книги / Теоретические основы переработки полимеров
..pdfРис. 10.3. Четыре случая решения уравнения (10.2-20), соответствующие четырем типам профиля скоростей:
G >01 |
dP/dz |
> 0 ; |
| G | > |
-i- |
(1 |
+ |
s)"; |
б: |
G < |
0; |
dPJdz |
< 0 ; |
I G | > |
(1 + s)n; |
в; G > 0; |
dP/dz |
> 0 ; |
I G | < |
4о- |
U |
+ |
s)n\ |
G |
< 0; |
dP/dz < 0 ; |
| G | < |
о (1 + |
s)n. |
|
Положение экстремума определяется |
значением К. |
Кривые — решения |
уравнения |
|||||||||||
(10.2-39) |
для п ^ 1, |
п — 0,6 |
и |
п = 0,2 (числа |
у |
кривых). |
|
|
Преимущество записи константы интегрирования в таком виде состоит в том, что X приобретает ясный физический смысл. Это Коор дината того места, где скорость сдвига равна нулю, или точка рас положения экстремума на профиле скоростей. Значение этой Коор динаты необходимо знать для того, чтобы избавиться от знака абсолютной величины в уравнении (10.2-20).
В зависимости от величины G существуют четыре разновидности профиля скоростей, которые необходимо рассмотреть (рис. 10.3). В случаях а и б на профиле скоростей имеются экстремумы, которые находятся в точках, где £ = X. В первом случае градиент давления положительный (dP/dz >0), во втором — отрицательный (dPldz <
< |
0). В случаях в и г на профиле скоростей нет экстремумов, так что |
X здесь не имеет физического значения, хотя она все же указывает |
|
на |
местоположение экстремума математической функции, описыва |
ющей профиль |
скоростей. В случае в X < 0, а в случае г X > 1. |
В случаях в и г |
величина yyz = dvjdy положительна при всех режи |
мах течения, в то время как в случаях а и б она изменяет свой знак при переходе через X. Отметим, что в уравнении (10.2-19) величина G может быть положительной или отрицательной в зависимости от знака градиента давления. Следовательно, удобно ввести перемен
Обращаясь теперь к случаям в и г , где экстремума! нет и dujd £ >
> 0, |
отметим, |
что уравнение |
(10.2-22) |
может быть |
записано для |
G > 0 |
и G < 0 |
соответственно |
в виде: |
|
|
|
|
- ^ | - = (6G)s ( S - A ) s; |
G > 0 |
(10.2-30) |
|
|
|
= |
G)s (X — g)s; |
G < 0 |
(10.2-31) |
Интегрирование уравнений (10.2-30) и (10.2-31) с граничными условиями uz (0) = 0 и uz (1) = 1 приводит к следующим уравне ниям профилей скоростей для случаев в и г :
«г = |
J ^ - [ ( i ~ |
^ ) ,+s — ( — ?01+s]; |
G > |
0 |
(10.2-32) |
|
1Т s |
|
|
|
|
где % определяется |
соотношением |
|
|
|
|
(_ ;V )1+ s - ( l - X ) l+ s -|--L ± £ - = 0; |
G > |
0 |
(10-2-33) |
||
|
|
(6G)S |
|
|
|
И |
|
|
|
|
|
иг = U г s; |
(x '+ s — (X — Е)'+5]; |
G < 0 |
|
(10.2-34) |
где %определяется соотношением
X‘+ s — (X— l)1+s |
-------1 + S = 0 ; G < 0 |
(10.2-35) |
|
( - 6G)S |
|
Полагая %= 0 в уравнении (10.2-33) и %= 1 в уравнении (10.2-35), находим условие для профилей скоростей без экстремумов в пределах заданного режима течения:
|G |s £ - g - ( I + s)" |
(10.2-36) |
Этот результат, конечно, предполагался на основе уравнения (10.2-28). Объемный расход на единице ширины можно определить, интегрируя уравнение профиля скоростей для каждого случая. Кроме того, уравнения для профиля скоростей и расхода, которые получаются после интегрирования профиля скоростей, могут быть сведены к единым выражениям следующего вида:
_ | 6G Is sign G ( |
1+s _ |
= |
|£ — X| l+S — |Х |l+s |
|
1 + s |
Ч 5 |
Al |
' |
| 1 — X |'+ s — I X |'+ s |
|
|
|
|
(10.2-37) |
V0H \QG |s sign G |
[(1 — X) I |
1 — к |'+ s + k \ k |’+ s- (2 + S) I к |'+ s] |
||
q ^ |
s) |
|||
(1 + s) (2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.2-38) |
Значение к может быть получено из следующего обобщенного вы-
ражения:
I 4 1+s- l 1- M1+s - 1 |
1 + S |
= 0 |
(10.2-39) |
|
| 6G Is sign G |
||||
|
|
|
Чтобы получить физическое представление о воздействии изме няющейся температуры на поле скорости, рассмотрим следующую простую задачу. Имеется установившееся вынужденное течение степенной жидкости с малым т0 (т. е. незначительный диссипативныи разогрев, или Вг -> 0) между двумя параллельными пластинами, одна из которых имеет температуру Ти а другая Т0. Для такого случая уравнения движения и тепловой энергии сведутся в безраз
мерной форме к виду:
зг[(тг]“/в] “ 0 |
(,0'2'41) |
£_!1 = о |
(10.2-42) |
где |
|
0 = (Г — Т о)/(Т1 — То) |
|
b = — а ( Т1 — Т 0) |
(10.2-43) |
Граничные условия имеют вид: 0 (0) = uz (0) = |
0 и 0 (1) = и г (1) = |
= 1. Решая уравнения (10.2-41) и (10.2-42), получим следующие профили скоростей и температур:
1 |
р—Ь'I |
(10.2-44) |
иг = 1 ~ |
е- - |
|
1- |
е~ь |
|
0 = |
£ |
(10.2-45) |
где Ь' = — а (Т1 — Т 0)/п.
Заметим, что температурный профиль получился линейный, потому что в данном случае не учитывался диссипативный разогрев, а профиль скоростей имеет нелинейный вид в результате зависимости вязкости от температуры. Рис. 10.5 иллюстрирует влияние b' на профиль скоростей. Интегрирование профиля скоростей дает следу ющее выражение для расхода на единицу ширины потока:
„ |
HV0 |
(10.2-46) |
Qd— |
2 Ui |
Величина U2 определяется как
и2~ 2 1Г ,Ь' - е~Ь' |
(10.2-47) |
Ь(е ь — 1)
ивыражает количественный эффект наложения температурного профиля на профиль скоростей в случае вынужденного течения,
вызванного относительным движением стенок. На рис. 10.6 приведен график функции U2 от Ьг (здесь U2 представляет собой отношение расхода вынужденного течения при ТХФ Т0 к расходу при изо термических условиях течения).
Анализируя рис. 10.5 и 10.6, отметим, что условие 7\ > Т0 (движущаяся пластина горячая) приводит к снижению расхода в вынужденном течении (и наоборот). Физическая причина этого состоит в постоянстве напряжения сдвига по всей высоте щели, но
T i> T0 ^ _ T,<T0
|
nfil ^ r i |
i i 1 |
l |
i i i |
0 |
- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 |
1 2 |
3 4 5 |
|
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 |
6= -[a(Tt -T0)ln ] |
|||
|
“z |
|
|
|
Puc. 10.5. Профили скоростей для течения расплава между параллельными пласти нами при отсутствии градиента давления и линейном профиле температуры между пластинами (Tt и 7\, — температуры подвижной и неподвижной пластин соответ ственно):
кривая 1: b' = —1 (Г, > Т0 ); кривая 2: Ь' = 0 (Г, = Г,); кривая 3: b‘ = 1 (Г. < Г0).
Рис. 10.6. Зависимость фактора U2 от Ь'.
поскольку вязкость при повышенной температуре пластины пони жается, то соответственно повышается скорость сдвига. Во многих случаях влияние температуры может быть весьма значительным. В самом деле, если градиент температур очень велик, то расход может уменьшиться настолько, что движущаяся пластина будет как бы скользить по расплаву (как горячий нож скользит по маслу). И, наконец, отметим, что неньютоновские эффекты усиливают темпе ратурное воздействие, что, очевидно, связано с влиянием пара метра Ь'
Задача течения с учетом теплопроводности при отличающемся от нуля числе Бринкмана была аналитически решена Гэвисом и Ло ренсом [4] для пластин с одинаковой температурой и адиабатиче ского условия на неподвижной пластине (см. Задачу 10.6). Интересно заметить, что их результат содержит два значения для каждого приложенного напряжения сдвига у подвижной стенки (т. е. две различные скорости и два соответствующих температурных профиля удовлетворяют дифференциальному уравнению и граничным усло виям). Однако решение должно быть единственным для заданной скорости подвижной пластины или для заданного числа Бринкмана.
10.3.Червячный насос
Впредыдущем разделе было показано, как устройство простой геометрической конфигурации может служить сродством для увели чения давления в вязкой жидкости. Очевидно, что для использования этой идеи в практических целях должно быть найдено соответству ющее инженерное решение. В самом деле, невозможно построить машину, состоящую из двух бесконечных пластин. Поэтому необ ходимо модифицировать эту идею, сделать ее пригодной для прак тики, однако без потери принципиальных преимуществ, т. е. тре буется разработать насос, в котором для создания давления исполь-
Рис. 10.7. Прямоугольный канал малой глу
бины, накрытой движущейся неограниченной пластиной:
1 — боковая стенка; 2 — движущаяся пластина.
зуется вынужденное течение, вызван ное вязким трением о подвижную
поверхность.
Сначала ограничим расплав на нижней пластине с помощью ^ бо ковых стенок, создав мелкий прямоугольный канал шириной W
(рис. 10.7). Пусть движущаяся верхняя пластина скользит по каналу с постоянной скоростью в направлении г вдоль канала. При условии малой глубины канала (HIW < 1) уравнения, полученные в преды дущем разделе, справедливы и для этой новой геометрии канала. Если это условие не выполняется, то необходимо модифицировать эти уравнения (чтобы принять в расчет градиенты скорости в напра влении х), хотя основные выводы останутся теми же. Затем ограни чим канал по длине, закроем вход и выход, образовав на входе питающее устройство, а на выходе формующее устройство (рис. 10.8). Ясно, что если обеспечить непрерывную подачу материала при низ ком давлении Рг на входе, то устройство будет перекачивать расплав, повышая его давление до Р2>и экструдировать его через устано вленную на выходе головку. Таким образом, почти создан генератор давления или насос, только верхняя пластина все еще является «бесконечной». Избавиться от этого можно путем замены ее, напри мер, неограниченной лентой. Такое решение, однако, вряд ли может иметь практическое воплощение для канала, заполненного горячим вязким расплавом. Более подходящий способ решения этой про блемы состоит в том, чтобы изогнуть канал в направлении z по дуге окружности. Тогда вращающийся цилиндр, надетый поверх искри вленного канала, будет работать как «неограниченная» пластина, как это показано на рис. 10.9. Искривление только незначительно повлияет на профиль скоростей (фактически улучшая способность создавать давление) без искажения самой идеи *.
Другим решением проблемы практическою создания «неограниченной» пла стины является использование поверхности плоского вращающегося диска и спи рального канала. Расплав подается в центр устройства и выкачивается через выход ное отверстие, которое может иметь любое радиальное расположение. Такое уст ройство уже предложено (пат. ФРГ 1032523).
Рис. 10.8. Канал ограничен ного размера и малой глу бины, накрытый движущей
ся неограниченной пласти ной: /
1 — вход расплава 2 — выход
расплаоа; ^ —головка; 4 — экс? трудат.