книги / Проектирование бесконтактных управляющих логических устройств промышленной автоматики
..pdfконов достаточно показать тождественность выражений, образующих левую и правую стороны доказываемого соотношения при всех наборах переменных, принимающих значения 0 или 1. Ниже приведены при меры доказательств.
Закон |
де Моргана (1-22). Для доказательства построена совмещенная таблица |
||
истинности |
(табл. 1-5). |
1-6). |
|
Закон де Моргана (1-23) (табл. |
|
||
|
Та бли ца |
1-5 |
Т а бл и ц а 1-6 |
Совпадение значений обеих частей при одинаковых наборах переменных доказы вает справедливость этих законов.
Справедливость законов алгебры логики можно установить также путем рассмотрения контактных схем, соответствующих левым и пра вым частям равносильных выражений.
Номер |
Формула аксиомы |
|
Схема |
|
|
|||||
аксиомьj |
|
|
|
|||||||
1 |
|
' 0=1 |
|
|
|
|
— |
|
|
|
|
|
1=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
я=0 при аф 1 ; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
а = 1 |
при |
афО |
•Ч)Q©“ 0 в“ О— |
||||||
3 |
|
0 0=0; |
||||||||
|
~ - o * o - v |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1+1=1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
о, |
|
9 |
|
|
4 |
|
0+ 0= 0; |
J-O |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1-1=1 |
1 |
|
1 |
т |
||||
|
|
|
|
|
|
|
зз, |
|||
5 |
о |
1 |
.о |
|
—о0 |
1 |
|
|
||
|
7 |
о |
|
а |
|
|||||
|
сГ II |
о-=-о |
о» |
|||||||
|
|
|
|
|
—wi~~n- 0 |
|
|
|||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
о |
о |
JI |
|
|
|
|
|
|
|
II |
+ |
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а бл и ц а |
1-7 |
Словесная формулировка |
|
Существуют два взаимоисключающих |
со |
стояния схемы: |
|
разомкнутое 0 и замкнутое 1 |
|
Схема может находиться только в одном из двух возможных состояний
Разомкнутая схема, соединенная последо вательно с разомкнутой схемой, есть ра зомкнутая схема.
Замкнутая схема, соединенная параллель но с замкнутой схемой, есть замкнутая схе ма
Разомкнутая схема, соединенная парал лельно с разомкнутой схемой, есть разом кнутая схема.
Замкнутая схема, соединенная последова тельно с замкнутой схемой, есть замкнутая схема.
Разомкнутая схема, соединенная последо вательно с замкнутой схемой в любом поряд ке, есть разомкнутая схема,
Замкнутая схема, соединенная параллель но с разомкнутой схемой в любом порядке, есть замкнутая схема
21
Логические функции инверсии, конъюнкции и дизъюнкции естест венны и удобны для выражения свойств релейно-контактных схем с последовательно-параллельной структурой.
Для физической интерпретации законов алгебры логики посред ством релейно-контактных схем вводится следующая совокупность пра вил:
проводимость контакта или группы контактов равна 0 для разомкнутой цепи и равна 1 для замкнутой цепи;
элементы схемы обозначаются в соответствии со сказанным в § 1-2; последовательному соединению контактов соответствует конъюнк ция переменных, сопоставленных с этими контактами, а параллельному,
соединению, контактов — дизъюнкция переменных; замыкающему контакту сопоставляется переменная без инверсии
размыкающему контакту — инверсия переменной.
Иллюстрация аксиом контактными схемами приведена в табл. 1-7. Доказательства справедливости основных законов алгебры логики применительно к преобразованию контактных схем приведены в табл. 1-8. Между равносильными по действию схемами на рисунках указан знак равенства. Контактные структуры являются простым и удобным средством иллюстрации законов алгебры логики. Однако те же законы*, как будет показано в последующих главах, применимы и к структурам*,
построенным из бесконтактных логических элементов.
Понятие о принципе двойственности
Две функции алгебры логики называются двойственными, если одна получается из другой заменой каждой операции конъюнкции на операцию дизъюнкции и наоборот. Нетрудно заметить, нто почти всевышеприведенные законы алгебры логики обладают свойством двой ственности.
Например, для |
функции |
F(a, b ) — ab + ab двойственной является |
|
функция F*(a, |
b) = |
(a+ b) (a + b). |
|
Принцип |
двойственности |
формулируется так: если функции Fi и |
Fz равносильны, то равносильны и двойственные им функции F i* и Fz*.'‘ Следует отличать двойственные формы функции от инверсных
функций, которые получаются из исходных их инверсированием. При этом не только все операции заменяются на двойственные, но и все-
переменные заменяются их инверсиями. |
... .„ |
|
Например, дл я , функции F(a, b ) = a b + ab инверсной |
является |
|
функция F(a, b ) = a b + a b = ( a + b) (а+Б). |
|
|
Очевидно, что инверсная функция и двойственная форма |
функции |
|
связаны отношением |
|
|
F ( a , b ........w) — F* (a, |
b.........tw). |
|
Выше были изложены законы алгебры логики, основанные на логических опера циях инверсии, конъюнкции и дизъюнкции.
Рассмотрим справедливость коммутативного, ассоциативного и дистрибутивного законов алгебры логики для некоторых других логических функций, приведенных
втабл. 1-4.
1.Для функций стрелки Пирса и штриха Шеффера имеет место коммутативный
закон
а I b — b I a; ajb — b la , |
(1-33) |
2 2
Форнула аакона
0-я=0;
0-я& . . . а>=0;
О-f-й= я
1 •а=а;
1+я=1;
S+a+й-Ь . . . |
1 |
яя=а;
т . . . й= я;
й+ й= й;
. - . -}-й=й
ла=0;
й+й==1
а = а
ab= ba; а+ Ь = Ь + а
a(bc)=(ati)c;
й + ( 6 + с) = ( й+ 6 ) + с
Т а б л и ц а 1-8
Эквивалентная схема
О |
а b |
го |
Оо— |
~ ° |
°1П 1----------II- |
|
я
а 6 с |
а b с |
23
Продолжение табл. 1-8
Формула закона |
Эквивалентная схема |
а(а + Ь) = а; й + ab — a
а{а + b) = ab;
а + ab = а + 6
й(Ь + с ) = дй + й с ;
а + Ьс = (а + 6)(я + й)
ab + дб = а;
(а + 6)(а +"й) = а
ab + ас + be = ab + ас\
(а + Ь) (й + с) (6 + с)=(а + 6)(а + с)
(й -{- 6)(я + с) = ас + ab
a b = |
а + Ь\ |
а + |
6 = аЬ |
а b |
а b |
|
П П П |
|
|
’ “ " W |
r - |
а |
|
|
4 nrU ^ T ~ T IT - - - 4 nrl P FU
24
Ассоциативный закон для них несправедлив:
« Л (Ь 4 с) ф (й 4 b) 4 с; |
|
(1-34) |
|||
аЦЪ/с) ф (а/Ь )/с. |
|
|
|||
|
|
|
|||
Дистрибутивный закон для этих функций относительно друг друга имеет следую |
|||||
щий вид: |
|
|
|
|
|
а I (Ь/с) — (а/Ъ) J. (а/с); |
\ |
(1-35) |
|||
а/(Ь |
I с) = (а 4 b)/(a [ с). I |
||||
|
|||||
Для функции стрелки Пирса и штриха Шеффера имеют место соотношения: |
|||||
а |
4 6 = д + 6 ; |
a/b = ab. |
|
(1-36) |
|
Доказательство: по определению функций |
|
|
|
||
а |
4 Ь — аЬ\ а/Ь = я + 6 ; |
|
|
||
тогда |
|
|
|
|
|
а |
4 b ~ a b ; а/Ъ = д + Ь, |
|
|||
откуда по закону де Моргана |
|
|
|
|
|
|
ab = а-\- Ь — а + Ь; |
|
|
||
следовательно, |
a -{-b = ab — ab; |
|
|
||
|
|
|
|
||
|
a J. Ь = а-\- Ь; |
|
|
||
|
a/b ~ ab. |
|
|
||
Отсюда очевидно и обратное, т. е. |
|
|
|
||
a |
j Ь = а ф Ь ; |
а/Ъ — аЬ. |
|
(1-37) |
|
На основании этого нетрудно показать справедливость соотношений (1-35). До |
|||||
кажем, например, справедливость равенства |
|
|
|
||
а/(Ь ) с ) = Н |
b)/(fl i |
с). |
|
||
Для этого преобразуем обе части к выражениям, содержащим только конъюнк |
|||||
цию, дизъюнкцию и инверсию: |
|
|
|
|
|
а/ (6 4 с) — а/Ъ + с = а (6 + с) = |
a + Ь + |
с; |
|||
(а ) Ь)/(а ) с) = (а + 6) (а + с) = |
(а&) ас = |
abc = |
а + Ь + с. |
Совпадение левой и правой частей доказывает.справедливость равенства. Функции стрелки Пирса и штриха Шеффера связаны между собой соотношения
ми, аналогичными формулам де Моргана для функций конъюнкции и дизъюнкции:
а |
) b = |
a/b; а/Ь = а 4 & |
(1-38) |
Доказательство: согласно (1-36) левую часть соотношений (1-38) можно запи |
|||
сать как |
|
|
|
а |
4 b = a-\-b; а/Ъ — аЪ\ |
|
|
для правой части по определению функции находим: |
|
||
|
а/Ъ = |
а ф b = а + Ь; |
|
|
а |
4 b — ab = ab. |
|
Следовательно, равенства (1-38) |
справедливы. |
|
25
2. Для функций неэквивалентности и эквивалентности справедливы коммутатив ный и ассоциативный законы, а также дистрибутивный закон конъюнкции относитель но функции неэквивалентности:
д-фй==й®д; д~£=Ь~а;
|
а ® (Ь © с)—(а ® Ь) ® с ; |
(1-39) |
|||
|
а |
(6~ с) = |
(я 'v |
|
|
|
а (6® с) = «6‘® йс. |
|
|||
Кроме того, имеют место соотношения |
|
|
|
||
|
д + & = д ф & ® д & ; |
а 6 = а ® а Х |
(1-40) |
||
Из этих функций одна является инверсией другой: |
|
||||
|
д -ч 6 = д ® &; а ® ”6 = а ^ Ь , |
(1-41) |
|||
Доказательство: по определению а ~~ b — ab |
ab; |
|
|||
тогда |
|
|
|
|
|
|
a 5 = йЬ -}- ah = |
(д + |
6) (я_!+ й) = |
|
|
|
= ад + дЬ + ab + |
ЬЬ = дб + ab = д ® й. |
|
||
3. |
Для функций импликации и запрета коммутативный и ассоциативный законы |
||||
несправедливы, т, е. |
|
|
|
|
|
|
а~ *Ь ф Ъ~* а\ а+ - b ф Ь а. |
|
|||
Для этих функций имеют место соотношения |
|
||||
|
д -» 6 = Ь]-* а; а -* Ъ_-* а = й; |
|
|||
|
— |
8----- |
= |
(1-42) |
|
|
д -* Ь |
д —j—Ъ\ &—* 1? ~ дЬ: |
|||
|
а%- Ь)= Б%-а; а * - Ь *- а — а; |
|
|||
|
a * - b = |
ab; а * - |
Ь — а + Ь . |
|
|
Между функциями импликации и запрета существует следующая зависимость: |
|
||||
|
а - * Ъ |
= а*-Ъ\ |
а * - Ь = а~* Ь. |
(1-43) |
|
Кроме того, эти функции связаны между собой соотношениями, подобными фор |
|||||
мулам де Моргана: |
|
|
|
|
|
|
а -*■ b — b *- а; |
а*~ b = Ь - •а. |
(1-44) |
1-5. СУПЕРПОЗИЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Если разделить таблицу функций двух переменных на две части по линии, разделяющей функции h и f s, и принять эту линию за ось симметрии, то нетрудно убедиться, что любая функция, взятая из одной части таблицы, является инверсией симметричной ей функции, при надлежащей другой части таблицы. Это можно записать следующим образом:
fu - 1 — Ti, где i = 0, 1 ,2 ,... ,15 .
Отсюда следует, что еще четыре функции из восьми оставленных; ранее в рассмотрении функций двух переменных не являются самостоя тельными, так как
/,= 7 ,4 > Т. е. а 1 Ь = а + &;
т. е. а — 6 = а —-6;
/«=7». т. е. а ф 6 = ОА,&;
f , = 7 8> т- е. а/й=а6.
26
Исключив из рассмотрения |
операции |
| , — , ® |
и /, |
получим сле |
||
дующий набор логических функций: |
|
|
|
|
||
|
fg= ab; /9=<з-— |
; |
|
|
|
|
|
f n = a -+ b ; f u = a + b . |
|
|
|
||
Импликация и эквивалентность могут быть выражены через конъ |
||||||
юнкцию и дизъюнкцию следующим образом: |
|
|
|
|||
|
a —*b ='а'г {-Ь; |
а —-Ъ— ф , |
|
|
||
— |
|
|
b = |
ab-\-ab. |
|
|
Таким образом, для записи |
любой логической |
функции одной и |
||||
..двух переменных достаточно иметь три логические функции: |
||||||
инверсию f3— й (или f5= b ) ; |
|
|
|
|
|
|
конъюнкцию f& ab\ |
|
|
|
|
|
|
дизъюнкцию fu = a + b . |
|
|
|
|
|
|
Это хорошо видно |
из таблицы функций |
двух |
переменных, где |
|||
структурные формулы |
всех функций и их совершенные |
нормальные |
формы записаны через функции инверсии, конъюнкции и дизъюнкции. Логические функции инверсии, конъюнкции и дизъюнкции обладают наиболее простыми и привычными свойствами, почти аналогичными алгебраическим операциям умножения и сложения. Эти функции очень удобны и естественны для выражения свойств параллельного и после довательного соединения замыкающих и размыкающих контактов в релейно-контактных схемах, как это показано в табл. 1-7 и 1-8.
Бесконтактные же логические элементы позволяют непосредственно
.получать'вре логические функции, приведенные в таблице функций двух ; переменных.
Если воспользоваться правилом де Моргана
a -j- b = ab; a b = а -\-Ь,
позволяющим получать дизъюнкцию через конъюнкцию и инверсию или конъюнкцию через дизъюнкцию и инверсию, то придем к системе, состоящей всего лишь из двух функций:
инверсия /з=а; |
(или дизъюнкция |
f u = a + b ) , применение кото |
конъюнкция $s=ab |
||
рых позволяет записать любую логическую функцию. |
||
В этом отношении |
интересны также |
функции запрета и имплика |
ц и ям и ]. |
|
|
Если одну из входных переменных импликации сделать постоянно
•равной нулю, то |
|
|
а —►0 = |
а —!—О = |
а. |
Далее |
|
|
(а —»0) b = |
а -{- b = |
а -{- Ь, |
т. е. из импликации и нулевой функции тоже можно построить любую другую функцию.
27
Для того чтобы сделать функцию запрета универсальной, к ней нужно добавить единичную функцию
1<— а = а1 = а; &«—(1 -— а) — a b = a b ,
что также позволит построить на ней любую функцию.
Из этих двух функций в техническом отношении проще имплика ция, так как для того, чтобы подавать на вход постоянный нуль, достаточно ничего к нему не присоединять, в то время как для подачи постоянной единицы нужен источник постоянного сигнала.
Функции эквивалентности и неэквивалентности в качестве универ
сальных |
функций неудобны, но они интересны тем, что превращают |
|
входную |
переменную в ее инверсию или повторяют |
ее в зависимости |
от значения второй входной переменной. В самом деле, |
|
|
|
a ^ 0 = a6"-j- аО= а; а^> 1 = п 1 -\-а\ = |
а\ |
|
а 0 0 = аО -J-аО= а; а 0 1 = а\ - j- а1 = а. |
Но особое место среди функций двух переменных занимают стрелка Пирса и штрих Шеффера, отличающиеся тем, что каждая из них в от дельности достаточна для записи любой логической функции. Дейст
вительно, |
■ |
, |
|
я J а = |
а; |
(а 1 а) |
{ ф | Ь) = а |
{ Ъ = а Ь = ah, |
т. е. стрелка Пирса позволяет получить инверсию и конъщнкцию, а этого достаточно для построения любой функции.
Аналогично для штриха Шеффера
а /а = а ;
(а/а)/(6/Ь) = a -j- b = a -j- Ь.
Следовательно, штрих Шеффера позволяет получить инверсию и дизъюнкцию, что тоже достаточно для построения любой функции.
Таким образом, выражая одни логические функции через другие и используя принцип суперпозиции, можно аргументами каждой из рассмотренных выше функций одной и двух переменных считать про извольные логические функции и получать многие новые равносильные преобразования функций.
Например, из формул
а 0 й —
a -'v b = (a -j- Ь)(о Ь)\
а —*Ь — а-\~Ь
еледует:
Функция, полученная из некоторых функций путем применения принципа суперпозиции, называется суперпозицией этих функций.
Все логические функции двух переменных, а также конъюнкции и дизъюнкции п переменных называются элементарными логическими функциями. Они позволяют строить любые новые функции алгебры логики, являющиеся суперпозициями элементарных функций.
1-6. ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Выше было показано, что все логические функции двух перемен ных могут быть выражены через одну или несколько (две, три) других функций двух переменных. В связи с этим возникает проблема выбора стандартного набора логических элементов, из которых будет строиться схема логического устройства. Например, если в качестве системы функций выбраны функции инверсии, дизъюнкции и конъюнкции, то это соответствует выбору стандартного набора из логических элементов, выполняющих эти функции. При этом все логические функции, описы вающие работу логического устройства, должны быть выражены через выбранные функции инверсии, дизъюнкции и конъюнкции и после этого могут быть реализованы на стандартных логических элементах.
Система элементарных логических функций называется полной, если любая функция алгебры логики может быть представлена в виде суперпозиции функций этой системы.
Понятие о полноте относится не только к элементарным, а к любым булевым функциям.
Критерий полноты системы функций алгебры логики устанавли вает теорема Поста — Яблонского [1103, 104], утверждающая, что для того, чтобы система функций алгебры логики была полной, необходимо и достаточно, чтобы она содержала функции: не сохраняющую констан ту нуль, сохраняющую константу единица, не являющуюся само двойственной, не являющуюся линейной, не являющуюся монотонной, t. е. чтобы каждое из перечисленных выше свойств не принадлежало какой-либо из функций в этой системе.
Функция называется сохраняющей константу нуль, если
/(0, |
0) = 0 . |
(1-45) |
Функция называется сохраняющей константу единица, если |
||
f(l, |
1 )= 1 . |
0 -46) |
Примерами функций, сохраняющих константы нуль |
и единица4 |
|
являются конъюнкция /в и дизъюнкция fi4, так как |
|
|
f8(0,0) = 0 - 0 = 0 ; |
МО, 0) = 0 + 0=0; |
|
/а (1 , 1) = 1 -1 = 1; / « ( I , 1) = 1 + 1 = 1. |
|
|
Функция называется самодвойственной, если имеет место равен |
||
ство |
|
|
/(а, 6) = /(а, Ь). |
(1-47) |
Примером самодвойственной функции является функция инверсии, так как
f. («) = / («)-
29
Функция |
называется линейной, если возможно представление ее |
||
© виде |
}(а, |
= |
(1-48) |
|
|||
где &0) йь k2— двоичные постоянные (0 или 1). |
|
||
Функция |
называется монотонной, если имеет |
место равенство |
|
при |
! ( а и |
b i) < f ( a 2, b2) |
(1-49) |
а ^ а 2 и bi<^b2. |
|
||
|
|
||
Функции конъюнкции и дизъюнкции являются монотонными, по |
|||
скольку, например, |
|
|
|
|
'М О , 0)< / 8(1, 1); fi4 (0, 0) </14 (1» |
1). |
Всякая функция, выраженная только через конъюнкцию и дизъюнк цию, является монотонной.
Перечисленными выше свойствами могут обладать или не обладать не только элементарные, но и любые функции алгебры логики.
Наличие или отсутствие указанных свойств у элементарных функ ций показано в табл. 1-9, в которой наличие свойства отмечено крестиком.
Таким образом, по теореме Поста — Яблонского пять функций образуют полную систему, если каждая из них не обладает хотя бы одним из пяти перечисленных выше свойств, но это отсутствующее свойство у каждой из функций иное, нежели у остальных четырех.
Из табл. 1-9 видно, что большинство из функций не обладает сразу
.■несколькими свойствами. Поэтому, как доказано С. В. Яблонским Таблица 1-9
Свойства
Элементарная функция
О I «д
Сохранение |
Сохранение |
Самодвойст* |
|
|
|
константы |
константы |
Линейность |
Монотонность |
||
веваость |
|||||
н>ль |
единица |
|
|
||
|
|
|
|||
X |
|
|
X |
X |
f i = a 1 Ь
f a — а
f 4= a * - b
f s = a ® b
U ~ a / b
X X
X
X X
f » = a b |
X |
X |
|
X |
X |
f 9= a ^ b |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
X |
X |
х |
X |
f i a = a |
X |
||||
|
|
|
|
|
|
f , i = a + b |
X |
X |
|
|
X |
t i a = 1 |
|
X |
|
X |
X |
30