книги / Прочность и колебания элементов конструкций

Вторая формула, очевидно, даст для толщины стенки величину на 7% меньшую, нежели первая формула.

Третья гипотеза даст такое условие прочности:

В нашем случае это условие эквивалентно условию (1):

2pi^.Ri.

Случай толстостенной трубы. Пусть г0 и гх — наружный и внутренний радиусы трубы, р0— величина внутреннего давления.

Рассмотрим случай, когда деформация по направлению оси трубы равна нулю. Тогда тангенциальное и радиальное главные напряжения в какой-либо точке будут

тPor\ (r2+ r l ) ____

гЧ П - r t )

Через г мы обозначаем переменное расстояние рассматриваемой точки до оси трубы. Третье главное напряжение параллельно оси трубы, по величине занимает среднее значение между т и R и по­ тому в условия прочности не войдет.

Наиболее напряжен материал стенки по внутренней поверхно­ сти трубы, т. е. при r=rlt Формулы (1) в этом случае нам дают

Если вести расчет трубы на основании первой гипотезы, то условие прочности будет

Ро (г1~\-Го)

При заданном внутреннем радиусе гх и заданном давлении р0 наружный радиус трубы и толщина стенки б определятся по фор­ мулам

Когда внутреннее давление достигает величины допускаемого напряжения, выполнение трубы становится невозможным, так как наружный радиус, определяемый на основании формулы (2), получает значение, равное бесконечности.

Положив в основание расчета вторую гипотезу, мы при коэф­ фициенте поперечного сжатия &=1/4 будем иметь условие проч­ ности *)

Для определения наружного радиуса трубы и толщины стенки получим формулы

Предельное давление, при котором исполнение трубы стано­ вится невозможным, будет

р0= 0,8^ 1,

т.е. на 20% меньше, нежели в случае расчетов на основании фор­ мулы (2).

По третьей гипотезе разность между наибольшим и наименьшим напряжениями не должна превосходить определенной величины. Условие прочности в этом случае будет

или

(5)

го— Г1

Наружный радиус и толщина стенки будут

Предельное давление в этом случае будет, очевидно,

Нетрудно видеть, что толщина стенки, определяемая на осно­ вании формулы (6), будет всегда больше, нежели в обоих преды­ дущих случаях. Когда p0= 0,2x1, то формулы (2) и (4) дают для толщины стенки одну и ту же величину:

б = ^ 0/175 — 0 = 0,22/4.

Формула (6) в данном случае нам дает величину

S= r t ( | ~ l ) =0,29r1,

т.е. величину на 30% большую, нежели формулы (2) и (4).l

l)L о v е А. Е. Н. A treatise on the mathematical theory of elasticity. Cam­ bridge, University Press, vol. 1, 1892, 354 p. CM . p. 226.

Вставляя эти величины в уравнение (2), найдем радиус любого предельного главного круга

„az+ a*

Вслучае чугуна можно положить

*2= 4*!.

Следовательно,

COS(P = F*2T+ F*1 = 0>6-

Из рис. 7 нетрудно видеть, что

т0sin ф = ОС = -^-(1 -t-coscp) = 0,8*!.

Всилу этого, уравнение предельной прямой для чугуна напи­ шется так:

acosq>+Tsin<p—0,8*i=0. (3)

Применим все сказанное к некоторым случаям сложного сопро­ тивления.

Чистый сдвиг. Определим величину напряжений, соответствую­ щих разрушению при чистом сдвиге. Для этого нужно построить соответствующий предельный круг. Так как в случае чистого сдви­ га az= —ах, то, очевидно, центр предельного круга совпадет с началом координат О (см. рис. 7).

Радиус ОС этого круга, очевидно, и даст искомое предельное напряжение. Называя предельное напряжение при сдвиге через *3, мы на основании предыдущего можем написать

*з= 0,8*i.

Допускаемое напряжение при сдвиге, очевидно, будет /?3= 0,8i?i.

В случае расчета вала кругового сечения, к которому приложен скручивающий момент М, будем иметь

Для определения диаметра получим уравнение

™ = R, = 0,BR„

откуда

d3 = 5RiМ•1,25.

96 ФОРМУЛЫ СЛОЖНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ

Эта формула совпадает с тем, что дает теория наибольших рас­

При полученных из уравнения (5) размерах труба будет в пре­ дельном напряженном состоянии, если внутреннее давление сде­ лается равным р0. Так как допускаемые напряжения гораздо ниже предельных, то для практических расчетов в уравнение (5) придется вместо величины хх — предельного напряжения при растяжении — поставить величину Rx. Тогда наружный радиус трубы и толщина стенки определятся из формул

Случай изгиба и кручения. Сохраняя обозначения § 8, будем иметь для определения главных напряжений выражения

аг = ^ ( М + У Ш + Щ ), ax = -§r{M -V M * + M $.

Диаметр предельного круга для этого случая напряженного состояния будет

ог- о х = £ у М * + М\.

Координаты центра предельного круга:

, _ о£+ о£ _5/И

т' = 0.

2 — <р '

Подставляя эти величины в уравнение предельной прямой, будем иметь

7? cos ф— 0,8*, = - 1 VM* + M\.

Для определения прочных размеров вала вместо х, подставляем прочное сопротивление растяжению R t:

= 0,375Af + 0,625 V W + Щ ,

Эта формула совершенно совпадает с тем, что дает гипотеза наибольших растяжений при fe=l/4.

Таким образом, задача об определении дополнительных напря­ жений в стержне i — k сводится к определению углов mih, <рь <ph.

Углы ыik определяются одним из обычных методов, применя­ емых к определению перемещений шарнирной фермы. Углы же ,

определяются из условий равновесия отдельных узлов. Условия эти приводят нас к системе линейных уравнений вида

здесь суммирование распространено на все стержни, сходящиеся в узле t.

Раз углы <р определены, вычисление изгибающих моментов по формулам (1) и соответствующих им дополнительных напряжений не представляет никаких затруднений.

§ 2. Уравнения и их решение

Что касается первого из допущений, на которых построена приближенная метода определения дополнительных напряжений, то оно подробно рассмотрено в известной работе Е. Ю. Пистолькорса х), там же дана общая метода для определения дополнитель­ ных напряжений и численный пример, относящийся к пространст­ венному покрытию системы Фёппля.

Несколько численных примеров на основании той же методы сделано в статье Г. П. Передерия *).

На основании этих исследований возможно установить те пре­ делы, в которых пользование первым основным допущением дает для дополнительных напряжений результаты, довольно близкие к действительности. Мы переходим ко второму допущению и по-

!) П и с т о л ь к о р с Е. Ю. Расчет ферм с жесткими узлами на основании принципа работы связей. С.-Петербург, Институт инженеров путей сообщения, 1903, отдельный оттиск, стр. 38.

а) П е р е д е р и й Г. П. Влияние жесткости узлов на усилия и напряжения в частях ферм. Москва, Университетская тип., 1904, стр. 100.