20

2.2.Расчет устойчивости замкнутой системы

1.С помощью передаточной функции разомкнутой системы (4) записать характеристическое уравнение замкнутой системы (6).

2.Составить матрицу Гурвица (7) и найти условия устойчивости замкнутой системы для закона управления № 6 по коэффициентам k1 , k2 , k3 .

Полагая k2 =0 , k3 = 0 найти область устойчивости по коэффициенту k1 . Выбрать значение коэффициента k1 из данной области устойчивости и при его фиксированном значении построить область устойчивости по коэффициентам k2 , k3 с помощью полученных неравенств из критерия Гурвица или с помощью графо-аналитического способа на основе неравенства (20).

Для использования графо-аналитического способа необходимо построить годограф k1W ( jω) с помощью одной из программ, составленных в Script-файле для заданного варианта системы:

%Вариант 1. Система стабилизации скорости %Исходные данные системы

ktg=0;%коэффициент тахогенератора равен 0 или 0.8 k1=100;k2=1e-20;k3=1e-20;%ввод параметров регулятора (k2=0, k3=0) ky=10;kp=0.1;kdv=0.1;kdvf=0.001;

Ty=0.01;Tdv=1;T=0.005; %Передаточные функции

Wy=tf([ky],[Ty 1]);% усилитель Wdv=tf([kdv],[Tdv 1]);% двигатель

k1W=k1*Wy*Wdv/(1+Wy*Wdv*ktg)*kp% разомкнутая k1*W(p) Wpeg=k1+tf([k2 0],[1])+tf([k3],[1 0]);% идеальный регулятор

%АФЧХ для k1*W(p) и смещенная окружность figure(1);nyquist(k1W,{0.7,100});hold on; w=1.e-5:0.01:1000;p=i*w; plot(-sign(k1)*(sign(k1)+sign(k2)*p+sign(k3)./p).^(-1)+i*1e-9); %Вычисление корней замкнутой системы без регулятора

W=Wy*Wdv/(1+Wy*Wdv*ktg)*kp;

pn=esort(tzero(1+W))

%Вычисление корней замкнутой системы с регулятором

Wpas=Wpeg*Wy*Wdv/(1+Wy*Wdv*ktg)*kp;

pg=esort(tzero(minreal(1+Wpas)))

%Построение переходной характеристики системы с регулятором figure(2);tk=5;step(Wpas/(1+Wpas),tk);hold on; t=0:0.1:tk;y1=1.05+0*t;y2=0.95+0*t; plot(t,y1,'k--',t,y2,'k--');grid on;

21

% Вариант 2. Следящая система по углу % Исходные данные системы

ktg=0;% коэффициент тахогенератора равен 0 или 0.8 k1=100;k2=1e-20;k3=1e-20;% ввод параметров регулятора (k2=0, k3=0) ky=10;kp=0.1;kdv=0.1;kdvf=0.001;

Ty=0.01;Tdv=1;T=0.005; %Передаточные функции

Wy=tf([ky],[Ty 1]);% усилитель Wdv=tf([kdv],[Tdv 1 0]);% двигатель

k1W=k1*Wy*Wdv/(1+Wy*Wdv*ktg)*kp% разомкнутая k1*W(p) Wpeg=k1+tf([k2 0],[1])+tf([k3],[1 0]);% идеальный регулятор

%АФЧХ для k1*W(p) и смещенная окружность figure(1);nyquist(k1W,{0.7,100});hold on; w=1.e-5:0.01:1000;p=i*w; plot(-sign(k1)*(sign(k1)+sign(k2)*p+sign(k3)./p).^(-1)+i*1e-9); %Вычисление корней замкнутой системы без регулятора

W=Wy*Wdv/(1+Wy*Wdv*ktg)*kp;

pn=esort(tzero(1+W))

%Вычисление корней замкнутой системы с регулятором

Wpas=Wpeg*Wy*Wdv/(1+Wy*Wdv*ktg)*kp;

pg=esort(tzero(minreal(1+Wpas)))

%Построение переходной характеристики системы с регулятором figure(2);tk=5;step(Wpas/(1+Wpas),tk);hold on; t=0:0.1:tk;y1=1.05+0*t;y2=0.95+0*t; plot(t,y1,'k--',t,y2,'k--');grid on;

Приведенный текст программы можно скопировать из электронной версии лабораторной работы и вставить в рабочее поле m-file, которое открывается при нажатии левой верхней кнопки в среде MATLAB. Затем выполнить программу (после присвоения ей именем из латинских букв и цифр без пробелов) нажатием кнопки со стрелкой ↓ (Run) на панели инструментов m-file. При этом вычисленные переменные в Script-файле являются глобальными и доступны в любом другом Script-файле, а также в среде MATLAB.

В программе также осуществляется вычисление корней характеристического уравнения замкнутой системы без регулятора и с регулятором, которые выводятся в рабочей среде MATLAB, и строится переходная характеристика замкнутой системы с регулятором.

В качестве примера рассмотрим вариант 2 с заданными параметрами, для которого на рис. 10 представлена АФЧХ k1W ( jω) , на рис. 11 – переходная характеристика

22

корни характеристического уравнения замкнутой системы: без регулятора для

Рис. 10 Рис. 11 Из полученных результатов следует, что для передаточной функции ра-

зомкнутой системы k1W ( p) замкнутая система устойчива, но обладает плохими динамическими свойствами.

Параметры ω* , a, b в формуле (20) определяются из графика рис. 10 при движении курсора по характеристике k1W ( jω) до точки пересечения, в которой

найдены значения ω* =3,31, a = −0,922 , b = −0,261, по которым согласно неравенству (20) для принятого коэффициента k1 =100 найдем условие устойчивости k2 > 0,09; k3 −8,55 при k2 > 0 , k3 > 0 . Следует иметь ввиду, что вторая ветвь характеристики построена для −∞ <ω <0 и в расчетах не учитывается.