А.Н.Шерстнев - Математический анализ

(k1 ) X; Y 2 E ) X [ Y 2 E; (k2 ) X; Y 2 E ) XnY 2 E.

|TOT KLASS TAKVE UDOBNO AKSIOMATIZIROWATX:

2.nEPUSTAQ SISTEMA E ^ASTEJ MNOVESTWA E NAZYWAETSQ KOLXCOM MNO- VESTW W E , ESLI WYPOLNENY SWOJSTWA (k1) I (k2). w ^ASTNOSTI, KOLXCO S 1 W E NAZYWAETSQ ALGEBROJ MNOVESTW.

3.w KOLXCE E:

(i) ; 2 E, (ii) X; Y 2 E ) X \ Y 2 E; X Y 2 E .

4. wSQKOE KOLXCO QWLQETSQ POLUKOLXCOM.

w DALXNEJ[EM NAM PONADOBQTSQ KOLXCA S USILENNYMI STRUKTURNYMI SWOJSTWAMI:

5. kOLXCO (SOOTWETSTWENNO ALGEBRA) E W E NAZYWAETSQ -KOLXCOM (SO-

1

OTWETSTWENNO -ALGEBROJ), ESLI T Xn 2 E DLQ L@BYH Xn 2 E (n =

n=1

1; 2; : : :).

6.sEMEJSTWO A ^ASTEJ MNOVESTWA E QWLQETSQ ALGEBROJ (SOOTWET- STWENNO -ALGEBROJ) W E TTOGDA

(i)X 2 A ) Xc 2 A,

(ii)OB_EDINENIE WSQKOGO KONE^NOGO (SOOTWETSTWENNO S^•ETNOGO) SE- MEJSTWA PODMNOVESTW IZ A PRINADLEVIT A.

7.pUSTX fEigi2I | SEMEJSTWO KOLEC W E. tOGDA SEMEJSTWO E MNO- VESTW, PRINADLEVA]IH WSEM Ei, | TAKVE KOLXCO W E.

sEMEJSTWO E NE PUSTO, TAK KAK ; 2 E (SM. P. 3(i)). eSLI X; Y 2 Ei PRI L@BOM i 2 I, TO X [ Y; XnY 2 Ei , TAK KAK Ei | KOLXCA. pO\TOMU X [ Y; XnY 2 E, TAK ^TO (k1) I (k2 ) WYPOLNENY. >

8. pUSTX I | NEPUSTOE SEMEJSTWO ^ASTEJ MNOVESTWA E. tOGDA SU- ]ESTWUET KOLXCO E(I) W E, SODERVA]EESQ W L@BOM DRUGOM KOLXCE, SO- DERVA]EM I.

sEMEJSTWO fEigi2I WSEH KOLEC W E, OB_EML@]IH I, NE PUSTO, TAK KAK TUDA WO WSQKOM SLU^AE WHODIT KOLXCO WSEH PODMNOVESTW MNOVESTWA E. tOGDA E(I) = Ei | ISKOMOE KOLXCO. >

311

kOLXCO E(I) | NAIMENX[EE KOLXCO, SODERVA]EE I, I NAZYWAETSQ KOLX- COM, POROVD•ENNYM SEMEJSTWOM I. w OB]EM SLU^AE STRUKTURA E(I) SLOV- NA. oDNAKO, ONA OBOZRIMA, ESLI I | POLUKOLXCO:

OTKUDA X [ Y 2 E1; XnY 2 E1, TAK ^TO (K1 ) I (K2) UDOWLETWORQ@TSQ. iTAK, E1 | KOLXCO, I E1. iZ P. 8 ZAKL@^AEM, ^TO E(I) E1: >

10.u P R A V N E N I E. sFORMULIROWATX I DOKAZATX UTWERVDENIQ PP. 7{9 DLQ ALGEBR MNOVESTW.

11.uTWERVDENIQ PP. 7-8 OBOB]A@TSQ NA -ALGEBRY MNOVESTW. w ^AST- NOSTI, ESLI I | NEPUSTOE SEMEJSTWO ^ASTEJ E, TO SU]ESTWUET NAIMENX[AQ-ALGEBRA A, SODERVA]AQ I; ONA NAZYWAETSQ -ALGEBROJ, POROVDENNOJ• J.

w PRILOVENIQH WAVNOE ZNA^ENIE IME@T -ALGEBRY, POROVD•ENNYE TOPO-

LOGIQMI. eSLI (E; T ) | TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO, TO -ALGEBRA, PO- ROVDENNAQ• SEMEJSTWOM T WSEH OTKRYTYH MNOVESTW, NAZYWAETSQ BORELEW- SKOJ ALGEBROJ W E I OBOZNA^AETSQ B(E). w ^ASTNOSTI, ^EREZ B(R); B(Rn ) OBOZNA^A@TSQ SOOTWETSTWENNO BORELEWSKIE ALGEBRY NA ^ISLOWOJ PRQMOJ I W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE.

12.u P R A V N E N I E. pOKAVITE, ^TO -ALGEBRA W R, POROVD•ENNAQ SEMEJSTWOM WSEH PROMEVUTKOW WIDA [a; b) (a; b 2 R) SOWPADAET S B(R).

312

x194. pRODOLVENIE MERY S POLUKOLXCA NA KOLXCO

1. pUSTX S I S0 | POLUKOLXCA W E . mERA (KONE^NO-ADDITIWNAQ MERA)

iTAK, ZNA^ENIE m0 NA MNOVESTWAH KOLXCA E(S) NE ZAWISIT OT SPOSOBA PREDSTAWLENIQ \TIH MNOVESTW \LEMENTAMI POLUKOLXCA S. pRI \TOM m0 KONE^NO-ADDITIWNA NA E(S) (!!). eSLI DALEE, m00 : E(S) ! R+ | E]•E ODNO PRODOLVENIE MERY (SOOTWETSTWENNO KONE^NO-ADDITIWNOJ MERY) m, TO W

ssn

313

w KA^ESTWE PRILOVENIQ POLU^ENNOGO REZULXTATA POKAVEM, ^TO WOZMOVNOSTX RASPROSTRANITX SWOJSTWO 192.4 NA POSLEDOWATELXNOSTI MNOVESTW HARAKTERIZUET MERY.

3. kONE^NO-ADDITIWNAQ MERA m : S ! R+ NA POLUKOLXCE S QWLQETSQ MEROJ TTOGDA DLQ WSQKOGO X 2 S I L@BOGO EGO S^•ETNOGO POKRYTIQ fXng (Xn 2 S) WERNO NERAWENSTWO

dOSTATO^NOSTX SLEDUET IZ 192.3. dLQ DOKAZATELXSTWA NEOBHODIMOSTI OGRANI^IMSQ SLU^AEM, KOGDA S | KOLXCO. fdEJSTWITELXNO, ESLI S | POLUKOLXCO, TO, PRODOLVIW MERU m DO MERY m0 NA E(S), ZAMETIM, ^TO NERAWENSTWO (2) BUDET SPRAWEDLIWO, ESLI SPRAWEDLIWO SOOTWETSTWU@]EE

x195. wNE[NQQ MERA

1. pUSTX S | POLUKOLXCO S 1 W E I m | MERA NA S. dLQ WSQKOGO

K MERE m). oTMETIM NEKOTORYE SWOJSTWA WNE[NEJ MERY:

314

315

TAK ^TO X 2 L(S; m) I, W ^ASTNOSTI, X = m0X: > sFORMULIRUEM OSNOWNOJ REZULXTAT \TOGO PARAGRAFA.

3. t E O R E M A. kLASS L IZMERIMYH PO lEBEGU MNOVESTW QWLQETSQ ALGEBROJ, A FUNKCIQ jL (OGRANI^ENIE NA L) | MERA.

dOKAVEM PREDWARITELXNO LEMMU.

4. pUSTX X 2 L I

st

dOKAZATELXSTWO TEOREMY 3 PROWEDEM• PO SLEDU@]EMU PLANU:

5.pOKAVEM, ^TO L ZAMKNUT OTNOSITELXNO OPERACII c ).

6.pOKAVEM, ^TO X; Y 2 L WLE^•ET X [ Y 2 L.

7.uSTANOWIM, ^TO = j L | KONE^NO-ADDITIWNA.

iZ PP. 5,6 TOGDA SLEDUET, ^TO L | ALGEBRA, A IZ P. 7, 195.4 I 194.3 WYTEKAET, ^TO -ADDITIWNA NA L, I TEOREMA DOKAZANA. iTAK, OSTALOSX USTANOWITX PP. 5{7.

316

dOKAZATELXSTWO P. 5:

X 2 L ) Xc + Xcc = Xc + X = mE ) Xc 2 L:

dOKAZATELXSTWO P. 6. pUSTX X; Y 2 L I fXig; fXj0g; fYpg; fYq0g | PO- KRYTIQ SOOTWETSTWENNO MNOVESTW X; Xc; Y; Y c \LEMENTAMI S TAKIE, ^TO WNUTRI KAVDOGO SEMEJSTWA MNOVESTWA POPARNO NE PERESEKA@TSQ I

oCENIM POSLEDNIE DWA SLAGAEMYH W PRAWOJ ^ASTI (2). pUSTX p0; q0 | FIKSIROWANNYE ^ISLA. tOGDA

317

dOKAZATELXSTWO P. 7. dOSTATO^NO USTANOWITX, ^TO X; Y 2 L; X \ Y = ; WLE^ET• (X + Y ) = X + Y . w SILU 195.4 NUVNO LI[X POKAZATX, ^TO (X + Y ) X + Y . sNOWA RASSMOTRIM SISTEMU POKRYTIJ, OPRE- DEL•ENNU@ W (1). tOGDA