книги / Справочник по судовой акустике
..pdfЧастоты, свободных изгибных колебаний стержня ограниченной длины зависят от условий заделки его концов (граничных условий). Так, при шарнирноопертых концах
h = ЯЛ" - ^ СТ- |
(Г=. 1, 2, 3, |
.). |
(1.4.21) |
а при свободных или защемленных концах
fi » |
(t |
0,5) |
(£ = 1 , 2 , 3 , . . . ) . |
(1.4.22) |
Плотность собственных частот стержня длиной I при указанных выше гра ничных условиях равна
N i&f) |
Си. ст • |
(1.4.23) |
Продольные волны в пластине. Продольные колебания пластины |
сопро |
вождаются перемещением ее поперечных сечений с амплитудой в плоскости пла стины в направлении движения волны. Скорость распространения продольной
волны в пластине |
__________ |
<м-*> |
||
|
|
|
’"•"■-КйпЬ)- |
|
Видно, |
что |
в пластине |
продольная волна распространяется |
быстрее, чем |
в стержне. |
При |
характерном для металлов а = 0,3 Сц,пл= 1,05сп.стПлот |
ность энергии продольных колебаний в пластине (количество энергии, содержа щейся в участке пластины с единичной поверхностью, масса которого т пл) равна
®..ст = 4 ' m™“ 2*0- |
<L4-25) |
Поток энергии продольных колебаний в пластине (количество энергии, про ходящей через отрезок сечения пластины единичной длины за единицу времени)
Ли. ст = Щистси. пл• |
(1.4.26) |
Сдвиговые волны в пластине. При сдвиговых колебаниях поперечные сече ния пластины перемещаются с амплитудой у0 в плоскости пластины в направле нии, перпендикулярном движению волны. Скорость распространения сдвиговой волны равна
£с. пл = |
(1.4.27) |
и соответствует скорости поперечной волны' в безграничной-упругой среде. Плот ность- и поток энергии сдвиговых колебаний йластины можно вычислить по вы
ражениям (1.4.25) и (1.4.26) соответственно, заменив в них сп. пл на Сс. пл» а % на у0.
Изгибыые волны в пластине. При изгибных колебаниях пластины ее сечения совершают поперечные смещения с амплитудой у0и поворот с амплитудой угла ср0. Так же как в случае изгибных волн в стержне, эти величины связаны соотноше
нием |ф0 1= £и. пл I Уо |; здесь |
Ли. пл — волновое число изгибных колебаний |
||
пластины |
|
|
|
|
Аи. пл — |
~Т~--- > |
0 -4.28) |
|
|
Си .пл |
|
где с„. пл — фазовая скорость |
изгибных |
волн, описываемая |
выражением |
Сц. ПЛ V*û)Cn . пл^пл» |
(1.4.29) |
гпл— радиус инерции поперечного сечения пластины
|
1'пл |
d |
г пл — |
(1.4.30) |
|
d |
3,45 * |
|
Величина |
El |
|
|
(1.4.31) |
|
|
Вт\ |
|
|
1 - о |
2 |
называется изгибной жесткостью пластины. Для металлических пластин тол
щиной d фазовую скорость с„. пл, м/с, можно приближенно определить |
по фор |
|||||
муле |
|
|
|
__ |
|
|
|
|
|
Си. пл = |
Юа V df, |
|
(1.4.32) |
где d — в м; f — в |
1*ц. |
(1.4.32) справедливы |
при ск, „л /-1 < 6d. |
|
||
Выражения (1.4.29) и |
|
|||||
Плотность и поток энергии при изгибных колебаниях пластины выразятся |
||||||
соответственно |
|
|
|
|
|
|
W. |
|
— . |
-тгл* 4 о> |
^ и . пл |
^ и . плс и. пл* |
(1.4.33) |
^й.пл |
|
В пластинах ограниченных размеров изгибные колебания возможны на определенных частотах, называемых собственными. Так, для прямоугольной пластины с размерами 1г X /2 с шарнирно-опертыми краями эти частоты равны
|
f |
|
|
1 |
|
|
ягпл^п. пл / л2 |
, |
т а \ 2 |
|
|
|
[пт --------- g------- П Г + |
“ * П |
(1ЛМ) |
||
где п, т— любые целые числа. |
|
|
|
||
Первая |
собственная |
частота изгибных |
колебаний пластины |
определяется |
|
из (1.4.34) |
при п = т = |
1. Плотность собственных частот изгибных колебаний |
|||
пластины |
|
|
|
|
|
|
N (А/,) « ё г * ~ - - - |
Snj1*” - ,плД^ . |
(1.4.35) |
||
|
|
2гпл^п. пл |
|
4я;/ |
|
Первые три формы свободных изгибных колебаний прямоугольной пластины с шарнирно-опертыми краями показаны на рис. 1.8. Форма этих колебаний пла стины описывается функцией
Inm (х> у) = Апт^пт (*» У) = Апт sin knx - sin ктУ, |
(1.4.36) |
где Anm— амплитуда колебаний; kn, km — проекции волнового числа изгибных
колебаний пластины k^ nm на оси х а |
у, равные |
|
||
* |
л» |
« |
зт |
(1.4.37) |
«л = |
- р - л , |
km = |
- г - т. |
|
|
*1 |
|
»2 |
|
Зависимость амплитуды моды от ее номера выражается формулой |
||||
А п т — " |
________ 4FO |
.21 9 |
(1.4.38) |
|
|
т ( 1 + |
|||
^пл^пл К |
/Л ) - а » 2] |
|
||
где со — частота возбуждающей силы с амплитудой F0\т] — |
коэффициент потерь |
|||
колебательной энергии в пластине. |
|
|
|
На рис. 1.9 показана зависимость АПтот номера при разных коэффициентах потерь. Видно, что наибольшие амплитуды имеют моды, собственные частоты которых совпадают с частотой возбуждающей силы со или близки к ней.
Векторная диаграмма моды я, т представлена на рис. 1.10, на котором оси координат совмещены с направлением краев прямоугольной пластины.
Рис. 1.8. Формы первых трех мод изгибных колебаний прямоугольной пластины с шарнирно-опертыми краями.
Рис. 1.9. Зависимость амплитуды мод изгибных колеба ний пластины конечных размеров от номера моды.
Рис. |
1.10. v |
Векторная |
Рис. 1.11. Векторная диаграмма для |
|
диаграмма для п, m-й мо |
мод |
изгибных колебаний прямоуголь |
||
ды |
изгибных |
колебаний |
ной |
пластины с шарнирно-опертыми |
прямоугольной пластины. |
|
краями. |
Если упрощенные векторные диаграммы нескольких мод (правый верхний квадрант рис. 1.10) наложить одну на другую, получится картина, подобная изо браженной на рис. 1.11. На этом рисунке показаны векторы тех мод, частоты которых &пщ попадают в полосу частот А©, ограниченную значениями, соответ ствующими волновым числам
&H2 — |
= A |
(1.4.39) |
Для существования диффузного поля изгибных волн, как показывает опыт, достаточно одновременное возбуждение не менее пяти мод. Соответствующее частотное условие имеет вид
f > г |
10сп._пл<*--------- |
(1.4.40) |
|
1^12(1 —о2) 5ПлРо |
|
|
|
где Ро— численный коэффициент, |
зависящий от ширины полосы |
частот |
А©, |
в.которую укладываются собственные частоты возбужденных резонансных |
мод. |
Для полосы третьоктавных частот Р0 = 0,232, полуоктавных р0 == 0,345, 1 октавы Ро = 0,707.
В диффузном вибрационном поле направления векторов отдельных мод приблизительно равномерно распределены по углу q>. Угол между соседними
векторами |
|
|
Ат = |
2я 8сп. пл ± ....... |
(1.4.41) |
|
К 12(1 — о а) ДйЮЬл |
|
Отражение и прохождение упругих волн в пластинах. При падении плоской изгибной волны на угловое соединение двух пластин под углом <pHi относительно нормали к линии соединения помимо отраженных и прошедших изгибных волн в пластинах возникают отраженные и прошедшие продольные и сдвиговые волны. Углы отражения и прохождения этих волн связаны с углом фщ следующими соотношениями [35]:
Си. ПЛ 1 __ |
Си. ПЛ 2 |
_ |
gn« ПЛ 1 ___ |
Сп. ПЛ 2 _ |
gc. ПЛ1 |
__ gC ПЛ 2 |
(lv 4 |
42) |
sin фи! ~~ |
Sin фн2 |
~ |
5Шфп1 ~ |
sin фП2 |
sin фсх |
sin фС2 ’ |
{ ' * |
9 |
где ф„2— угол прохождения изгибной волны; фП1, фп2— |
угол, отражения и про |
хождения продольной волны; фС1, фс2 — угол отражения и прохождения сдвиго вой волны.
Упругие волны в цилиндрических оболочках. Обычно на практике исполь зуется теория тонких цилиндрических оболочек, у которых rcp > d, где гср — радиус серединной поверхности Цилиндрической оболочки; d — толщина стенки оболочки (рис. 1.12). Погрешность, получаемая при таком рассмотрении, пропор циональна отношению d/rcр.
При рассмотрении колебаний оболочек обычно вводят безразмерную частоту |
|
v = corCp/cn. пл. |
5(1.4.43) |
Безразмерной частоте v = 1 соответствует так |
называемая кольцевая резонанс |
ная частота. |
оболочка радиусом гср и толщи |
Если бесконечная тонкая цилиндрическая |
ной d возбуждена осциллирующим с частотой © распределением давлений, неза
висимая |
от |
времени часть |
которого имеет вид |
|
|
|
|||
|
|
|
|
Р = Ро cos щ е1кг, |
|
|
(1.4.44) |
||
где ф — |
азимутальный |
угол, то |
колебания |
цилиндрической |
оболочки можно |
||||
представить |
в следующем |
виде: |
|
|
|
|
|
||
ал + |
nvt + akrCpVa = |
tv2p0/©pd; |
|
|
|
|
|||
n v+ |
[n 2 — v2 + - ^ - ( l — CT)ft2r?p j o t - h - i - |
(1 + a) nkr cpva = |
0; |
||||||
okrcpv + - j - (1 + |
o) nkr + |
[ ft2^ p + ~Y |
(1 — |
o) re2 — v2] |
va = |
0, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.4.45) |
где v — радиальная |
компонента амплитуды скорости колебания оболочки; |
|
vt — |
тангенциальная |
компонента амплитуды скорости колебания оболочки; |
va — |
аксиальная компонента скорости колебания оболочки; п — половина числа |
|
узлов |
моды (формы) |
колебания оболочки в окружном направлении; k — волно |
вое число упругих колебаний оболочки в направлении ее оси (ось г); сг— коэф фициент Пуассона материала оболочки; р — ее плотность..
Различие в анализах колебаний оболочки, выполненных разными авторами, заключается в выражении для коэффициента а. Если учитываются только мемб ранные напряжения в оболочке (изгибная жесткость оболочки полагается рав ной нулю), то
а = 1 — v2. |
(1.4.46) |
При учете изгибных напряжений |
|
а = |
1 — v2 + (rt2 + k2rlpf а£2/ 12гср- |
0-4-47) |
Последнее выражение |
дает достаточно точные результаты, |
кроме случая |
с малыми значениями п. В этом случае более правильно использовать выражение, которое было дано в работе [46J:
а = 1 _ v2 + |(л 2 + * 2'сР)2 — 4 " [л2 (4 — а> — 2 - °] (‘ - °)_1| у | г •
(1.4.48)
Резонансные частоты опертой по краям конечной цилиндрической оболочки длиной I определяются из выражения
0 - . * ) [ ( - = 7 “ - ) * + “! ”1 ’ -
----(1.4.49)
) l^cp
где т— половина числа узлов формы колебаний оболочки в осевом направлении.
Более удобно пользоваться приближенным выражением
Yï |
|
/723X/"CD |
(1.4.50) |
|
*2 + Y îâ + P ( ftZ + Y i), где |
= |
Г " - |
||
r V i r |
||||
Это приближение вполне допустимо, за исключением сдучая |
у? « (п2 + 'V i) р. |
|||
Наглядное различие в поведении цилиндрической оболочки и |
пластины можно |
проиллюстрировать приведенной на рис. 1.13 линией постоянных значений частот V, построенных в плоскости чисел т и п . Кривая равных значений vn, т для прямоугольной пластины имеет форму четверти окружности, как следует из формулы (1.4.34). На рис. 1.13 заштрихована, область, ограниченная кривой
п = 4/ ( 1 - a * ) . Y -Щ 0 ^ - v) » |
(1-4.51) |
в которой проявляются особенности поведения цилиндрической оболочки. В осталь ной области значений т—п поведение цилиндрической оболочки подобно пове
дению пластины. Обычно поведение оболочки считают подобным поведению пла стины на частотах выше v = 1, т. е. выше кольцевой частоты.
Приближенное выражение для общего числа резонансных частот оболочки конечных размеров, значения которых ниже определенной частоты, равно:
|
2 |
(" m -» m ) |
|
для |
v С I ; |
|
|||
|
m =l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т кр |
|
|
|
mp |
|
|
|
|
JV ( V ) = |
2 |
^ |
- |
Е |
п- + |
^ - д л я 1 < v<< |
(1.4.52) |
||
|
|
||||||||
|
m1 |
|
m=l |
|
|
|
|
||
|
m0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
"m + |
|
|
|
Для v ^ / 2 , |
|
||
где |
га- 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г/ v2 — 1 |
v |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
т° = |
~ |
¥ |
Г |
; "гкр = ^ 1 |
; |
|
||
п* = I - 1 - { [ v2 ± |
( v4 — 4P2у4т4) 1/2] I /2 — 1f 2р2 у2т 2} |
1/2 |
|||||||
|
|||||||||
а плотность резонансных частот |
при |
v > |
1 |
|
|
||||
|
|
àN = |
. / |
^ |
^ З / |
|
(1.4.53) |
||
|
|
Av |
|
4rp |
2dcn. пл |
|
|||
|
|
|
|
|
В области v < 1 и v « 1 аналогичные выражения имеют вид:
дт у) |
/ V |
/ |
dv |
4Y P |
\ |
для vKp < v < 0,95; |
drf. (v) |
|
|
__ |
|
|
dv |
~ |
v I(p |
\ |
\с, |
1 |
+ |
VK P /V |
v |
/ |
[ |
|
to |
(1.4.54) |
|
Г |
||||
п ^Y |
|
_________ |
|
|
|
|
|
v |
|
(1.4.55) |
|
4vP V |
|/"-у2__ 1 |
|
для vKp ^ 1,05, |
где vKp = |
Y V 2р. |
плотность частот следует вычислять, исполь |
|
В промежутке 0 ,9 5 |
< v < C 1,05 |
|||
зуя выражения |
(1.4.52) |
и |
(1.4.53). |
|
§1.5. МЕХАНИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ, ПЛАСТИН И КОРПУСНЫХ КОНСТРУКЦИЙ. ЗВУКОИЗЛУЧЕНИЕ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК*
Механическое сопротивление стержней, пластин и корпусных кон струкций. Под механическим сопротивлением понимается скорость конструкции в. исследуемой точке при приложении к конструкции единичной силы. Механиче ское сопротивление называют входным, если точка приложения силы совпадает с точкой измерения скорости, и переходным, если такого совпадения нет. В общем случае возбуждения конструкции в нескольких точках скорость ее в любой точке определяется как входными, так и переходными сопротивлениями этой конструк ции. Формально механическое сопротивление конструкции представляется
* Параграф написан В. С. Коневаловым и В. А. Святенко.
в виде квадратной матрицы, связывающей между собой матрицу-столбец воз буждающих конструкцию усилий* с матрицей-строкой того-ж е порядка, опи сывающей поступательные и угловые скорости во всех точках возбуждения [28]:
IF] = [Z] [V]. |
(1.5.1) |
На практике вместо матрицы [Z] чаще применяется обратная ей матрица проводимости [Y] = [Z]-h
Частотные характеристики механических сопротивлений конструкций позво ляют определить их резонансные свойства и произвести отстройку резонансных частот конструкции от основных частот возмущающих усилий [28]. Приближен ная оценка частотной характеристики механического сопротивления сложных конструкций, имеющей резонансные ' минимумы и антирезонансные максимумы, производится на основе характеристического механического сопротивления [35]. Характеристическое сопротивление конструкции соответствует механиче скому сопротивлению аналогичной конструкции, но с бесконечными размерами или с высоким коэффициентом внутренних потерь, исключающим отражение волн от границ. В настоящее время известны характеристические сопротивления различным возмущающим усилиям таких конструкций, как стержень [26], однородная пластина [24, 25, 26], однородная оболочка [18], ортотропная пла стина [43] и пластина, подкрепленная ребром жесткости [48]. Эти сопротивления приведены в табл. 1.3.
Звукоизлучение пластин и оболочек. Излучение звука судовыми конструк циями обусловлено их вибрацией, под которой обычно понимают изгибные коле бания конструкций (пластин или оболочек). Практической задачей является определение звукового давления в среде р или определение излучаемой кон
струкцией |
звуковой |
мощности |
N. |
|
||
Излучающая |
способность |
конструкций характеризуется сопротивлением |
||||
излучения R, которое связано с излучаемой звуковой |
мощностью и среднеквад. |
|||||
ратической |
по |
времени и поверхности колебательной |
скоростью пластины (хг) |
|||
соотношением |
[42, |
49] |
|
|
||
|
|
|
|
|
N = R ( x а) |
(1.5.2) |
или коэффициентом |
потерь на |
излучение |
|
|||
|
|
|
|
|
R |
(1.5.3) |
|
|
|
|
|
(ùmSn ’ |
|
|
|
|
|
|
|
где т— масса на единицу площади; 5 И— площадь поверхности пластины или оболочки..
Излучающая способность конструкций оценивается различными способами в зависимости от значений критической частоты / кр, при которой длина изгиб ной волны в конструкции и длина звуковой волны в среде равны
где т — масса «конструкции на единицу поверхности; В — цилиндрическая жесткость; с — скорость звука в среде.
На частотах выше критической скорость изгибных волн больше скорости звука в среде, а на частотах ниже критической — меньше, и такие формы колеба ний принято называть соответственно акустически быстрыми и акустически медленными модами.
Излучение как физический процесс. При распространении в бесконечной пластине акустически медленных мод излучения не происходит. Это связано с тем, что расстояние между узловыми линиями колебаний в пластине меньше половины длины волны в среде. В этом случае среда ведет себя как несжимаемая,
* Поскольку в каждой точке возбуждения возможно действие трех составляющих сил и трех составляющих моментов, порядок матрицы определяется увеличенным в шесть раз числом точек возбуждения.
Колебательная
система
1
Однородный бесконечный стержень
Однородный полубесконечный стержень
Однородная бесконечная пла стина
Ортотропная пластина
Таблица 1.$
Сопротивление конструкций возмущающим усилиям
Вид возмущающего усилия
2
Продольная сила
Поперечная рила
Изгибающий момент Скручивающий момент Продольная сила Поперечная сила Изгибающий момент Скручивающий момент
Сила в плоскости пластины
Поперечная сила
Изгибающий момент
Скручивающий момент Поперечная сила
Входное механическое сопротивление
3
|
Zp == 2ç>scn = |
(opsXnfn |
|
|
|||
|
z F = 2psc„ ( i + / ) |
= |
c e p s - b d L ± iL |
|
|||
Zu = |
2pscH (1 - |
j)/kl « 0,12psl/'с У |
(1 - / )!V 1 |
|
|||
|
ZK = 2p /pcK= |
û>pJpTin/л |
|
|
|||
|
Zp = pscn = |
(ùpsXnfïn |
|
|
|||
|
ZF = 0,5pspj, (1 + / ) |
= |
(ùpsXH(1 - f /)/4n |
|
|||
Z „ = |
0,5psc„ (1 — /)/*! * |
0,03psl/’4® (1 — |
f |
||||
|
ZK= |
pJpCK = <ùpJр\к/2л |
|
|
|||
|
Zp î= jSnGh/<D = jiùpjc ( ~~~~~ Яс) h |
|
|||||
|
|
|
|
|
\ n |
/ |
|
|
ZF = 8 VBph « |
2,3ty>A2 = <ùphX2JS |
|
||||
|
Zu = 16Bjfù [ |
1------j ln (0 ,9 M ) ] |
|
||||
|
|
ZK = |
j8nha2G/(ù |
|
|
Zp = 8 Vm j/" B±BZ
Колебательная |
|
Вид возмущающего |
||
|
система |
|
усилия |
|
|
1 |
|
|
2 |
Однородная |
полубесконечная |
Поперечная сила'йа кромке |
||
пластина |
со свободной |
кром |
Изгибающий |
момент, па |
кой |
|
|
||
|
|
раллельный кромке |
||
|
|
|
||
Однородная |
цилиндрическая |
Поперечная сила |
||
оболочка |
|
|
|
|
Бесконечная |
пластина с |
жест |
Поперечная |
сила в центре - |
ким круглым диском |
|
диска |
|
|
Ребро жесткости, подкрепляю |
Поперечная |
сила, дейст |
||
щее пластину |
|
вующая на ребро |
Продолжение табл. Î.3
Входное механическое сопротн
' 3
|
Zp = |
2,3 У Щ |
« |
cnpft* = |
а>рЬ%%/1\,5 |
|
|
||||
|
Zu = 5.3В/С0 [1 — 1,46/ In (0,9М )]. |
|
|
|
|||||||
Zc = 4 ]/~2 V m B |
j |
/ |
" |
( 1 — / ) , © < |
«Bfe |
|
|
||||
|
|
Zc = 8 V m B , |
|
|
|
|
|
|
|||
z , - m |
. |
2 |
. |
6 |
|
|
1 |
^ , - y ] |
|
||
|
Zp |
4 /(3HCTB Bl ' |
|
1 |
1 *и.ст L |
X |
|
|
|||
4 |\ , |
3 — r® |
|
|
r |
, |
3 + r * |
, Ц |
||||
X — 1 4 ----------r------------ arccos |
H------------ ‘ |
- |
. aresh |
г |
U |
||||||
' |
2 r * V \ — r* |
|
|
|
|
2r3 V l |
— r* |
|
J / ’ |
||
|
|
Kl\. C T |
|
|
r |
Bcx |
|
|
|
|
|
|
|
* И . Ш 1 |
’ |
|
|
Впл |
‘ |
|
|
|
П р и м е ч а н и е . |
Обозначения: р, |
Л, |
т — плотность |
материала, толщина пластины и масса единицы |
площади пластины; s — пло |
|||||||||||
щадь поЛеречного сечения; а, |
М — радиус |
и |
масса |
ж есткого диска; J^ — полярный радиус |
инерции поперечного |
сечения |
относительно |
|||||||||
центра тяжести; /, «û, |
— частота, |
круговая |
и |
кольцевая |
частоты; k — волновое число; с — скорость волны; А, — длина волны; В, В и |
|||||||||||
В : — изгибная жесткость; |
изгибные |
жесткости |
в ортотропной |
пластине;* г — отношение волновых чисел |
изгибных |
волн |
в |
стержне и в |
||||||||
подкрепляемой им пластине; |
L т- отношение |
изгибных |
жесткостей стержня и |
подкрепляемой |
пластины; |
И^2\ |
Н ^ \ |
KQ, |
|
— цилиндри |
||||||
ческие функции Ханкеля |
и |
Макдональда. |
Индексы: |
ст, пл — соответственно |
относящиеся |
к стержню |
и к |
пластине; |
п, о, и, к — про |
|||||||
дольные, сдвиговые, изгибные и крутильные колебания. Мнимая единица обозначена / . |
|
|
|
|
|
|