книги / Механика горных ударов и выбросов

равновесия. Состояние называется устойчивым, если можно указать столь малые нача^чле отклонения, что при последующем^ движении скорости и перемещения остаются меньшими наперед, заданной сколь угодно малой положительной величины. Как ясноиз определения, при его использовании в общем случае приходится рассматривать динамическую задачу. Это обычно приводит к су­

В частности, такая эквивалентность имеет место для консерватив­ ных систем. Для неконсервативных систем эквивалентности нет, и приходится рассматривать движение. При этом оказывается воз­ можным удовлетворительное решение задач типа задачи о нагру­ жении стержня следящей силой. Однако этот путь не способен^ привести к приемлемым для практики результатам в случаях, примером которых служит карандаш, поставленный на стол остри­ ем вверх. Будучи устойчив по Ляпунову, он явно неустойчив с практической точки зрения. Причина несоответствия повседнев­ ному опыту состоит в том, что все упомянутые определения устой­ чивости касаются лишь бесконечно малых отклонений от исход­ ного состояния равновесия, а реальные возмущения всегда ко­ нечны.

Возникающие затруднения можно преодолеть, только измени& определение устойчивости таким образом, чтобы предусмотретьвозможность конечных отклонений. Можно, например, назватьнеустойчивым такое состояние, для которого при малых, но конеч­ ных отклонениях существуют новые формы равновесия. Соответ­ ствующее исследование называется анализом устойчивости в боль­ шом. Новое определение, хотя и позволяет удовлетворительно ре­ шить ряд задач, не охватываемых классическими подходами, но далеко не является исчерпывающим.

Дело в том, что при его введении приходится иметь дело с аль­ тернативой:

1) либо считать, что допускаются произвольные отклонения,,

акритическая сила отождествляется с минимальной;

2)либо фиксировать на основе тех или иных соображений, ка­ кие отклонения будут считаться «малыми».

Первый путь в ряде случаев приводит к неприемлемому зани­ жению критической нагрузки. Так, карандаш оказывается неустой­ чивым независимо от его длины, а нижняя критическая нагрузка сферической или цилиндрической оболочки, как минимум, на по­ рядок ниже верхней, определяемой по Эйлеру — Лагранжу. Такой ответ во многих случаях столь же неприемлем для практики, как и решение по классической схеме.

Второй путь лишен универсальности, поскольку связан со зна­ чительным произволом: от конструкции к конструкции понятие^ «малый» неизбежно меняется (например, в связи с изменением линейного масштаба). Это, обстоятельство, обеспечивающее его-

чрезвычайную гибкость, в сущности, делает неуловимой грань между ним и самым широким (и соответственно самым неопреде­ ленным) толкованием устойчивости как способности конструкции сохранять свое состояние.

В конкретных задачах возможность произвола, конечно, резко сокращается учетом особенностей, опыта эксплуатации аналогич­ ных конструкций и тем, что принято называть «здравым смыслом». Однако на втором пути всегда возможно столько разных крите­ риев устойчивости в одной и той же задаче, сколько разных ис­ следователей ею занимались. Подобная ситуация возникла, на­ пример, при изучении устойчивости горных выработок [ 10]. Пред­ ложена масса разных критериев устойчивости, часть из которых близки друг к другу, а некоторые очень сильно отличаются. Воз­ никает даже сомнение в целесообразности использования самого понятия «устойчивость» ввиду его перегруженности и неопреде­ ленности.

Понятно, что излишнее расширение понятия «устойчивость» зачастую не более практично, чем его слишком узкое толкование. •Отыскание оптимального соотношения между этими направлениями составляет важную для практики задачу. Вряд ли приходится рас­ считывать на ее универсальное решение. Возможный путь преодо­ ления трудностей состоит в разделении возникающих задач на широкие классы, в пределах каждого из которых приемлемо то или иное строгое определение устойчивости, которое может быть разным для разных классов. В частности, большие классы пред­ оставляют, например, задачи, для которых применим критерий Эйле­ р а — Лагранжа, и. задачи о выпучивании, решаемые с учетом

.начальных несовершенств в форме конструкции.

Для темы данной книги основной интерес представляет класс задач о потере устойчивости при разрушении. На принципиальную возможность выделения его и рассмотрения с единых позиций ука­ зывают разнообразные исследования отдельных видов разрушения j[24, 42, 48, 58, 75, 86, 92]. Так, значительная часть деформацион­ ных критериев в теории пластичности фиксирует, в сущности, би­ фуркацию [24]. Рассмотрение роста трещин также, по существу, является ответом на вопрос об устойчивости решения математиче­

нение этих и других задач, связанных с разрушением, возможно благодаря их значительной внутренней общности, состоящей в том, что во всех случаях потеря устойчивости вызывается особенностя­ ми деформаций за максимумом нагрузки — запредельных деформа­ ций [31, 84]. Для горных пород о них подробно говорилось в раз­ деле 1.

!Развитие общей теории устойчивости обусловлено успехами в изучении запредельных диаграмм.

Отметим, что и до внедрения запредельных характеристик пред­ принимались попытки подойти к вопросам устойчивости горных выработок как к задачам теории математической устойчивости

(см., например, [16]). Общим для этих работ является использо­ вание в рамках традиционных моделей упругой, сыпучей, упруго­ пластической и упруго-вязко-пластической сред некоторого при­ ближенного подхода, обоснование которого отсутствует. Более то­ го, как справедливо, отмечено в работе [15, стр. 7], упомянутый «приближенный подход ни при какой системе обоснованных упро­ щений не вытекает из линеаризованной трехмерной теории устой­ чивости деформируемых тел, полученной в результате линеариза­ ции нелинейной механики деформируемых тел, — сравнительно* традиционной и неоднократно проверенной процедуры. Поэтому,, применяя указанный приближенный подход, можно получить ре­ зультаты, обусловленные методом решения».

В качестве более приемлемого пути в [15] предложено исполь­ зовать линеаризованные уравнения устойчивости для тех же мо­ делей. Однако эта рекомендация немногим лучше предыдущей, поскольку касается лишь формальной стороны, а несущества во­ проса, определяемого для горных пород не геометрической, а фи­ зической нелинейностью.

Дело в том, что для описания потери устойчивости, с которой приходится систематически сталкиваться при изучении разруше­ ния горных пород, принципиально недостаточно традиционных мо­ делей. Как показывают эксперименты на жестком испытательном' оборудовании, необходимо привлекать дополнительную информа­ цию о поведении пород при запредельном деформировании, т. е:. о падающих участках диаграмм деформация — напряжение. Их учет требует значительного пересмотра классических определений возможных перемещений и устойчивости (см. ниже).

Конечно, общие методы решения задач теории устойчивости, я в том числе различные линеаризации, могут при надлежащей мо­ дификации успешно использоваться и в теории, основанной на уче­ те падающих участков диаграмм горных пород. Однако исходные предпосылки и существенные детали методов претерпевают при этом значительные изменения.

3.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ

Главная особенность обсуждаемых задач, касающихся разру­ шения, состоит, как упоминалось, в специфической нелинейности’ связи между силовыми и деформационными характеристиками.

В устье трещины, например, напряжение, достигая максималь­ ной величины при некотором значении раскрытия, с дальнейшим’ его ростом падает до нуля. Сама по себе -такая деформация, являющаяся запредельной, вовсе не приводит к каким-либо внеш­ ним проявлениям неустойчивости.

При пластической деформации образцов из металлов, испыты­ ваемых на растяжение, внешняя нагрузка, начиная с некоторой деформации, также падает. При этом падают и напряжения, рас­ считанные на единицу поперечного сечения недеформированного* образца, и соответствующая диаграмма имеет нисходящую ветвь..

Истинные же напряжения, т. е. напряжения, отнесенные к текущим площадкам, не уменьшаются. Жесткий контроль деформации по­ зволяет -осуществить испытание образца за максимумом силы без внешних проявлений неустойчивости типа рывков, колебаний обо­ рудования и других подобных эффектов. Процесс вполне устойчив, •если только априори не решить называть неустойчивостью всякое падение нагрузки при нарастающей деформации. Однако основа­ ний для этого нет: далее в случае идеальной пластичности, когда переход к падающему участку происходит, в сущности, в момент достижения предела текучести, в эксперименте не наблюдают по­ тери устойчивости и не говорят о ней пока пластическая область -стеснена упругими частями и течение не охватило все сечение тела. Во всех случаях реализация того, что ассоциируется с неустойчи­ востью, определяется условиями нагружения, а не положением соответствующей точки на диаграмме испытания. Она проявляется при «мягком» нагружении, когда поддерживается неизменной си­ ла, и не возникает при «жестком» деформировании при заданных смещениях или стеснении пластической зоны упругими областями.

Наиболее яркий пример, иллюстрирующий роль «жесткости» нагружения и запредельных характеристик, дают испытания гор­ ных пород на сжатие. При проведении опытов на достаточно жестжом оборудовании для многих пород удается записать плавную кривую типа изображенной на рис. 2. Внешние проявления не­ устойчивости отсутствуют при этом как на восстающем, так и на падающем участке диаграммы. С любого этапа запредельного деформирования можно осуществить разгрузку. Образец при этом не теряет связности. В опытах такого типа видимая площадь сече­ ния возрастает, и связывать падение нагрузки с уменьшением сече- яшя-нетто можно лишь, обсуждая разрыхление структуры материа­ ла. Поскольку и деформации малы, то можно использовать обыч­ ные в классической теории тензоры напряжений и деформаций.

Наличие падающего участка приводит к тому, что постановка динамических задач оказывается невозможной и классический под­ ход всегда фиксирует неустойчивость в момент достижения на­ грузкой максимума независимо от способа нагружения. Однако, как подчеркивалось, с практической точки зрения при жестком нагружении, когда контролируются деформации, никакой неустой­ чивости не ощущается. Эффекты, воспринимаемые как потеря устойчивости (неограниченное нарастание смещений, сотрясения, •разлет осколков), происходят лишь при мягком нагружении. Для •того чтобы теория отвечала практическим потребностям, нужно [модифицировать классические определения, учтя обсуждаемую особенность. Проведем необходимую модификацию.

Прежде всего необходимо исключить «динамические» вариации полей в запредельной области, т. е. варьируемые поля в этой области должны давать напряжения, удовлетворяющие статиче­ ским уравнениям равновесия. Использование в запредельной об­ ласти полей, не удовлетворяющих статическим уравнениям равно­ весия, означало бы экстраполяцию запредельных соотношений на

условия, в которых они заведомо неприменимы. В соответствии с этим изменим традиционное определение возможных смещений, запретив . динамические нагружения в запредельной области. А именно, под возможными будем понимать такие смещения, кото­ рые не только удовлетворяют граничным условиям, но и дают в запредельной зоне напряжения, для которых выполняются ста­ тические уравнения равновесия. Дополнительное ограничение ка­ сается лишь зоны запредельной деформации, а в упругих областях реологические соотношения в равной мере пригодны как для ста­ тических, так и для динамических задач, и потому в них исполь­ зуется традиционное понятие о возможных смещениях*. Данное определение будем использовать во всем дальнейшем изложении. При отсутствии запредельной зоны оно, разумеется, совпадает с классиче­ ским.

Далее, неустойчивость в рас­ сматриваемых задачах ассоцииру­ ется прежде всего с преобразова­ нием разности между приращением работы внешних сил и приращени­ ем внутренней энергии в кинетиче­ скую энергию (/(), сопровождае­ мым приобретением скорости эле­ ментами среды. Поэтому потерю устойчивости представляется есте­ ственным определить как превы­ шение (или по меньшей мере

неубывание) приращения работы внешних сил над приращением внутренней энергии при неизменных внешних условиях. Упомянутую разность будем обозначать АК. При этом имеет смысл, как обычно, рассматривать устойчивость в малом и устойчивость в большом. В первом случае исследуется лишь тенденция в изме­ нении АК при бесконечно малых возмущениях. Во втором — изу­ чаются изменения АК при конечных смещениях вплоть до таких, которые отвечают полному разрушению в предельно-напряженной зоне.

Неустойчивость в малом автоматически влечет за собой и не­ устойчивость в большом. Обратное имеет место далеко не всегда, но в процессе достижения неустойчивости в большом от заданного состояния система проходит через некоторое новое состояние, ко­ торое неустойчиво в малом. Проиллюстрируем сказанное на при­ мере (рис. 28). Пусть на прессе с жесткостью, характеризуемой линией АВ, испытываются образцы двух разных пород. Первый из них имеет запредельную диаграмму АЁ и неустойчив как в малом,

*> Если кроме упругой и запредельной области имеется зона, в которой деформация протекает необратимо при нарастающих нагрузках, но нет экспе­ риментальных оснований для того, чтобы использовать соответствующие соот­ ношения в динамических условиях, то возможные смещения трактуются в ука­ занном, ограниченном смысле.

так и в большом. Второй — устойчив в малом в точке А (запре­ дельная кривая идет выше характеристики пресса АВ, т. е. при малых отклонениях кинетическая энергия не выделяется).. Однако он неустойчив в большом, поскольку за точкой G начинается уве­ личение кинетической энергии, а площадь фигуры GBF больше площади ANG, Общий баланс в пользу возрастания скорости при полном разрушении. В точке G образец 2 неустойчив в малом.

С учетом сделанных замечаний вводятся следующие опреде­ ления.

Устойчивым в малом называется такое состояние равновесия, для которого любые бесконечно малые возможные смещения да­ ют А/С<0.

Устойчивым в большом назовем такое состояние, для которого любые возможные смещения вплоть до отвечающих полному разрушению дают А/ССО.

В противоположных случаях, т. е. если существуют бесконечно малые (конечные, вплоть до отвечающих полному разрушению) возможные смещения, для которых Л/05Ю, состояние будем назы­ вать неустойчивым в малом (в большом).

Эти определения по сравнению с определениями, используемы­ ми обычно, имеют три отличия: 1) возможные смещения трактуют­ ся в'нетрадиционном смысле; 2) при изучении устойчивости в боль­ шом величина допускаемых смещений ограничена значениями, отвечающими полному разрушению в запредельной области. 3) устойчивость во всех случаях оценивается по знаку прираще­ ния АК.

Выбор между исследованием устойчивости в малом и в боль­ шом диктуется существом рассматриваемой задачи, связанной с разрушением, практическими целями, преследуемыми при изу­ чении устойчивости, и отчасти соображениями, касающимися про­ стоты решения. Как правило, два данных определения дополняют друг друга. Первое из них особенно полезно для оценки тенденции к потере устойчивости и для фиксации неустойчивости в процессе решения задачи о запредельной деформации по шагам. Второе, будучи более общим, обеспечивает возможность дополнительного контроля устойчивости и введения меры неустойчивости. При этом, как будет показано в дальнейшем, не всегда исследование устой­ чивости в малом проще, чем рассмотрение в большом.

В заключение остановимся кратко на близком, но отличающем­ ся от нашего, подходе к изучению устойчивости. В работе [81], посвященной теории конструкций с разупрочняющимися элемента­ ми, введено, иное по сравнению сданными выше определение устой­ чивости. А именно, в отличие от принятого соглашения о неизмен­ ности граничных условий допускаются малые изменения внешних усилий АР{ на той части граничной поверхности, где заданы силы.

ше нуля, то состояние считается устойчивым; в противном случае фиксируется неустойчивость. Не вдаваясь в детальное с.опостав-

В случае, если окажется Аате,-2= А а яа на £*, то, поскольку удов­ летворены все граничные условия, уравнения равновесия и реоло­ гические соотношения, имеем просто новое решение задачи «:о+ + A«i, aijo+'Aoij (им, оно — смещения и напряжения в исследуемом состоянии равновесия). При этом АК—0. Подобное положение может возникать, например, при рассмотрении устойчивости в ма­ лом в задачах с достаточно гладким переходом от дозапредельной к запредельной деформации (гладкость перехода исключает раз­ рывы в приращениях напряжений на границе S*). Происходит бифуркация решения. Таким образом, бифуркация является част­ ным случаем потери устойчивости по критерию (3.4), которому отвечает равенство Д/(=0. Это замечание иллюстрирует упоминав­ шуюся связь между устойчивостью решения и устойчивостью со­ ответствующего ему состояния равновесия физической системы.

Неравенство, противоположное (3.2),

достаточно для потери устойчивости. В общем случае оно не явля­ ется необходимым, так как (3.4) может быть выполнено на какихлибо других перемещениях, отличных от Av. Условие типа (3.14) может быть получено и для любого другого поля Ат, зависящего от одного параметра. Так, например, в осесимметричной задаче о цилиндрической выработке, рассмотренной в 3.1, радиальные смещения и и приращения Au одинаковы на границе зоны запре­ дельных деформаций r=Ri (на 5*). Тогда в обозначениях упомя­ нутого подраздела

и после деления на Аи2 условие неустойчивости (3.5) принимает

Это соотношение совпадает с ранее полученным необходимым и достаточным условием неустойчивости (1.45) математического решения задачи.

При использовании полученных условий ход выкладок следую­ щий. Решается задача для заданных внешних условий и определя­ ются напряжения, относительные деформации и смещения, отве­ чающие исходному состоянию равновесия, устойчивость которого предполагается исследовать. Чтобы определить, устойчиво ли это состояние, нужно, задавшись на 5* произвольными значениями Ат, решить статические задачи для объемов Vi и Кг, требуя, чтобы не нарушались граничные условия на границах, отличных от 5*. В результате находятся напряжения Аоц и смещения Ат во всем объеме V и, тем самым, предельные значения Аапп (при стремле-

нии к S* из Vi) и Дай,-2 (при подходе из V2) . Нормаль внешняя к Vi. По найденным значениям подсчитывается величина ДК, входящая в условия (3.1), (3.4). Если она положительна -или равна нулю, то исследуемое состояние неустойчиво. В противоположном случае имеет смысл провести вычисления для других полей Ащ, на кото­ рых можно ожидать потери устойчивости. Можно также использо­ вать вариационный подход и задавать Дщ с точностью до постоян­ ных, которые следует определять из условия максимальности Д/С

При постоянных касательных напряжениях на 5* в интегралы по поверхности 5* входят лишь нормальные к ней компонен­ ты приращений напряжений и смещений. Ход выкладок подо­ бен описанному, с той лишь разницей, что на 5* задаются нор­ мальные компоненты приращений смещений и полагаются равны­ ми нулю приращения касательных напряжений. Остается в силе и (3.2).

Применение (3.2) связано с фиксированным полем Дм,-, для которого на S* составляющая Av по одной из координатных осей постоянна, а по двум другим осям составляющие равны нулю. Вычисления аналогичны описанным . с тем лишь отличием, что после определения Дапл и Дап/2 на S* подсчитываются интегралы (3.12), входящие в условие (3.2).

Неравенствам (3.1), (3.4) можно придать другой вид, весьма удобный для приложений при исследовании устойчивости в боль­ шом.

Представим Аоц и Ат в виде Аоц—ац— ацо, А т= т—м(0, где сг«7о, и,*о — напряжения и смещения в состоянии равновесия, устой­ чивость которого изучается. Тогда, поскольку в исследуемом со­

стоянии <Тп/о непрерывны на S*, имеем

1

и выясним физический смысл величины —ЛЭ. Для этого запишем ее в виде