книги / Теория и расчет авиационных лопаточных машин

!>пс. 2.8. Схемы к учету концевых потерь при определении работы ступени комnpeccopa (а) и турбины (б)

Для того чтобы установить связь между работой сжатия (расши­ рения) в полной ступени и в ее элементарных ступенях, рассмотрим последовательно схематичное изображение характера течения в сту­ пени компрессора (рис. 28, а) и ступени турбины (рис. 2.8, б).

Баланс расхода воздуха через ступень компрессора

где G — расход через межлопаточные каналы рабочих колес; G3a3 — обратные (от выхода ко входу) протечки через радиальный зазор.

Баланс мощности

подводимая к воздуху в межлопаточном канале колеса; Nf — мощ­ ность, затрачиваемая на трение вне каналов, в том числе на трение диска РК о газ.

Компрессоры современных ГТД часто проектируются так, что теоретическая работа (напор), сообщаемая воздуху, на всех радиу­ сах межлопаточного канала одна и та же, т. е. Ят ^ const (по ра­ диусу). Следовательно, величина Нтв этом случае может рассматри­ ваться как величина работы подведенной к единице расхода воздуха через межлопаточный канал, т. е. N -- # TG. Тогда, деля почленно уравнение (3.71) на расход воздуха через ступень и учитывая (3.70), получим

51

Величина L3a3 = ЯтСзаз/0в может рассматриваться как потер! обусловленная радиальным зазором над РК, в котором происходи диссипация (рассеяние) энергии, полученной массой газа, происходя щей через зазор при ее предварительном прохождении РК (см рис. 2.8, а). Подобное представление является весьма условным в дальнейшем будет показано, что потери в радиальном зазоре имек>

более сложный характер, особенно в лопатке без бандажа. Таким об­

складывается из теоретического напора ступени, потерь в радиальнощ

где G — расход газа через межлопаточный канал, в котором совер­ шается передача мощности от потока вращающемуся РК; G3a3 —- протечка через радиальный зазор газа, не совершающего полезной работы на лопатках колеса.

Соответственно баланс мощности

лопаточных каналах колеса; N f — мощность, затрачиваемая на тре­ ние вне каналов, в том числе на трение диска РК о газ.

Турбины современных ГТД обычно проектируются так, что тео­ ретическая работа элементарных ступеней, расположенных на раз­ личных радиусах проточной части, одна и та же, т. е. L u — const, (по радиусу). Следовательно, величина Lu в этом случае может рас­ сматриваться как теоретическая работа ступени в целом, т. е. работа, совершаемая единицей массы газа, прошедшей через межлопаточный

обусловленная радиальным зазором над лопатками РК, так как газ, прошедший зазор, не совершил полезной работы. Подобное представ­ ление весьма условно и в дальнейшем будут детально рассмотрены процессы, приводящие к потерям в радиальном зазоре, и способы их уменьшения, получающие в настоящее время все более широкое применение.

Таким образом, работа ступени турбины (LT. ст), т. е. работа еди­ ницы расхода с учетом всех газодинамических потерь, равна теоре­ тической работе газа в межлопаточном канале за вычетом потерь

52

с. 2.9. Схемы распределения пол- ,,’ii энергии по высоте (радиусу меж-

,PilaIочного канала с относительно шнными (а) и относительно корот-

11Ми (б) лопатками ((Ег) — осред- 01п1ое значение)

радиальном зазоре (Ьзнй) и югерь на трение вне межлопа- ,очных каналов (L/).

Приведем исходную клас­ сификацию отдельных составIяющих потерь, непосредствен­ но следующую из принятой иерархии расчетных моделей юпаточной машины.

Таким образом, отметим, прежде всего, что газодинамические поюри в проточной части лопаточной машины целесообразно подраз­ делять на потери в межлопаточных каналах и потери вне каналов — концевые потери, которые, как было показано выше, условно подраз­ деляются на потери в радиальном зазоре и потери на трение рабочего чела вне межлопаточных каналов, включая потери на трение диска.

Целесообразное членение потерь в межлопаточных каналах по­ казано на рис. 2.9. Распределение полной энергии за кольцевым лопаточным венцом с относительно длинными лопатками (рис. 2.9, а) Е 1 (при Е 0 const) указывает, что в средней части лопаток (прямо­ линейный участок а—а) имеют место потери, характерные для обте­ кания безграничного (по размаху) профиля Д £ Проф* Эти потери, как известно, складывающиеся из потерь на трение и вихреобразование в пограничном слое, из кромочных потерь, образующихся при сме­ шении на выходной кромке потоков, сходящих с выпуклой и вогнутой сторон профиля, и волновых потерь (при около- и сверхзвуковых ско­ ростях). Кроме этих потерь в канале конечной радиальной протяжен­ ности возникают специфические потери у радиальных границ ка­ нала — вторичные потери. Как будет показано далее, они обуслов­ лены трением на радиальных границах канала и специфическими циркулярными течениями. Если осреднить распределение полной энергии за межлопаточным каналом (см. рис. 2.9, а), то можно ука­ зать величину вторичных потерь энергии (Д £вт) и осредненные («размазанные») по радиусу суммарные потери энергии в канале

(Д £ Кан)* В каналах с короткими лопатками (рис. 2.9, б) происходит смы­

кание вторичных течений, т. е. отсутствует область течения, где проявляются только профильные потери. В этом случае можно указывать только величину осредненных («размазанных») по радиусу потерь в межлопаточном канале в целом. Их называют в этом случае канальными потерями.

Соответствующая описанному членению потерь классификация приведена на рис. 2.10. Подчеркивая еще раз условность подобного членения, отметим тем не менее и его соответствие рассмотренной

53

Рис. 2.10. Классификация потерь в проточной части лопаточной машины

внастоящей главе классификации (иерархии) расчетных моделей ло­ паточной машины.

Одномерная модель предполагает использование данных о сум­ марных газодинамических потерях в ступени лопаточной машины без их деления на составляющие. Двухмерная модель (теория эле­ ментарной ступени) предполагает использование данных о профиль­ ных потерях (для элементарных ступеней, где заведомо не сказы­ вается влияние вторичных потерь), или осредненных по радиусу данных о потерях в канале (профильных и вторичных). Трехмерная модель в общем виде предполагает использование данных о распре­ делении потерь по радиусу проточной части. Как отмечалось выше,

вкаждой модели возможны различные упрощения и допущения.

Подобное членение потерь на составляющие соответствует при­ нятым способам их опытного определения. Наиболее достоверные данные о суммарных газодинамических потерях в ступени полу­ чаются при испытании ступеней на полноразмерных опытных стен­ дах, имитирующих реальные условия работы ступени. Они включают в себя в этом случае и неуказанные в классификации (см. рис. 3.10) дополнительные потери, обусловленные спецификой работы ступени— нестационарность потока, действие центробежных сил в погранич­ ном слое на вращающихся лопатках и др.

Данные о потерях в межлопаточных каналах получаются обычно в результате продувок лопаточных венцов или сегментов в специаль­ ных аэродинамических трубах с траверсированием потока по радиусу различными измерителями параметров.

Наиболее просто получаются данные о профильных потерях — продувками плоских прямых решеток с достаточно длинными лопат­ ками. Для практического использования в каждом конкретном слу­ чае исследования или проектирования машины следует выбирать наиболее простую модель, обеспечивающую тем не менее необходи­ мую точность расчетных результатов. Необходимо проверять соот­ ветствие опытных и расчетных данных — проводить идентификацию

54

,дели. При использовании любой модели необходимо четко пред-

,являть себе допущения, сделанные при ее введении, ее возхможности недостатки.

Г л а в а 3

ПОДОБИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ В ТЕОРИИ ЛОПАТОЧНЫХ МАШИН

3.1.Необходимые сведения из теории подобия

иразмерностей

В теории лопаточных машин широко используется модепрование различных явлений, происходящих и в отдельных вен­ ах, и в многоступенчатых турбомашинах. Как известно, моделироание есть замена рассматриваемого реального процесса изучением аналогичного явления на модели, как правило, меньшего размера. Основной смысл моделирования заключается в том, чтобы по реультатам опытов с моделями можно было дать ответ о характере эффектов, связанных с явлениями в натурных условиях.

В большинстве случаев моделирование основано на рассмотрении физически подобных явлений. Использование теории подобия и размерностей позволяет сократить число параметров, от которых зависит изучаемое явление.

Прежде всего различают размерные и безразмерные величины. Например, длина, время, масса, сила и так далее являются раз­ мерными величинами, а, например, отношение одноименных вели­ чин — безразмерная величина. Безразмерная величина может яв­ ляться комбинацией и большего числа размерных величин.

Различные физические величины связаны между собой опреде­ ленными соотношениями. Если некоторые из этих величин принять за основные и установить для них единицы измерения, то единица измерения всех остальных величин будет определенным образом выражаться через единицы измерения основных величин. Говорят, что величины имеют независимые размерности, если их размер­ ности нельзя выразить в виде произведения размерностей других величин в некоторых степенях. Например, при решении задач меха­ ники оказывается, что достаточно установить единицы измерения для трех величин: длины L, времени / и массы т.

Выражение произвольной единицы измерения через основные называется размерностью. Например, размерности скорости с, ускорения а, плотности р, давления р и энергии Е имеют следующие

ниц измерения основных величин может быть представлена в виде формулы размерности. Общий вид этой формулы устанавливается в теории размерностей на основе совершенно ясного физического ус­

55

ловия: отношение двух численных значений какой-либо производноя величины не должно зависеть от выбора масштабов для основных единиц измерения. На основе этого условия устанавливается [45] что формула размерностей в общем случае должна иметь вид степен­ ного многочлена:

Напомним дополнительно некоторые положения теории подобия: два явления подобны, если по заданным характеристикам одного мож­ но получить характеристики другого простым пересчетом, который аналогичен переходу от одной системы единиц измерения к другой.

Для осуществления пересчета необходимо знать масштабы. Чис­ ленные характеристики для двух различных, но подобных явлений, можно рассматривать как численные характеристики одного и того же явления, выраженных в двух различных системах единиц измере­ ния. Для всякой совокупности подобных явлений все безразмерные характеристики имеют одинаковые численные значения. Обратное утверждение также справедливо, т. е. если все безразмерные ха­ рактеристики для двух явлений одинаковы, то они подобны. Итак, необходимым и достаточным условием подобия двух явлений будет равенство численных безразмерных комбинаций, называемых кри­ териями подобия. Это, например, значит, что если нам известны г\£ и я* в каком-нибудь компрессоре, то в другом, но геометрически по­ добном, эти значения будут такими же, как и в первом, если их брать при одинаковых значениях критериев подобия.

Выбор величины безразмерных комплексов—критериев подо­ бия — устанавливается на основании так называемой П-теоремы теории размерностей. Смысл и формулировка П-теоремы заключается в следующем. Изучая какой-либо процесс, например, процесс в ком­ прессоре или турбине, мы можем из физических соображений выде­ лить п параметров, влияющих на этот процесс. Пусть мы изучаем

Из выбранных п величин можно выделить k параметров с незави­ симой размерностью.

На основании формулы размерностей (3.1) можно определить размерности п— k величин ап+1 ... ап и а через величины с независимой размерностью и составить следующие безразмерные комбинации:

(3.3)

56

! 1ользуясь произволом выбора масштабов, установим систему еди- 111н измерения так, чтобы значения первых k аргументов в правой lacTii (3.3) равнялись единице.

Тогда зависимость (3.2) будет с учетом (3.3) равносильна зависи­

[де все входящие величины безразмерны.

Итак П -теорема формулируется следующим образом: из общего числа п параметров можно образовать только п—k независимых без­

размерных комплексов или критерия подобия.

Необходимое и достаточное условие подобия двух явлений за­ ключается в равенстве этих безразмерных комбинаций критерия

Прежде чем переходить к определению критериев подобия для процессов в компрессорах и турбинах, рассмотрим простой пример,

вкотором покажем применение основных положений теории подобия

иразмерностей. Рассмотрим течение невязкой сжимаемой жидкости через НА компрессора или СА турбины. Примем в качестве опреде­ ляющих параметров (av а2, ... ап) четыре: характерный размер аппа­ рата (например, хорду профиля 6), скорость с, давление р и плот­ ность р. Имеем три единицы с независимой размерностью: размер /, время t и масса т. Размерности определяющих параметров через ос­ новные единицы измерения: b в м; с в м/с; р в Па; р в кг/м3.

Для определения вида этой безразмерной комбинации воспользуемся формулой размерности (3.1). Поскольку критерий подобия выра­

из показателей может быть выбран произвольно. Принимая е — 1,

ное выражение для скорости звука а2 =- kp!р, получим окончательно AM2 const. Отметим, что вид критерия подобия зависит от выбора определяющих параметров. Так, если в качестве определяющих па­ раметров выбрать хорду Ьу скорость с и теплосодержание i y то анало­

компрессора, то в другом геометрически подобном аппарате все параметры будут такими же, если числа М и k порознь будут одина­ ковыми.

57

Включая в уравнение размерностей все физические параметры:

Рг. Критерий Прандтля характеризует физические свойства ра­ бочего тела и не зависит от параметров потока. Критерий Прандтля очень важен при изучении процессов теплопередачи и представляет собой отношение двух величин, характеризующих свойства, связан­ ные с переносом импульса (вязкости) и переносом тепла (теплопро­ водность).

Таким образом, использование теории размерностей позволяет записать следующие зависимости для основных безразмерных пара­ метров, характеризующих процессы в лопаточных машинах (компрес­

Соотношения (3.5) дают представления характеристик лопаточ­ ных машин в критериальной форме. По сравнению с зависимостями rf и л*, записанными для размерных определяющих параметров, ко­ торых было одиннадцать, число критериальных параметров сокра­ щено на четыре. Но и эти зависимости достаточно громоздки, поэтому попытаемся их упростить.

Обычно для течений в лопаточных машинах влияние гравитацион­ ного поля невелико, поэтому из зависимостей (3.5) можно исключить число Фруда Fr. Число Прандтля существенно зависит от атомности газа (одноатомный Рг ^ 0,67, двухатомный Рг = 0,72, трехатом­ ный Рг = 1,0). Поскольку характеристики лопаточных машин рас­ сматриваются для определенного газа, число Рг можно считать по­ стоянным и не включать его в число критериев подобия в данном случае. В теории подобия существует довольно широкий класс так называемых автомодельных процессов, когда число определяющих параметров можно уменьшить на один. Экспериментальные исследо­ вания компрессоров и турбин показывают, что их параметры зависят от числа Re немонотонно: начиная с некоторого числа Рейнольдса наступает так называемая область автомодельности по числу Re, когда параметры лопаточных машин от него не зависят. Имея в виду область автомодельности, можно Re не включать в число определяю­ щих параметров и далее упростить зависимости (3.5).

Величина П3 = k = cp/cv существенно зависит от температуры. При больших значениях степени повышения полного давления в мно­ гоступенчатых компрессорах или больших степенях понижения пол­ ного давления в высоконагруженных турбинах нельзя не считаться с изменением k. Однако при малых и умеренных значениях л£ и л? можно упрощенно не учитывать критерий k в числе определяющих параметров лопаточной машины.

Мы рассмотрели условия подобия для установившихся процессов в лопаточных машинах. В общем случае неустановившегося движе-

59

ния необходимо в число определяющих параметров включать время ^ которое представляет собой переменную величину. Если Ьу с и i суть характерные размер и скорость в рассматриваемый момент времени, то подобные движения определяются безразмерной комби­ нацией b/(ct)y которую можно рассматривать как безразмерно© время. Если неустановившееся движение представляет собой неко­ торое колебание с определенной формой и частотой со [с-11, то таб­ лица определяющих параметров должна быть дополнена величи­ ной со. Вследствие этого в качестве безразмерного определяющего параметра добавляется комбинация Sh = соЫс, называемая числом Струхаля.

Очень часто при исследовании компрессоров и турбин прежде чем построить натурные образцы создают модели меньшие по раз­ меру, чем натурные, но обязательно геометрически подобные. Имея в виду выполнение условий геометрического подобия, можно выпи­ сать наиболее сильно влияющие на характеристики лопаточных машин факторы: число М и параметр ulc. С учетом сказанного харак­ теристики лопаточных машин представляются в виде зависимостей:

В соотношениях (3.6) можно рассмотреть другие безразмерные комбинации определяющих параметров, не изменяя их числа.

Так, вместо числа М можно использовать приведенную скорость X или газодинамическую функцию q (Л), которая характеризует расход рабочего тела. При k = const величины М Д и q (Л) однозначно свя­ заны, что и определяет возможность их использования в рассматри­ ваемом случае.

Если мы разделим числитель и знаменатель параметра и!с на скорость звука или критическую скорость, то получим еще два кри­ терия, которые можно использовать вместо параметра и!с:

Поскольку параметры Мс или Хс нами уже учтены при использовании критерия q (Я), то зависимости (3.6) примут вид

« * = П « ( Ч Л , 1 - 1

Легко показать, почему параметр ы!с или Хи называются параметрами кинематического подобия. При постоянстве и!с или Хи и при соб­ людении подобия по числам М и геометрического (углы ах и в аб­ солютном и относительном движениях) сохраняется подобие треуголь­ ников скоростей. В самом деле для входного треугольника можно записать известное соотношение: w\ — с\ + и\ — 2с\щ cos а\. По­ делив это соотношение на квадрат скорости звука, будем иметь:

60