11
действие g1 1(t) , для которой аналогично рис. 2 можно использовать рассмотренные показатели качества. Аналогично, установившееся значение скорости ошибки
εуст = lim p p→0
t
Для ошибки ε(t) = ∫ε(τ
1 |
|
g1 |
= lim p |
pd1( p) |
|
g1 |
= 0 . |
(15) |
|
1+Wраз( p) |
p |
pd1( p) + m( p) |
p |
||||||
|
p→0 |
|
|
|
∞
)dτ справедливо равенство εуст = ∫ε(t)dt =εск , и макси-
0 0
мальное значение ошибки εmax >εуст зависит от времени нарастания tн : чем
меньше tн , тем меньше εmax .
Для системы с астатизмом второго порядка ( v = 2 ) в этом случае установившаяся ошибка, очевидно, равна нулю.
Астатизм системы может быть реализован как введением интегрального слагаемого в закон регулирования (№ 3, 5, 6 таблицы 1), так и наличием интегрирующих звеньев в передаточной функции W ( p) .
Таким образом, установившаяся ошибка согласно выражениям (12), (13) зависит от коэффициента передачи разомкнутой системы kраз, т.е. чем больше
его значение, тем меньше установившаяся ошибка.
1.2.2. Устойчивость замкнутой системы
Рассмотрим отдельно свойство устойчивости системы с законом управления № 4, №5 и № 6 таблицы 1 в сравнении с законом управления №1 при k1 > 0 , k2 > 0 , k3 > 0 .
Будем полагать, что разомкнутая система с передаточной функцией Wраз( p) = k1W ( p) устойчивая, и годограф k1W ( jω) в области высоких частот
имеет вид годографа-1 на рис. 4. При увеличении коэффициента k1 система приближается к границе устойчивости, а затем становится неустойчивой (годо- граф-2).
1. Для закона управления № 4 передаточную функцию (3) разомкнутой
12
системы можно представить в виде
Wраз( p) = k1W ( p)(1+Tp) , |
(16) |
где T = k2 / k1 .
Рис. 4 |
Рис. 5 |
Найдем условие, при котором замкнутая система с передаточной функцией (16) выходит на границу устойчивости. Согласно (8) получим уравнение
k W ( jω) = − |
|
|
1 |
, |
(17) |
|
|
|
|||
1 |
1 |
+ jTω |
|
|
|
|
|
|
|||
которое графически на рис. 4 означает пересечение годографов k1W ( jω) (годо- граф-2) и −1/(1+ jTω) (годограф-0) при изменении 0 ≤ω ≤∞ в точке А при
ω =ω* .
Найдем область устойчивости по коэффициенту k2 . Для этого левую
часть уравнения (17) представим в виде |
|
k W ( jω*) = a + jb , |
(18) |
1 |
|
где значения ω* , a, b определяются из графика рис. 4. Тогда получим уравнение
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
a + jb = − |
|
|
|
1 |
, |
|
|
|
|
+ jTω* |
||||
|
|
1 |
|
||||
из которого найдем |
a = −1/ (1+T 2ω*2 ), |
|
b =Tω* / (1+T 2ω*2 ) и, следовательно, |
||||
b / a = −Tω* . Отсюда, учитывая, |
что T = k |
2 |
/ k , получим критический коэффици- |
||||
|
|
|
|
1 |
|
||
ент усиления kкр = −bk / (aω*) , |
при котором замкнутая система находится на |
||||||
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
границе устойчивости. k2кр > 0 , т.к. a = −1/ (1+T 2ω*2 )<0. Поскольку при k2 < k2кр
(например, при k2 = 0 для годографа-2) система неустойчивая, то при k2 > k2кр система устойчивая и, следовательно, закон управления № 4 расширяет область устойчивости системы по коэффициенту k1.
Годограф-1 не пересекается с годографом-0, следовательно, замкнутая система устойчива при k1 > 0 .
2. Для закона управления № 5 передаточную функцию (3) разомкнутой
системы можно представить в виде |
|
|
|
|
W |
( p) = k W ( p) ( p + k3 / k1) |
, |
(19) |
|
раз |
1 |
p |
|
|
|
|
|
|
|
Найдем условие, при котором замкнутая система с передаточной функцией (19) выходит на границу устойчивости. Согласно (8) получим уравнение
k1W ( jω) = − |
|
jω |
, |
|
k3 |
/ k1 + jω |
|||
|
|
которое графически на рис. 5 означает наличие пересечения годографов
k1W ( jω) (годограф-1) и − jω/(k3 / k1 + jω) |
(годограф-0) при изменении 0 ≤ω ≤∞ |
||
в точке А при ω =ω* . |
|
|
|
Найдем область устойчивости по коэффициенту k3 . Для этого с учетом |
|||
представления (18) из уравнения |
|
|
|
a + jb = − |
|
jω* |
|
|
, |
||
k / k + jω* |
|||
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
найдем a = −k 2ω*2 |
/(k 2ω*2 |
+ k 2 ) , |
b = −k k ω* |
/(k2ω*2 +k2 ) |
и b / a = k |
/(k ω*) , |
где |
||||
|
1 |
|
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
3 |
1 |
|
значения ω* , |
a, b определяются из графика k W ( jω) |
на рис. 5. Следовательно, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
при kкр =bω*k |
/ a |
замкнутая система находится на границе устойчивости. По- |
|||||||||
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
скольку при k |
3 |
< kкр (например, при k = 0 ) система устойчивая, то при k > kкр |
|||||||||
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
3 |
|
система неустойчивая и, тем самым, закон управления № 5 сужает область устойчивости системы по коэффициенту k1. Так, например, для годографа-2 замкнутая система неустойчива при k3 > 0 .
3. Для закона управления № 6 передаточную функцию (3) разомкнутой
системы можно представить в виде |
|
|
|
|
|
|
|
W |
( p) = k W ( p) |
( p2k |
2 |
/ k |
+ p + k / k ) |
. |
(20) |
|
1 |
3 1 |
|||||
раз |
1 |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем условие, при котором замкнутая система с передаточной функцией (20) выходит на границу устойчивости. Согласно (8) получим уравнение
|
k1W ( jω) = − |
|
|
|
jω |
|
, |
|
|
|
(k |
−k ω2 ) / k |
+ jω |
|
|||
|
|
3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
которое |
графически на рис. 6 означает |
наличие |
пересечения |
годографов |
||||
k W ( jω) |
(годограф - 1) и − jω/[(k |
−k ω2 ) / k + jω] (годограф - 0) |
при измене- |
|||||
1 |
3 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
нии 0 ≤ω ≤ ∞ в точке А при ω =ω* .
15
Рис. 6 |
Рис. 7 |
Найдем область устойчивости по коэффициентам k2 , k3 . Для этого с учетом представления (18) из уравнения
|
|
|
|
a + jb = − |
|
|
jω* |
|
|
_ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
(k |
−k ω*2 ) / k |
+ jω* |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−ω*2 |
|
|
|
|
−ω*(k −k ω*2 ) / k |
|
b |
|
k −k ω*2 |
|
|||||
a = |
|
|
|
|
|
, |
b = |
|
3 |
2 |
1 |
, |
|
= |
3 2 |
, |
||
(k |
|
−k ω*2 )2 |
/ k 2 |
+ω*2 |
(k −k ω*2 )2 |
/ k2 +ω*2 |
a |
|||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
k ω* |
|
||||||||||
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
3 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
где ω* , a, |
b определяются из графика k W ( jω) |
на рис. |
6. |
Следовательно, при |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
k2кр =k3 / ω*2 −k1b / (aω*) замкнутая система находится на границе устойчивости. Согласно предыдущему, условие устойчивости замкнутой системы опре-
деляется неравенством
k |
2 |
>k /ω*2 |
−k b /(aω*) . |
(21) |
|
3 |
1 |
|
Если годограф-1 пересекает годограф-0 в двух точках (рис. 7), то область
устойчивости оценивается неравенствами:
k2 >k3 /ω1*2 −k1b1 /(a1ω1*) , k2 <k3 /ω2*2 −k1b2 /(a2ω2*) ,