяется таким обра зом, что большая доля материала с деформацией ниже среднего уровня охватывает более узкий интервал деформаций, чем меньшая доля материала, характеризующаяся деформациями выше среднего уровня. Так, для п = 0,25 примерно 66 % материала характеризуется уровнем деформации ниже среднего и охватывает интервал в 200 единиц сдвига, в то время как оставшиеся 34 % материала характеризуются дефор мацией выше среднего уровня и охватывают интервал в 800 единиц сдвига.
Если полимер ведет себя как бингамовский пластик, то определенно можно ожи дать неравномерного смешения, как и предполагает автор [9].Но даже если это ньюто новская жидкость, то, как показали приведенные выше расчеты, следует ожидать неравномерного смешения, обусловленного кривизной зазора смесителя. Аномалия вязкости значительно усиливает неравномерность смешения, что осложняет интер претацию экспериментальных данных и без привлечения представлений о бинга мовском характере течения.
Приведенные выше примеры показывают, что несмотря на благоприятные на чальные условия, в смесителе, характеризующемся широкой ФРД, получается не однородная смесь. Для уменьшения неоднородности часть материала должна быть «перемешана с избытком». Таким образом, предпочтительнее узкая ФРД, как это уже было показано в разд. 7.10 на примере трехцилиндрового смесителя.
Итак, приведенный выше пример иллюстрирует важную роль реологических свойств смешиваемых компонентов, поскольку рео логические свойства определяют характер распределения напряже ний в зазоре между цилиндрами. Напряжение сдвига обратно про порционально квадрату радиуса, т. е. т ~ 1/р2. Этим течение в за зоре между коаксиальными цилиндрами отличается от течения между параллельными пластинами, где напряжение постоянно. (Разумеется, при малой кривизне таким различием можно прене бречь.) Поэтому у стенки внутреннего цилиндра напряжение сдвига велико, а у стенки внешнего цилиндра — мало, результатом чего и являются высокая у стенки внутреннего цилиндра и низкая у стенки внешнего цилиндра скорости сдвига ньютоновской жидкости. Однако, если жидкость имеет неньютоновский характер течения (аномально вязкая жидкость), то вязкость тоже меняется по сечению зазора: у внутреннего цилиндра она относительно низкая, а у внешнего — относительно высокая. Поэтому чтобы поддерживать требуемое распределение напряжений, скорость сдвига у стенки внутреннего цилиндра нужно увеличивать, а у стенки внешнего цилиндра — уменьшать, вследствие чего ФРД будет расширяться.
^Еще более очевидно значение ФРД для смесителей непрерывного действия. В разд. 7.10 рассмотрена ФРД при вынужденном тече нии между параллельными пластинами. При течении в таком канале, несмотря на постоянство скорости сдвига внутри канала, функция распределения деформаций довольно широкая из-за широкого рас пределения времен пребывания. Поэтому, хотя частицы дисперги руемой фазы на входе в смеситель распределены по всем линиям тока и оптимальным образом ориентированы, тем не менее на выходе из смесителя не будет получена однородная смесь.
Из предыдущих разделов видно, что именно такие каналы, об разованные параллельными пластинами, играют доминирующую роль при переработке полимеров. Поэтому целесообразно рассмо треть более реальные условия течения в идеализированном «сме-
378
сителе из параллельных пластин», а именно течение при наложении перепада давления на вынужденное течение. При этом градиент давления можно использовать в качестве параметра, которым можно управлять в процессе смешения для регулирования качества смеси. Лидор и Тадмор [12] исследовали распределение деформаций в по токе между параллельными пластинами для двух вариантов течения; под действием перепада давления и при наложении перепада давле ния на вынужденное течение. В табл. 11.1 приведены формулы для расчета ФРД, профилей скорости, а также минимальных и средних значений деформации. Для сравнения в этой же таблице приведены аналогичные формулы для случая течения под давлением через круглую трубу.
Для течения, возникающего при наложении перепада давления на вынужденное течение, ФРД не удается выразить непосредственно через у, но можно выразить ее через безразмерную величину i = = у!Н, которая однозначно связана с у. Было проанализировано полностью развившееся изотермическое установившееся ламинарное течение несжимаемой ньютоновской жидкости. Методология расчета ФРД аналогична описанной в разд. 7.10 для чисто вынужденного течения. Полученные результаты демонстрируют сильное влияние градиента давления на ФРД и среднее значение деформации (у). Как следует из рис. 11.7 (где qp!qd— безразмерная константа, ха рактеризующая градиент давления), положительный градиент давле ния (давление растет в направлении течения, а скорость сдвига у не подвижной пластины равна нулю, qvlqd <С 0) не только увеличивает среднее значение деформации, но и сужает ее распределение. При qp!qd = 0 имеет место чисто вынужденное течение (кривая 2); при qp!qd > 0 давление уменьшается в направлении течения, а скорость сдвига равна 0 у движущейся пластины (кривая 3). При этом ФРД такая же, как для течения между неподвижными пластинами под действием давления. Заметим, что аналогом этого случая является вынужденное течение, при котором движущиеся пластины^'распола гаются в сечении £ = 1, которому соответствует ось симметрии тече ния под давлением через щель шириной Н' = 2Н.
Если вывод, сделанный на основании данных рис. 11.7, при менить к одночервячной экструзии (поскольку течение между па
раллельными пластинами — простейшая модель
течения расплава
в винтовом насосе, ср. разд. 10.3), то получим
теоретическое под
тверждение известного экспериментального факта: увеличение про тиводавления (т. е. увеличение поло жительного градиента давления) в экструдере улучшает смешение. Сред няя величина деформации, определяе-
Рис. 11.7. Распределение деформаций для пол ностью развившегося ньютоновского изотерми ческого установившегося течения в канале между параллельными пластинами (------) и в круглом канале (---------- ). Значение qp/qd‘-
1 ----- 1/3; 2 — 0; 3 — 1/3.
Таблица I L L Ф ункция
распределения деформаций при течении
ньютоновских жидкостей через каналы
простой формы
Т е ч е н и е м е ж д у п а р а л л е л ь н ы м и п л а с т и н а м и *
П о к а з а т е л и
т е ч е н и е ч е р е з к р у г л у ю
в ы н у ж д е н н о е
т е ч е н и е п о д д а в л е н и е м
т е ч е н и е п р и н а л о ж е н и и д а в л е н и я
т р у б у
т е ч е н и е
н а в ы н у ж д е н н ы й п о т о к
Профиль скоростей
V2 = IV о
F (?)
■ - Ш 2
Среднее значение де
2L/H
формации у
Минимальная дефор
L/H
мация Yo
vz = (1
%) Vmax
с
l + y i
+ C2
х ( + 1 + ^ 1 + С 2)
с- Л L
-2у
3L/H
0
*z= [ i
+ 3 g - g . ( l - 5 ) ] v „
vz = ^ 1---^ 2 ^ ^max
Г /Ь\ — 1-
V
,
2
(|)
1+ qPiqd
1 + С2/2 + У 1+ С2
Х [ 1+ ^
(3~ 25)]
1 + 3 ( 5 , / ^ ) d - 2 6 )
w
с - Л -
T W
M i + 3 ( ^ / < ? d) ( i - i ) ] , х
3Y
w l +4p/4d -
i
_
y _
1
X
2
Y
3
< q Plqd<
3
0
H (!
L
8L
+
qp/qd)
3R
Изменяется
в зависимости
от qv !qd
0
* Здесь
£ = у / Н , где Н — расстояние между пластинами, V 0 = v z ( \ ) ,
V m a x — максимальная скорость, a q j q d = ( H 2/ 6 \ i V 0) ( — d P / d z )
[выражение
(10.2-10)].
р
Рис. 11.8. Распределение деформаций при течении между параллельными пластинами жидкостей с различными значениями экспо ненты степенного закона течения п:
1 — 0,25; 2 — 0,5; 3 — 1,0.
мая из табл. 11.1, пропорциональна ЫН (или L/R), т. е. зависит от гео метрии канала. Длинные и узкие ка налы способствуют хорошему смеше нию, хотя на ширину ФРД вели чина отношения LIH не влияет. Мы еще вернемся к детальному ана
лизу смешения в экструдерах в разд. 11.10.
Итак, течение под давлением, как видно из рис. 11.7, характе ризуется широкой ФРД, в которой минимальная величина дефор мации оказывается равной нулю. Очевидно, что все устройства, работа которых основана на принципе потока под давлением, яв ляются плохими ламинарными смесителями.
Наличие градиента давления приводит к неоднородному рас пределению скоростей сдвига. Поэтому мы вправе ожидать, что неньютоновский характер течения полимерной жидкости будет ока зывать влияние на ФРД, а следовательно, и на качество смешения, что и наблюдается в смесителе из коаксиальных цилиндров, где кривизна канала обусловливает неоднородность распределения ско ростей сдвига. Исследуем это явление на примере.
Пример 11.3. Распределение деформаций при течении «степенной» жидкости в режиме потока под давлением между параллельными пластинами
Рассмотрим две пластины бесконечной ширины с зазором длиной L и высотой Н. В направлении z непрерывно выдавливается расплав полимера. Если пренебречь гравитационными эффектами, то при изотермическом полностью развившемся уста новившемся течении без пристенного проскальзывания несжимаемой «степенной» жидкости получим следующее выражение для ФРД (см. Задачу 11.4):
F (i) = 4 +
f
( 1 _
2 T T ^ ' +S) |;
О1-3'15)
Здесь £ = 2у/И. Деформация
у
связана с |
следующим образом:
Т (6) = 2 ( l + s ) 4
7 -^ 1 5 7
(11.3-16)
Используя выражения (7.10-12) или (7.10-24), получим для среднего значения
деформации:
2 -{- 5
L_
у = 2 т т т
Н
(11.3-17)
Для ньютоновской жидкости выражение (11.3-17) преобразуется* в выраже
ние, приведенное в табл. 11.1. Из (11.3-17)
следует, что при увеличении степени
отклонения от ньютоновского поведения (п <
1) среднее значение деформации умень
шается. Более того, анализ
кривых
распределения деформаций,
представленных
на рис. 11.8, показывает, что уменьшение п приводит к расширению функции распре
* Начало системы координат помещено в центре пластин в отличие от того, как это сделано в табл. 11.1.
