книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

С другой стороны,

Р х — х и Ру = у,

поэтому

А Р х = у

и

Р А х = у .

Отсюда

( А Р - Р А ) л : = 0,

и, значит,

Д о с т а т о ч н о с т ь . Пусть справедливо равенство (2.1). Для произвольного вектора х £ / имеем

А х = у.

Отсюда, учитывая, что х = Р х (х £ /), получим

АР х — у

идалее, в силу соотношения (2 . 1),

РА х = у у

т. е.

Ру = у -

Из последнего равенства следует, что у £ / . Лемма до­ казана.

Рассмотрим какое-нибудь расщепление пространства R на два подпространства 1Х и / 2:

.Каждому расщеплению (2 .2 ) соответствуют два проек­ ционных оператора Р х и Р2 (Рх— оператор, осуществляю­ щий проектирование пространства R на подпространство 1Х параллельно подпространству / 2, а Р2 — оператор, осуще­ ствляющий проектирование пространства R на подпростран­ ство / 2параллельно Ij).

Пусть 1г — некоторое фиксированное подпространство пространства R. Существует бесчисленное множество под­ пространств / 2, удовлетворяющих соотношению (2.2). Это значит, что даже при заданном / х расщепление (2 .2 ) прост­ ранства R неоднозначно. Рассмотрим, например, двумерное векторное пространство. Некоторая прямая /, проходящая через 0 в R, выделяет одномерное подпространство / х. Любая другая прямая, проходящая через 0 , но не совпадаю-

S 2]

щая с прямой /, выделяет подпространство / атакое, что R —

— А + При фиксированном / 2, в зависимости от выбора / 2,

будем иметь соответствующую пару проекционных опера­ торов Рх и Р 2. Эти операторы всегда удовлетворяют соот­ ношениям

Л е м м а 2.2. Пусть пространство R расщепляется на два подпространства 1Хи / 2:

= А 4" ^2»

причем / х — подпространство, инвариантное относительно линейного оператора А. Для того чтобы дополнительное подпространство / 2 било также инвариантным относи­ тельно оператора А, необходимо и достаточно, чтобы

АРхх = ЯХЛ лг (\fx £ R),

где Рх — оператор, осуществляющий проектирование про­ странства R на подпространство 1Х параллельно подпро­ странству / 2.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Н е о б х о д и м о с т ь . Пусть / 2 — также инвариантное подпространство, так что (согласно лемме 2 . 1)

где Р2— проекционный оператор, осуществляющий проек­ тирование R на / 2 параллельно подпространству 1Х. Имеем

РХА х 2= (£ — Р 2) А х 2 = Ах 2— Р2А х а = = А х 2— АР гх г = А х %— А х %= 0.

Д о с т а т о ч н о с т ь . Пусть

Поэтому, в соответствии с леммой 2.1, подпространство

/2 инвариантно относительно оператора А.

§3. Расщепление векторного пространства на инвариантные подпространства

с взаимно простыми минимальными многочленами

Т е о р е м а 3.1. Пусть минимальный многочлен ф (А,) пространства R с оператором А представляется в поле di в виде произведения двух взаимно простых многочленов (со старшими коэффициентами, равными единице):

Ф W = Фх М Фа (**)•

Тогда пространство R расщепляется на два инвариантных подпространства 1Х и / а (R = 1г -f / 2), для которых % и ф2 служат соответственно минимальными многочленами.

Операторы Р { являются проекционными. В самом деле, так как ф (А) — минимальный многочлен всего пространст­ ва /?, то

Ф И ) = 0,

и потому

Учитывая (3.3), из (3.2) будем иметь

т. е. P t — действительно проекционные матрицы.

В силу равенств (3.2) и (3.3) пространство R расщепляет­

перестановочны с А. Поэтому согласно лемме 2.1 подпрост­ ранства 1{ (/ = 1 , 2) инвариантны относительно операто­ ра А.

Остается показать, что oJjj и г|за служат соответственно

т. е. “фх и г|)2 — соответственно аннулирующие многочлены подпространств / Аи / а.

Пусть, далее, (А) — произвольный аннулирующий многочлен подпространства Ilt а х — произвольный вектор из R. Имеем

Х=Хг + Х2 (Xi£lt).

Отсюда

W fo W * = (Л) ipi (A)xt + % (А) ij>2 {А)х 2= 0.

Так как последнее соотношение выполняется для любо-

го вектора х из /?, то % (А.) \})2 (А.) является аннулирующим многочленом этого пространства и потому делится без остат­ ка на минимальный многочлен пространства ^ (Я) ij)2 (Я). Следовательно произвольный аннулирующий многочлен

подпространства 1Х— ^ (Я) — делится на аннулирующий многочлен о!?! (Я) этого подпространства. Значит, ярх (Я) — минимальный многочлен подпространства 1Х. Тем же путем устанавливается, что я|?2 (Я) есть минимальный многочлен подпространства / 2. Теорема доказана.

Минимальный многочлен я|) (Я) разложим на неприводи­ мые в поле di множители:

Здесь ф* (X) т) — различные неприводимые в поле $С многочлены со старшими коэффициентами, равны­ ми единице.

Тогда, как это вытекает из теоремы 3.1, пространство R

нимальный многочлен вектора ец есть делитель многочлена

Ф£ (Я), поэтому есть многочлен вида 1ф< (Я.)]*1/ (ру С 1С). Но минимальный многочлен пространства есть наименьшее общее кратное минимальных многочленов базисных векто­

многочленом одного из базисных векторов ец, ец, ..., е**.

Эти многочлены взаимно просты и являются минимальными

Ф/ (А) фу (Л) е = ф/ (Л) ф£ (Л) еЦ) + ф£ (Л) фу (Л) е«> = 0 .

Покажем, что этот многочлен является минимальным

е</) и потому делится на минимальный аннулирующий мно­

гочлен этого вектора (Я) без остатка, а так как ф, (X)

и ф/ (Я) взаимно просты, то ф (Я,) делится на -ф/ (Я). Точно

так же показывается, что ф (Я) делится на % (Я). Значит, произвольный аннулирующий многочлен ф (Я) вектора е<‘>+

где е^1) £ 1{ — вектор, минимальный многочлен которого совпадает с минимальным многочленом подпространства / £, и пространство R имеют один и тот же минимальный много­

член

т

Ф М = П [ф, <Я)]Ч k" 1

Таким образом, имеет место следующая

Т е о р е м а 3.2. В пространстве R всегда имеется вектор, минимальный многочлен которого совпадает с ми­ нимальным многочленом всего пространства R.

§ 4. Сравнения. Пространство классов сравнимых векторов

Пусть R — векторное пространство и I — подпростран­

лг==у (mod/).

Сравнение векторов по mod / обладает следующими свой­

ствами:

\) xsssx (mod /) (рефлексивность сравнения). Действительно,

= — ( х — у) £ /■

3) Если х ^ у (mod I ) , y ^ z (mod /), то x = z (mod /) (транзитивность сравнения).

В самом деле, если х — у € I и у — z £1, то

X — 2 = (X — У) + ( У — Z)£I.

Все векторы пространства R можно разбить на классы, относя в каждый класс векторы, попарно сравнимые между

классом у : х — у. Подпространство / само является клас­ сом; поскольку оно содержит вектор 0 , этот класс можно

назвать классом 0 .

л

Множество всех классов, которое обозначим через R, обладает следующими свойствами.

Л/А Л

Если х, у £ R , а а £ VI, то

х1+ у 1= х + ( х 1—х ) + у + ( у 1—у) =

=г + (JCi— х) + (у1—у)-

В самом деле, если допустить, что, например, классы

Лл

Xi и Xj совпадают, то отсюда, в частности, получили бы

x t — Xj == 0 (mod/),

что означало бы линейную зависимость векторов e lt ..., е т,

х ь x h

лл

Итак, классы x lt ..., х п-т различны. Более того, эти классы линейно независимы. Допустим противное, а именно,

линейно независимых векторов х 1у х 2>..., Хп-т- Покажем, что в этом пространстве нет большего числа линейно неза­ висимых векторов.

число больше размерности пространства /?. Значит, в поле Ж