книги / Справочник по судовой акустике
..pdf_ , дф |
. д[НЬ{кг)\_ ш |
(1.2.21) |
|
д (kr) '' |
0 д (kr). |
||
|
Для длинных волн (kr.0 <£ 1) удельное акустическое сопротивление z пульси рующему цилиндру равно
? » У - kr„ -4- ipQckrо 1п |
.. |
(1.2.22) |
Давление в цилиндрической волне на большом расстоянии от источника
меняется по закону г~~1/Г2, а удельное акустическое сопротивление в цилиндриче ской волне вдали от источника равно р0с, как и в плоской волне.
Плотность энергии Wi, мощность N, интенсивность звука (плотность потока мощности) I в звуковой волне. Плотность звуковой энергии wx является удель ной (в единице объема среды) энергией звуковой волны.
Мгновенное значение w± в бегущей волне
|
|
щ — |
|
С -2-23» |
гии |
В бегущей плоской волне р = |
р0с|, и мгновенное значение плотности энер |
||
ОУ! |
|
|
|
|
|
|
щ = |
т Л -Р 2 = Pol2. |
(1.2.24) |
|
|
|
РоС |
|
ской |
Средняя плотность энергии wi (по времени и пространству) в бегущей пло |
|||
гармонической |
волне [р = |
Р0 cos (со/ — kx)] |
составляет |
|
где |
io — амплитуда |
колебательной скорости. |
|
Интенсивность звука (вектор плотности потока мощности) /, определяющая величину и направление потока звуковой энергии через единичную площадку в единицу времени,
î = pv. |
(1.2.26) |
В бегущей плоской звуковой волне модуль / равен:
/ = р g = - i _ |
= p0ci* = Wlc. |
(1.2.27) |
В гармонической сферически-симметричной волне, созданной пульсирующей
сферой |
/ |
eibr\ |
|
равна (kr > |
1) |
|
l p = P 0—— I, интенсивность |
|
|||||
/ |
= |
р*сГг~[ cos2 № |
|
siny(a)/ — kr) cos (со/ — kr) J . |
(1 .-2.28) |
|
Среднее значение интенсивности |
|
|
|
|
||
|
|
/ = |
1 |
РЪ |
|
(1.2.29) |
|
|
2 |
р0сг2 ' |
|
||
|
|
|
|
|
||
Суммарная средняя мощность N, излучаемая монополем (пульсирующей |
||||||
сферой), |
составляет |
|
|
|
|
|
|
|
N = Sl = 4nr4 = |
. |
(1.2.30) |
||
|
|
|
|
Рос |
|
|
< |
Средняя мощность диполя, образованного малой сферой |
радиусом |
гй (kr0 <£ |
1), составит |
|
|
|
|
Й = - ^ я г в р 0с ( £ г 0 ) * & |
|
( 1 . 2 . 3 1 ) |
где |
|о — скорость осцилляции сферы, |
|
|
|
Среднее значение интенсивности (плотности потока мощности) / |
осцилли |
|
рующей сферы малого радиуса г0 вычисляется по формуле |
|
|
|
|
7 = 4 - Р о cos* еi î . |
|
(1.2.32) |
|
§1.3. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В УПРУГИХ |
|
|
|
И ВЯЗКИХ СРЕДАХ |
|
|
|
В идеально упругом теле при снятии внешних |
сил одновременно |
исчезают деформация и напряжение, и тело возвращается в первоначальное недеформированное состояние. Деформированное состояние тела характеризуется тензором деформаций— симметричным тензором 2-го ранга [13, 19]:
гх Уху |
Ухг |
|
(1.3.1) |
Уух Еу |
Ууг |
у |
|
Уzx Угу |
£z _ |
|
|
где гх, yxyt ву, уХ2, ez, yyz, уух% угх, |
угу— |
компоненты тензора |
деформаций. |
В линейном приближении компоненты |
тензора деформаций |
равны: |
|
dU |
г* ~ |
d x ’ |
Й* II |
£ и |
8^ = |
3V |
• |
е2 — |
dW . |
1 |
/ ■зи |
, |
dV \ . |
|||
|
' |
ду |
|
: |
дг ’ Уху — Уух - = |
2 |
(>dy |
+ |
àx |
J ’ |
|
1 |
/* ÔU |
|
dW\ |
|
1 /' |
3V |
, dW |
) , |
(1-3. |
||
2 |
(Ч дг |
1 |
дх ) |
; |
Уу2 == ч г у - - 2 - { \ |
дг |
+ |
* |
где dU, dVt dW — компоненты вектора dU (на оси х, у, г соответственно), опре деляющего изменение расстояния между двумя точками тела в результате дей ствия сил.
В случае малых деформаций компоненты деформации гх, sy, ez совпадают, с относительным удлинением вдоль соответствующей координатной оси, а ком поненты уik практически равны изменению угла (относительному сдвигу) между двумя бесконечно малыми отрезками, которые до деформации пересекались под прямым углом.
Переход тела из деформированного состояния в первоначальное при снятии внешних сил происходит дод действием внутренних напряжений, возникающих в деформированном упругом теле. Для уяснения этого понятия в идеально упру гом теле, находящемся в равновесии под действием внешних нагрузок, выделим
элементарную площадку ds, характеризуемую внешней ^нормалью п (рис. 1.3).
—&
Усилия на элементарной площадке ds сведем к главному вектору сил dTnи глав
ному моменту dMn. Теперь можно ввести понятие силового напряжения tn
и моментного напряжения тп
dMn тп = ds '
Поскольку моментное напряжение представляет величину первого порядка малости по сравнению с силовым, то им пренебрегают и принимают во внимание лишь силовое напряжение tn.
Для определения напряжения в данной точке на любой площадке достаточно знать напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через данную точку. На рис. 1.4 в декартовой системе координат показаны три
&НЛ
ÎI
à /*7i
Рис. 1.3. Силы и моменты на |
Рис. 1.4. Компоненты тен |
элементарной площадке упру |
зора напряжений. |
гого тела. |
|
такие площадки и действующие на них напряжения, нормальные и касательные. Полученные девять напряжений запишем в виде квадратной таблицы [35]:
Ох тху тхг Тух ьи Туг Т>гх о2m
которая носит название тензора напряжений, а составляющие ее элементы назы ваются компонентами тензора напряжений. Тензор напряжений, так же как тензор деформаций, — симметричный тензор 2-го ранга. Уравнение движения упругой среды (в проекциях на декартовы оси координат) имеет вид *
|
d<Jx , dïyX |
. |
д^гх. |
|
|
д2и . |
|||
|
дх |
^ |
ду |
1 |
дг |
|
р |
де- |
’ |
|
дТху |
| |
дау |
1 |
дхгу |
- |
|
дЪ . |
|
|
дх |
1 |
ду |
1 |
дг |
|
р а/2 |
; |
|
|
faxz |
, |
дТуг |
, |
<Эст2 |
|
|
d2w |
|
|
дх |
1 |
ду |
1 |
дг, |
' |
Р |
др |
у |
где и, V, w — |
компоненты |
вектора |
смещения |
-> |
|
|
|||
и точек среды на оси х, у, г. |
|||||||||
При записи уравнения движения (1.3.4) статические силы тяжести были |
|||||||||
отброшены как |
несущественные в динамическом |
режиме. Система из трех урав |
нений (1.3.4) содержит девять неизвестных: шесть независимых компонент тен зора напряжений и три компоненты вектора смещения. Недостающие шесть уравнений даются обобщенным законом Гука, устанавливающим связь между напряжениями и деформациями в упругом теле при малых деформациях. В соот-
* Здесь и далее р — равновесная плотное
ветствии с этим законом каждая из шести компонент тензора напряжений в любой точке тела является линейной функцией шести компонент тензора деформаций:
|
|
|
Gik~ CiklnCtlnu |
(КЗ.5) |
|
где сШт = |
|
— |
модуль |
упругости. |
|
V оУт ] v/OT=o |
|
|
|
|
|
Если деформации |
принять за |
функции напряжений, получим |
|
||
|
|
|
4ik = |
siklmPlnu |
(1.3.6) |
где Sikim— коэффициент деформации, или постоянная гибкости. |
ранга — |
||||
Совокупность |
величин |
|
образует симметричный тензор 4-го |
тензор модулей упругости, или тензор упругих констант. В общем случае произ вольный трехмерный тензор ,4-го ранга имеет ^1 независимую константу. Сим метрия тензоров деформаций и напряжений, а также пренебрежение тепловыми эффектами сокращает число независимых компонент тензора модулей упругости до 21. Но и это. число независимых модулей упругости .характерно лишь для материалов, не обладающих пространственной симметрией (например, кристал лов триклинной системы). В случае симметрии упругих свойств твердого тела число модулей упругости уменьшается.
В изотропной среде упругие свойства одинаковы по всем направлениям, проведенным через данную точку. Такая среда обладает двумя независимыми модулями упругости К и р, которые носят название коэффициентов Ламе.
Второй коэффициент Ламе р совпадает с модулем сдвига. Через % и р выра жаются другие модули упругих сред и ограниченных твердых тел:
— модуль всестороннего сжатия, или объемный модуль упругости,
К= ^ + -g- Ц-;
—модуль Юнга Е для стержня:
|
|
_ и з х - ь а д . |
|
|
|
X + j i |
’ |
— коэффициент Пуассона о, равный отношению поперечного сжатия к про |
|||
дольному растяжению |
при |
растяжении тонкого цилиндрического стержня: |
|
|
|
X |
|
|
|
а ~ 2 ( Х + ц Г |
|
Значения скоростей упругих волн и других характеристик материалов, |
|||
применяемых в судостроении, даны в табл. |
1.2. |
||
Обобщенный закон |
Гука |
(1.3.5) для упругой среды позволяет исключить из |
уравнений движения (1.3.4) напряжения; в результате эти уравнения ' будут содержать одну переменную — вектор смещения и (и, и, w) точек упругой среды.
В случае изотропной |
упругой среды |
уравнение |
движения |
принимает вид |
(?„ + |
-> |
-> |
д2 и |
(1.3.7) |
|А) grad div и + ц .Д и = р |
- ^ - . |
Уравнение (1.3.7) носит название уравнения движения Ламе. Из уравнения Ламе можно получить два уравнения: первое— скалярное волновое уравнение
для объемного расширения Ф = 8* + гу + е2 |
|
р"дР~ = (Х + |
(1.3.8) |
|
Материал
Таблица 1.2
Скорости упругих волн и другие характеристики некоторых судостроительных материалов
МодульЮнга Н/м*»,0.1£ |
Scs |
С к |
Коэффициент Пуассонаa |
Коэффициент внутреннихпо ri.терь10“ 4 |
Скоростьпро дольнойволны с10я,.м/с |
Скоростьпо перечнойволны см/с10я,. |
Скоростьпродоль волныной в стерж несст10V м/с |
Скоростьпродоль волнынойв пластиплсп.не ,0 '- м/с |
||
|
га |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
1— |
à |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З д |
49 |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
J3 |
« |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4 |
2 |
я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н" |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 ° |
О |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сталь |
|
|
|
210 |
8,14 |
|
7,8 |
|
0,29 |
1 |
5,94 |
3,22 |
5;2 |
5,4 |
|||
Алюминиевые |
|
72 |
|
2,7? |
|
2,8 |
|
0,3 |
|
5 |
5,87 |
3,14 |
5,1 |
5,3 |
|||
|
сплавы |
|
|
21 |
0,955 |
1,7 |
|
|
130 |
3,55 |
2,36 |
|
3,54 |
||||
Стеклопластик |
|
|
0,1 |
3,5 |
|||||||||||||
Фанера |
|
|
|
3,4 |
— |
|
0,8 |
|
— |
130 |
— |
— |
— |
— |
|||
Плиты древесно |
3 |
|
|
|
1 |
|
0,17 200 |
|
|
|
|
||||||
|
волокнистые |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
второе — векторное |
волновое |
уравнение |
для |
вихря вектора |
смещения œ = |
||||||||||||
= |
-> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rot и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2(ù |
. -> |
|
|
|
(1,3.9) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р ~ д р -= |
и д ®' |
|
|
|
|
|||
|
Вектор смещения и в соответствии с теоремой Гельмгольца представим в виде |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и = g r a d O + r o M > |
|
|
(1.3.10) |
|||||
где Ф — скалярный |
потенциал, описывающий |
движение, обусловленное |
нали- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
->■ |
|
|
|
|
|
|
чием источников объемных смещений; А — векторный потенциал, описывающий |
|||||||||||||||||
движение, |
возникающее |
благодаря |
вихрям. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
При этом |
оказывается, |
что скалярный потенциал удовлетворяет уравнению |
||||||||||||||
(1.3.8) |
[34, |
41]: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
р - ^ |
г = (^ + а д д ф . |
|
(1.3.11) |
||||||
а |
векторный |
|
|
|
-> |
|
|
|
|
(1.3.9): |
|
|
|
|
|||
потенциал Л — уравнению |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дМ |
-> |
|
|
(1.3.12) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р ^ р - = ц Д Д . |
|
|
||||||
|
Объемное |
|
расширение Ф |
распространяется в изотропной |
среде соскоростью |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сп = у Щ |
Ш |
' |
|
|
(1.3.13) |
|||
а |
вихрь — со |
скоростью |
|
|
|
|
____ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сс ^ |
У |
|
|
|
|
(1.3.14) |
||
|
При распространении |
волны |
расширения |
(безвихревой) |
всредевозникают |
||||||||||||
деформации расширения (сжатия) и сдвига, а при распространении вихревой |
|||||||||||||||||
волны |
(волны |
искажения) — вращение элементов |
среды |
и деформация |
сдвига. |
Безвихревая плоская волна в безграничной упругой изотропной среде превра
щается в продольную волну, так как вектор смещения и в ней ориентирован по
направлению волновой нормали и, т. е. по направлению распространения. Пло ская волна искажения является поперечной волной с вектором смещения, пер
пендикулярным волновой нормали, |
т.е. параллельным |
волновому фронту. |
|
Значения скоростей продольной |
сп и поперечной сс волн в |
некоторых упру |
|
гих средах можно видеть из табл. 1.2. |
телах |
уравнение Ламе |
|
При изучении гармонических процессов в твердых |
(1.3.8) сводится к двум уравнениям Гельмгольца— скалярному и векторному,
для |
скалярного (Ф) и векторного |
(Л) потенциалов |
[см. (1.3.10)] соответственно' |
|||||
|
|
Z, к |
|
|
|
( А + £ й) Ф = 0 ; |
(1.3.15) |
|
|
|
, |
( |
|
(A -±-k2)A = 0. |
(1.3.16) |
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Математический |
аппарат |
теории |
|||
|
|
|
упругости и движения вязкой жидко |
|||||
1 |
041 |
у 1 |
сти идентичен, поэтому уместно рас |
|||||
|
|
|
смотреть |
вопрос о |
распространении |
|||
|
|
|
' |
|
звука в вязкой жидкости. Вязкие (тан |
|||
|
|
|
1генциальные) силы возникают между |
|||||
|
|
Рис. 1.5. Упругий |
слой. |
|
слоями жидкости, движущимися с раз |
|||
|
|
|
личной скоростью, они стремятся вы |
|||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
равнять |
эти скорости, т. е. |
препят |
ствуют относительному движению слоев. В отличие от идеальной жидкости, тен
зор напряжений которой содержит только |
диагональные члены— |
нормальные |
||||||||||
напряжения (давления), в вязкой жидкости |
имеются |
и касательные |
напряже |
|||||||||
ния, пропорциональные скоростям деформаций. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
Потенциал <р плоской звуковой волны в вязкой среде подчиняется уравне |
|||||||||||
нию [14] |
1 |
д8Ф |
ааф |
, |
4 |
у |
азд> |
|
|
. |
||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
с2 |
dt2 ~ |
д*2 |
+ |
3 |
с2 |
dtdx* ’ |
|
U |
||
где |
V — коэффициент |
кинематической |
вязкости. |
|
|
|
|
|
||||
|
Уравнению (1.3.17) удовлетворяют затухающие |
акустические |
колебания |
|||||||||
|
|
|
ср = —'Фт е* 1®*~~к1хх)еатх^ |
|
|
|
||||||
где |
фт — амплитуда |
звукового |
потенциала; |
<хт — |
коэффициент |
затухания; |
||||||
£д = |
а к р — волновое число для |
вязкой |
среды; |
с^ — |
скорость звука |
в вязкой |
||||||
среде. |
|
|
число |
k^ связаны системой уравнений: |
||||||||
|
Коэффициент ат и волновое |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
з‘ |
|
Ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-5 - C03V |
|
|
|
|
||
|
|
|
2 a mk l l |
= ■ |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
с 1 + ^|-<a2v2 |
’ |
|
|
(1.3.18) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
C2<ù2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
k 2 — |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RH |
ат |
С4 + |
^ û>2V2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
До сих пор мы рассматривали бесконечно протяженные твердые тела — упру |
|||||||||||
гие среды. В полубесконечной среде |
вдоль |
ее единственной границы, свободной |
от напряжений, могут возникать поверхностные волны, впервые исследованные Рэлеем и потому называемые волнами Рэлея [4].
В твердой пластинке (слое) со свободными границами (рис. 1.5) могут распространяться волны Лэмба, у которых имеется смещение как в направлении распространения волны, так и перпендикулярно плоскости пластинки.
Для судовой акустики представляют интерес нулевые формы волн Лэмба, существующие в упругом слое при любой частоте: нулевая симметричная волна, называемая продольной, и нулевая антисимметричная, называемая изгибной.
Принцип взаимности. Для линейных колебательных систем принцип взаймы ности является одним из фундаментальных. Он связывает свойства звуковых полей и позволяет, в частности, менять местами источники и приемники колеба ний, что бывает важно при решении некоторых задач [2].
а )
7 .
Ъ
Рис. 1.6. Иллюстрация применения принципа взаимности к звуко изолирующим системам.
Пусть Ф и ? есть потенциалы скорости. Волновые уравнения для них за пишем в форме (1.1.13)
ДФ + |
к2Ф = 0; |
|
(1.3.19) |
||
A 'F -f W |
= 0, |
|
|||
откуда |
|
|
|
0. |
(1.3.20) |
АФУ — ФАУ = |
|||||
Ограничимся случаем плоских волн. Тогда |
|
||||
д*Ф |
|
А„, |
c W |
||
ЛФ= - ^ ; А¥ |
дх8 |
||||
Учтя также связь потенциалов с колебательными давлениями и скоростями |
|||||
при гармонических процессах для |
двух |
точек пространства (индексы 1 и 2) |
|||
Pi = шрФ; |
= |
|
дФ |
|
ia>p¥; |
------ ; р2 = |
|||||
с |
_ |
|
д Ч |
’ |
|
получим из (1.3.20) |
|
|
дх |
|
|
|
|
|
|
|
|
рЛг = Р2*Ь- |
|
(1.3.21) |
Из уравнения (1.3.21) следует, что замена местами излучателя и приемника при сохранении режима излучения-не изменяет звукового давления на приемнике.
Проинтегрировав по площади колеблющейся поверхности S (которая в дан ном случае равна площади фронта волны), получим
j Pi62ds= J Psiids. |
(1.3.22) |
Уравнение типа (1.3.21) может быть распространено на случай механических систем. Получим
FiÙz = ^ 1 » |
(1.3.23) |
или для гармонического процесса
р1Уг = р2У1- |
(1.3.24) |
В последних уравнениях Fi и F 2— колебательные силы двух источников;
у1 и у2— колебательные ускорения, уг и у2— колебательные скорости (они, разумеется, могут быть' заменены колебательными смещениями).
Принцип взаимности справедлив и- для неоднородных и поглощающих сред, а также для случаев, когда на пути распространения от одной точки к другой
волна |
претерпевает отражения и преломления. |
|
|
П р и м е р . В точке 1 машинного отделения |
работает источник с произво |
||
дительностью Q. Звуковой уровень в точке 2, находящейся внутри звукоизоли |
|||
рованного поста управления, равен I |
(рис. 1.6, а). Тот же самый уровень будет |
||
в точке |
1 при перемещении источника |
Q в точку |
2 (рис. 1.6, б). |
§1.4, |
УПРУГИЕ ВОЛНЫ В СТЕРЖНЯХ, ПЛАСТИНАХ |
|
|
|
И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ* |
|
|
является их |
Длина упругих волн [42]. Основной характеристикой упругих |
волн |
|
волновое число k , связанное с ’ длиной волны К соотношением |
k = |
||
= 2я/Х. |
|
|
|
Так как k = |
о)/с (с — скорость распространения волны), то длина упругой |
||
волны есть |
Я = |
c/f. |
|
Продольные |
волны в стержне. Стержнем принято называть вытянутое |
упругое тело, у которого больший размер значительно превышает размер попереч ного сечения. При продольных колебаниях поперечные сечения стержня пере
мещаются в направлении его оси (рис. |
1.7). Скорость |
распространения-продоль |
||
ной волны вдоль стержня |
|
|
|
|
|
Cn. CT = |
y |
i L y |
(1.4.1) |
где Е и |
р — модуль Юнга и плотность |
материала |
стержня. |
|
При |
продольных колебаниях сечений стержня с |
амплитудой х происходят |
также поперечные перемещения его граней с амплитудой у и г. Отношение этих величин для прямоугольной формы сечения стержня составляет
У |
_ |
^п. ста . |
z _ „ ^п. СТ^ |
(1.4.2) |
||
* |
“ а |
2 |
’ |
2 |
||
’ |
где а и b — размеры поперечного сечения стержня; kn, Ст— волновое число про дольных колебаний в стержне; а — коэффициент Пуассона.
Плотность энергии продольных волн (т. е. усредненное за период количество ее, содержащееся в отрезке стержня единичной длины) равна*
ст = 4" тсУ*0,
где т СТ— погонная масса стержня; х0— амплитуда смещения сечения стержня.. Поток энергии в стержне, т. е. количество энергии, проходящей через сече
ние стержня за единицу времени, определяется выражением
Пп. ст = “2 ” т ст^п. ст® *0 = ^П.СТСп*ст" |
(1.4.4) |
|
Значения сПфст для некоторых используемых в судостроении |
материалов |
|
были приведены в табл. |
1.2. |
|
Частоты, на которых возникают свободные продольные колебйния стержня |
||
длиной I, равны |
|
|
/г = |
ст (t = 1 ,2 ,3 ,. . . ). |
(1.4.5) |
* В написании параграфа принимал участие С. В. Будрии.
Формула (1.4.5) справедлива как при свободных, так и при заделанных кон цах стержня.
Количество частот свободных продольных колебаний стержня длиной I, проходящихся на полосу частот А/ (плотность собственных частот), определяется
выражением |
|
<*) |
J V ( A / ) = - ^ - Â f . |
(1.4:6) |
|
с п. ст |
|
|
Крутильные волны в стержне [26]. При крутильных колебаниях поперечные сечения стержня совершают поворот вокруг' центра* тяжести. Скорость распространения крутиль ной волны в стержне круглого или кольце вого сечения
|
|
|
с |
= л [ — |
> |
|
(1.4.7) |
|
|
|
|
СК . СТ |
У |
р |
|
|
|
где 0 — модуль сдвига в материале стержня |
||||||||
(см. табл. |
1.2). |
|
|
|
крутильной' |
|||
Скорость |
распространения |
|||||||
волны в |
стержнях с другим |
сечением отли |
||||||
чается |
от |
с'с ст, |
описываемогоформулой |
|||||
(1.4.7). |
Так, |
для |
прямоугольного |
сечения |
||||
со сторонами |
а и b |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ск. ст |
Х^к.ст* |
|
|
(1.4,8) |
|
Зависимость коэффициента х от соотно |
||||||||
шения сторон а и b поперечного сечения |
||||||||
стержня |
прямоугольной |
формы приведены |
||||||
ниже: |
|
|
|
|
|
|
|
|
а/b |
|
|
1 |
1,5 |
2 |
|
3 |
6 |
X |
|
|
0,92 |
0,85 |
0,74 |
0,56. |
0,32 |
Видно, что в стержне некруглого или |
|
||||
кольцевого сечения крутильная волна рас |
Рис- 1*7* Характер деформации |
||||
пространяется |
с |
меньшей |
скоростью. При |
||
> g |
|
2ь |
/ |
|
стержня при продольных (а), |
ск |
(1.4.9) |
крутильных (б) и изгибных (в) |
|||
ст ~ —^~ск. ст* |
колебаниях. |
||||
Выражения (1.4.8) и (1.4.9) справедливы, если выполняется условие ku. ва<^ |
|||||
< 1, где kH' B— |
волновое число изгибных колебаний в пластине толщиной dt |
||||
определяемое |
по |
(1.4.28). |
|
|
|
В общем |
случае |
|
|
|
<l•4 л 0 ,
где С — жесткость стержня при кручении; 10— полярный момент инерции сече
ния стержня. |
|
|
В |
частности, при круглом или кольцевом сечении С — IPG и (1.4.10) пере |
|
ходит |
в (1.4.7). Плотность энергии крутильных |
колебаний в стержне |
|
“ ’K. CT= - T ' pV i ’o. |
o - 4 .ii ) |
W ф0 — амплитуда угла поворота сечения стержня.
|
/ Р= |
- г ( г4- |
г1)> |
<Ы Л2> |
|
где г и /\ — наружный и внутренний радиусы |
сечения соответственно. |
||||
При г± == 0 .выражение (1.4.12) |
описывает 1Р для круглого сечения. Для пря-, |
||||
моугольного сечения |
стержня |
|
|
|
|
|
/ " = |
Т |
Г (а2 + |
62)- |
(1'4ЛЗ) |
Поток энергии в |
стержне* при |
крутильных |
колебаниях |
||
|
Пк. ст ^ |
^к. стск. ст* |
(1.4.14) |
Изгибные волны в стержне. При изгибных колебаниях поперечные сечения стержня совершают поперечные перемещения и поворот вокруг оси, проходящей через нейтральную плоскость (нейтральная плоскость не испытывает деформа ции растяжения при изгибе стержня) [17]. Угол поворота сечения стержня q> при гармоническом процессе связан с его поперечным перемещением у соотно шением |q>| = &и. ст I УI» где &И.СТ— волновое число изгибных колебаний стержня
|
|
*и. ст = -Г—— |
|
|
(1.4.15) |
|
|
С\\.ст |
|
|
|
Си. ст— скорость перемещения вдоль стержня |
фазы'деформаций |
при изгибных |
|||
колебаниях, называемая |
фазовой скоростью |
и |
равная |
|
|
|
|
£и. ст = l^WCn. ст^ст |
» |
(1.4.16) |
|
где гст — радиус инерции |
поперечного сечения |
стержня. Для стержня прямо |
|||
угольного сечения |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.4.17) |
|
|
|
Гст —■ F f f ’ |
|
||
|
|
|
|
||
где а — |
размер сечения в |
направлении у, для стержней круглого и кольцевого |
|||
сечений |
соответственно |
|
|
|
|
|
|
г ' |
|
|
(1.4.18) |
Гст~ ~ Т ;
Из выражения (1.4.16) видно, что фазовая скорость изгибных волн^в стержне зависит от частоты, т. е. имеет место дисперсия скорости.
Выражение (1.4.16) справедливо при условии Си.стГ1 <С Изгибные колебания стержня характерны наличием так называемых неодно
родных изгибных волн помимо бегущих волн. Они возникают вблизи неоднород ностей в стержне (например, изменения сечения) или около точек приложения внешних усилий. Изменение амплитуды неоднородных волн' вдоль стержня опи сывается экспонентой, убывающей по мере удаления от места возникновения этих волн по закону
У1 М = У 01е ± ‘ » -сЛ |
(1-4.19) |
где у01— амплитуда неоднородной волны в месте ее возникновения. |
|
|||
Величина Б = EI характеризует изгибную |
жесткость стержня. Здесь / — |
|||
момент инерции сечения стержня ( / = |
r^ s). Плотность и поток энергии при изгиб |
|||
ных колебаниях стержня равны соответственно |
|
|
||
®и. ст |
2~ |
Пн. ст = |
2ши стсИСТУ |
(1.4.20) |
где у0— амплитуда поперечного смещения сечения стержня.