книги / Прочность и колебания элементов конструкций

Из формул (5) и (6) следует, что в случае шкивов с равными моментами инерции для вычисления числа колебаний нужно к моментам инерции шкивов прибавить по одной шестой от момента инерции вала и дальше вести расчет по тем же формулам, как и для невесомого вала.

Посмотрим, как нужно видоизменить это правило на случай шкивов с неравными моментами инерции. Подставим в формулу (4) вместо 1и /2 и л их выражения через 0! и 02. Тогда получим

Мы видим, что /V* отличается от л2 (см. формулу (3)) только тем, что вместо множителя

01 + 02

0102

входит множитель

01 + 02Г1 (Оо (01 — 0102+ 82) 010а L 3 (0!+ 02) 0102

Пока /0Омало по сравнению с 0i и 02, мы будем с достаточной точностью иметь

Момент инерции самого вала относительно его оси будет

/00=1667-3600 кгсм\

Пользуясь приведенными данными, мы для сравнения подсчи­ таем число собственных колебаний в трех предположениях:

1)совершенно пренебрежем массой вала;

2)проделаем вычисления так, как рекомендует Г. Лоренц, т. е. разделим момент инерции вала пополам и полученные части при­ бавим к моменту инерции гребного винта, с одной стороны, и дви­

жущихся частей паровой машины — с другой; 3) решим ту же задачу, распределив момент инерции вала так,

как нами было выведено выше.

Чтобы сравнить, насколько близки к истине полученные по этим трем способам результаты, мы в дальнейшем точно определим число колебаний, соответствующих выбранному валу.

0; = 02 + ^-° = (18 000 + 833) -3600 = 18 833 • 3600 кгсм*;

на основании этого Г. Лоренц определяет число колебаний

30 л /~880 000-147 324-29 417-3600-981 = 309,3 колебания в минуту. П~*ИУ 5000-10 583-18 833-(3600)23

3) При распределении момента инерции вала по формулам (7) будем иметь

Как мы увидим ниже, более точное вычисление дает для числа колебаний в минуту значение п=314,9.

Из этого примера видно, что, распределяя момент инерции вала по формулам (7), получаем результаты с точностью, вполне доста­ точной для практических целей.

§ 6. Точное определение периода свободных колебаний вала, на концах которого имеются шкивы

В тех случаях, когда моменты инерции шкивов 0t и 02 суть величины одного порядка с моментом инерции вала /0О, мы не можем пользоваться ни одной из приближенных формул, выведенных в §§ 4 и 5, и для решения вопроса о периодах свободных колебаний нужно исходить из уравнения, выведенного в § 4 для цилиндриче­ ского вала:

(1)

Мы займемся случаем основного тона и для удобства поместим начало координат в узловой точке. Частное решение уравнения (1) возьмем в форме

Из того условия, что значение ф, определяемое формулой (2), должно удовлетворять уравнению (1), найдем зависимость, которая должна существовать между а и р:

Теперь постараемся для а найти такое значение, чтобы удовле­ творить условиям на концах вала. Прилагая начало Даламбера, мы найдем, что к концам вала приложены моменты

обусловленные силами инерции вращающихся шкивов.

Как мы видели в § 4, момент внутренних сил для какого-либо поперечного сечения вала может быть представлен формулой

Положим по формуле (8) /t = 5000 18 ^ ^ g 195 = 3214 см. Под­

ставляя U в первое уравнение, найдем

lg а = 4 ,00453.

Соответствующее число колебаний будет

«=314,1 колебания в минуту.

После ряда последовательных подстановок получим

lg а = 4 ,00560.

Этому значению а соответствует

71=314,9 колебания в минуту.

Зная а, можно вычислить и напряжения, которые имеют место в валу во время колебаний. Для наибольших касательных напряже­ ний в любом поперечном сечении вала будем иметь

Величину А придется определить из наблюдений.

§ 7. Рассмотрение случая вала с тремя шкивами

Исследование вопроса о колебаниях вала нередко осложняется тем, что кроме сосредоточенных масс по концам имеется еще шкив в одном из промежуточных сечений вала. Такое расположение имеется, например, в случае паровой машины, приводящей в дви­ жение якорь динамомашины. На одном конце помещается якорь, на другом кривошип паровой машины, а в одном из промежуточных сечений располагают маховое колесо, которому для обеспечения равномерности хода машины нередко придают довольно значитель­ ные размеры. Мы в дальнейшем займемся только тем случаем, когда момент инерции вала мал и им можно пренебречь без большой по­ грешности. Тогда задача сведется к исследованию колебаний си­ стемы трех шкивов, соединенных невесомым упругим валом одно­ образного кругового сечения.

Пусть АВ (рис. 8) будет рассматриваемый вал. Назовем через lt и 1г расстояние между срединными плоскостями шкивов. Через

48 К. ВОПРОСУ О ЯВЛЕНИЯХ РЕЗОНАНСА В ВАЛАХ

01, 0а, 03 назовем моменты инерции масс шкивов относительно оси вала. При определении момента инерции 0Ь соответствующего кривошипу паровой машины, нужно кроме массы кривошипа при­ нять во внимание влияние инерции шатуна и поршней. Влияние это переменное и при расчетах для упрощения полагают, что половина массы шату­ на и поршней сосредоточе­

на в пуговке мотыля.

На шкив А непосред­ ственно передается от ма­ шины касательное усилие S, момент которого относи­ тельно оси вала будет Sr. Шкив В соответствует яко­

рю динамомашины, к нему приложены сопротивления, момент ко­ торых относительно оси вала назовем через Wr. К шкиву С ни­ каких внешних сил не приложено.

Назовем через фь фа, ф3 переменные углы поворота, соответст­ вующие шкивам А, С и В.

Живая сила системы напишется так:

(1)

Для модуля упругости и момента инерции поперечного сечения вала сохраним прежние обозначения G и Jp. Тогда момент внут­ ренних сил упругости по сечению I — I будет

Подобным же образом для сечения II — II будем иметь

, , GJP

—i-- (Ф*--- Фз). (3)

На основании формул (2) и (3) мы можем написать следующее выражение для потенциальной энергии системы:

На основании (1) и (4) напишем систему уравнений движения

50 К ВОПРОСУ О ЯВЛЕНИЯХ РЕЗОНАНСА В ВАЛАХ

Уравнения (11) и (12)—линейные с постоянными коэффициен­ тами, и решение их не представляет никаких затруднений. Так как они совершенно одинаковы по форме, то ограничимся рассмотрением только уравнения (11).

Соответствующее однородное уравнение без последнего члена

Полагая z=ert, для определения г будем иметь r*+ (a+b)r2+ab—cd=0,

откуда

Г = ± У ~ Ц ± ± У ( а~ ¥ ) г- а Ь + cd.

Нужно показать, что все четыре корня — мнимые.

В самом деле, выражение, стоящее под вторым корнем,— вели-

( а+ Ьу

чина положительная и всегда меньше, чем1 —g—J , так как

-а Ь + cd = (!= * )•+ Ы

И

ab—cd>0.

Последнее нетрудно доказать, если вместо а, Ь, с и d поставить их значения из (8):

выражение, заключенное в скобки, равно

(0, + 02-)-03)

и, следовательно, всегда больше нуля. Из всего этого следует, что всегда

Положим