книги / Сборник задач по термодинамике физико-химических процессов. Решение задач

Поделив (2) на (1), получим выражение для определения коэффициента Ь:

находим первую и вторую производные, которые приравниваем нулю:

Поделив уравнение (1) на (2), получим:

41

Подставим это значение в уравнение ( 1) и получим следующее выраже­ ние:

21Ь-2Ь 9Ь2 27Ь2

6. В уравнении Ван дер Ваальса перемножим выражения в скобках:

(p + a / V 2 ) i y - b ) = R T

и получаем следующее уравнение:

P V - b P + — - ^ - = R T

откуда получаем выражение для температуры Бойля: Тв = a !b R

Следовательно, для реального газа второй вириальный коэффициент ра­ вен нулю В{Т) = 0 при Тв = а / bR .

Если температура стремится к бесконечности Т—> ©о, то В(Т) = Ь ^ О,

так как уравнение Ван дер Ваальса является приближенным. Зависимость второго вириального коэффициента В(Т) от температуры для реального газа и для газа Ван дер Ваальса показана на рис. 1.13.

42

В(Т)

Рис. 1.13. Зависимость В(Т) от Т: 1 - для реального газа, 2 - для газа Ван дер Ваальса.

7. По уравнению Ван дер Ваальса давление будет равно:

Откуда Ь = 4 - 0,245 = 3,755 л-моль'1 9. По уравнению Ван дер Ваальса имеем, после подстановки данных за­ дачи:

Откуда Т= 507,4К.

10. По формулам, связывающим константы с критическими параметрами, рассчитываем VK, Рки Тк :

43

ГЛАВА 2. ПЕРВЫ Й ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ, ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ, ТЕПЛОТА И РАБОТА

2.1.Теплота

2.1.1Решение задач

1.Уравнение первого закона термодинамики, учитывающее только рабо­ ту расширения и внутреннюю энергию, имеет такой вид:

Полный дифференциал от внутренней энергии равен сумме частных про­ изводных:

Перекрестные производные от коэффициентов перед дифференциалами имеют вид:

Эти перекрестные производные не равны друг другу, так как производная

г д Р \

ференциала, а определяет малое, но конечное изменение теплоты.

44

2. Отношение времени испарения нагретой жидкой воды за время Т2 и Т\, умноженное на разность температур

3. При быстром вакуумировании сосуда с небольшим количеством жид­ кой воды она охлаждается с выделением теплоты при ее замерзания в ко­ личестве <7i = 333,79 Дж-г' 1 Необходимо отметить, что при замерзании т\ г жидкой воды за счёт этой теплоты произойдет испарение жидкой воды в количестве пъ с теплотой испарения cj2 = 2255,8 Дж-г’1, при поглощении энергии в форме теплоты в количестве my cj2.

По закону сохранения имеем равенство:

mlql = m2q2.

Откуда выделяем m2:

Яг

Общее количество испарившейся воды будет равно:

Подставив (2) в (1), получаем:

Я\+Яг

Подставляем численные значения параметров в (3), получим:

4. По первому закону термодинамики изменение внутренней энергии бу­ дет равно:

Д и = QP - p(v2 - V,) = 200 -101333(0,026 - 0,02) = -407,99 Дж.

Следовательно, процесс можно отнести к иесамопроизвольному,так как затраченная работа выше подведенной теплоты.

45

5. Теплоту изохорного процесса, связанного с повышением давления в системе, рассчитывают по формуле:

nCvT\

Qv =-

2 8 - 5 /2 - 8 ,3 1 4

.300 (.303990 - 1 0 1 3 3 0 ) 300 = 135,31 Д ж .

РV,

=4 3 2 9 ,9 Дж .

Теплота выше нуля, процесс относится к эндотермическому.

7. Теплоту изохорного процесса можно рассчитать по уравнению:

Q = nCv{Т2 - Тх) = • 3/ 2 • 8,314(400 - 300) = 31177,5 Дж.

Теплота имеет положительный знак и определяет, что подвод теплоты к ёмкости с Не является несамопроизвольно протекающим процессом.

8. Давление газа при Т = 600 К можно определить по формуле Шарля:

Теплота Qy, затраченная на нагрев 0,03 м3 азота, определится по уравне­ нию:

46

Qv = !^ { P 2- P l) = nCv {T2- T l) =

M

= 1,339 • 20,785 (600 - 273) = 9100 Дж.

По закону Клапейрона-Менделеева рассчитываем число моль азота:

Для нормальных условий число моль азота и теплоумкость можно рас­ считать по выражениям:

Cv = 5/2R = 2,5 • 8,314 = 20,785 Дж-моль^-К'1

9. Теплоту, выделяющуюся (самопроизвольный процесс) при изотерми­ ческом сжатии (несамопроизвольный процесс) СН4 от объёма V\ = 0,05 м3 до объёма V2 = 0,005 м3 при Т = 300 К можно рассчитать по уравнению:

Qv =nRT\г Д .

*I

По формуле Клапейрона-Менделеева рассчитываем число моль метана в ёмкости:

Теплота, выделяемая резервуаром, будет равна:

10. Теплота, подводимая к резервуару с газообразным пропаном (несамо­ произвольный процесс) при Т = 298 К, обеспечивает увеличение объёма газа от V)= 0,1 м5до V2=0,85 м3 (самопроизвольный процесс), может быть рассчитана по уравнению:

47

Ср — Cv / у = 6,955/1,4 = 4,9678 кал-моль'1-К'1

По уравнению Майера находим R:

R = 6,955 - 4,9678 = 1,987 кал-моль'1-К'1

Отсюда связь между кал и Дж находится по выражению:

. Я’ 8,314 . 10/1тт

R1,987

12.По закону Шарля определяем конечное давление:

Количество затраченной на нагрев теплоты (несамопроизвольно проте­ кающий процесс) будет равно:

13. Теплоту можно определить по формуле:

Откуда получим следующее уравнение:

Число моль аргона будет равно:

п = 2,229 моль.

По формуле для нормальных условий число моль равно:

49

14. Теплота не является в общем случае функцией состояния, а является функцией пути, функцией линии. Поэтому изменение теплоты обознача­ ется с помощью символа SQV, а производная может быть представлена в

таком виде: (SQV 1 д Т \ = Cv .

Изменение внутренней энергии не зависит от пути проведения процесса, а зависит от начального и конечного состояний системы, она является однозначной, конечной и непрерывной функцией состояния, а полный дифференциал от внутренней энергии равен сумме частных производных:

Следовательно, для внутренней энергии можно получить частную произ­ водную от переменных дифференцирования в форме Су :

15. При постоянном объёме стенки резервуара являются жёсткими и ве­ щество не перемещается за пределы резервуара при его нагревании.

При V = const, подведенная к рабочему телу теплота расходуется на уве­ личение запаса его внутренней энергии:

Qv =Д U

Тогда изменение внутренней энергии рассчитывают по формуле:

Д и = пСу (Т2 - Г ,) = ■12,471 • (800 - 400) = 24731,7 Дж.

При Р = const, в резервуаре с движущимися стенками, теплота определит­ ся по уравнению:

QP = п С р{Т2 ~ r i) = ^ j y -2 0 ,7 8 5 -(8 0 0 - 4 0 0 ) = 412 1 9 ,6 Дж,

CP = C V + R = 3 I 2 R + R = 20,785 Д ж м оль'-К '1

Работу, производимую рабочим телом при Р = const, можно рассчитать по первому закону термодинамики:

W = Q P - A t / = 4 1 2 1 9 ,6 -2 4 7 3 1 ,7 = 16487,9Дж. Работу также можно рассчитать по формуле:

50