Разбор заданий 1
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет»
Фёдоров С. А.
РАЗБОР МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ № 1 подготовительных курсов «Основы алгоритмизации»
(для подготовки к вступительному испытанию)
Санкт-Петербург
2014
Разбор заданий
1. Две ракеты летят по прямой навстречу друг другу со скоростями 200 км/мин и 240 км/мин с расстояния 1700 км друг от друга. Каково будет расстояние между ракетами за минуту до столкновения?
Разбор метода решения. Подобные задания отличаются лёгкостью решения, равно как и лёгкостью того, как могу увести в сторону. Не следует решать её в лоб, определяя, сколько пролетит каждая из ракет и т. п. Проще приступить к ней с конца, когда ракетам остаётся лететь всего одну минуту до столкновения. Задумавшись, что они друг на встречу друг другу преодолевают расстояние в течение одной минуты, довольно быстро приходим к выводу, что достаточно найти их совместную скорость сближения v=v1+v2=200+240=440 км/ мин . Именно эта скорость определяет, какое расстояние они
пролетят за одну минуту: S=v 1 мин=440 км .
2. Почему восьмизначное число abcdabcd , полученное двойной последовательной записью любого четырёхзначного числа abcd , всегда делится на 137?
Разбор метода решения. Раз рассматривается любое число четырёхзначное число abcd , то на него и не стоит смотреть. Свойство делимости на 137 числа abcdabcd определяется его записью, именно поэтому для решения необходимо обратить внимание на его построение: abcdabcd=abcd0000+abcd =abcd (1000+1)=abcd 10001 . Число 10001 всегда делится на 137, а значит и любое четырёхзначное число, записанное в форме abcdabcd , будет делиться на 137.
3. Прямоугольный треугольник ABC вписан в четверть окружности так, как показано на рисунке. Найдите длину гипотенузы
AC .
Разбор метода решения. Первое, что здесь дано, это радиус окружности: R=6+6=12 . Задача опять скорее на смекалку, чем на одну из теорем о треугольниках или окружностях. Отрезок AC определённо равен отрезку OB , который в точности является радиусом окружности, а значит и искомый отрезок AC равен ему.
AB
C
66
4. В семье профессора трое детей. Про успехи двух сыновей он уже рассказывал. Какова вероятность того, что в его семье есть дочка, если понятно, что у него нет близнецов?
Разбор метода решения. При решении подобных задач на вероятность самым важным является правильное рассмотрение всех возможных случаев. Первое, что здесь приходит в голову это вероятность 0,5. Но это справедливо лишь в том случае, если рассматривать рождение третьего по возрасту ребёнка, а здесь про возраст ничего не сказано, включая возраст сыновей. Все возможные случаи, когда в семье трое детей и двое из них мальчики, следующие: МММ, ММД, ДММ, МДМ, а значит искомая вероятность равна ¾.
5. Студент еженедельно любит ходить в два кинотеатра по разные стороны от ст. м. «Политехническая» и свой выбор отдал на откуп случайности: спускаясь в метро, садится на первый пришедший поезд. В каждом направлении интервал движения между поездами 4 минуты. К выпуску оказалось, что за 3 года билетов в один из них накопилось в 4 раза больше, чем в другой! Объясните такой выбор случайности.
Разбор метода решения. В подобных невероятных заданиях не стоит искать хитрости и пробовать увернуться от решения. Поезда в обоих направлениях ходят с одинаковым периодом, а значит поток поездов в обе стороны одинаков и поезда не скапливаются в одном из депо. И очевидно, что приходят они не одновременно. Более того, модель, рассматриваемая в этом задании довольно адекватно описывает реальную ситуацию в метрополитене. Важно понимать, что время — 3 года — указано здесь лишь для того, чтобы рассматриваемый промежуток был довольно большим и случайный процесс выходил на
стационар. Очевидно, что интервал 4 минуты слабо связан с тем, во сколько раз больше скопилось у студента билетов в один из кинотеатров. Наиболее эффективный способ решения подобной задачи — рассмотрение конкретного случая, когда в начале приходит один из поездов, через некоторое время с другой стороны и опять следующий за первым. Если рассматривать промежуток 4 минуты, на котором это происходит, то используя геометрическую интерпретацию вероятности, можно догадаться, что в эти 4 минуты студент будет чаще попадать в больший отрезок времени, а значит будет дожидаться поезда в конце этого отрезка времени.
6. В одной деревне по обычаям заводили детей следующим образом: в семьях, где рождалась девочка детей больше на заводили, в семьях, где рождался мальчик, заводили следующего ребёнка, пока не рождалась девочка. Если считать рождение мальчика и девочки в семье равновероятным, то к какому соотношению мужского и женского пола стремится население такой деревни?
Разбор метода решения. Первое, что можно сделать, это попробовать догадаться до ответа в задаче. Если же рассмотреть модель рождаемости произвольного города, например, Санкт-Петербурга, в которой рождение мальчика и девочки в семье является равновероятным, то очевидно, что соотношение мужского и женского населения в таком городе будет одинаково, если не учитывать в модели других факторов. При этом абсолютно безразлично, по какой причине перестают заводить детей в семье. Семья может руководствоваться материальными соображениями и другими вещами, включая и подобные обычаи. Это никак не влияет на статистику и соотношение мужского и женского населения в такой модели.
7. Дано произвольное кольцо, в котором может уместиться отрезок прямой максимальной длины 2π см (см. рис.). Какова площадь такого произвольного кольца?
Разбор метода решения. Раз кольцо дано произвольное, то ответ никак не зависит от его внутреннего и внешнего радиусов. Это означает, что мы должны выразить ответ, содержащий оба радиуса, через единственное данное — длину отрезка L. Понимая, что площадь кольца это разница площадей окружностей с внешним и внутренним радиусом, и делая элементарные
L
построения, мы приходит к ответу, выраженному через оба радиуса S=πR2−πr2=π (R2−r2) . Делая простейшие построения, видим, что половина отрезка — это катет треугольника с катетом, равным внутреннему радиусу, и гипотенузой, равной внешнему радиусу. Отсюда
сразу получаем S=π (R2−r2)=π ( L2 )2=π3 см2 . Полезно понять, почему площадь кольца,
выраженная в квадратных сантиметрах, равна функции, в которую число Пи входит в кубе, а не в квадрате, и это не нарушает размерности.
8. Имеются ролики с одинаковыми колёсами. Из-за распределения нагрузки переднее колесо изнашивается через 300 км, а заднее — через 500 км. Через сколько км катания на новых роликах необходимо поменять колёса местами, чтобы они износились одинаково?
Разбор метода решения. Когда задача ставит в недоумение и вы колеблетесь между параметрами, которые нужно рассмотреть (стирание обода колеса, скорость стирания и т. п.), приступайте к решению с конца. Представьте, что вы знаете ответ и решили поменять колёса именно сейчас, что будет правильным поступком, раз это решение. Какой информацией вы потенциально можете руководствоваться при этом? Во-первых, это пройденное расстояние на колёсах, что и является, собственно, ответом к заданию. Во-вторых, это должен быть какойто ещё параметр, характеризующий износ колёс. В выборе этого параметра и состоит основная сложность этой задачи. Мы захотим поменять колёсам местами, потому что заднее
износится меньше, чем переднее. Спереди заднее колесо в таком случае прослужит дольше, чем переднее. Значит ресурс колеса является прекрасным параметром в этой модели. Функция ресурса линейна относительно пройденного расстояния x, раз больше ничего не сказано — Рз.к.(x)=ax+b (более того, информации в задаче недостаточно, даже если бы мы
захотели представить ресурс как квадратичную функцию от x). Эту функцию можно написать сходу, а можно получить методично: например, для заднего колеса при 0 км ресурс равен 1, при 500 км ресурс равен 0, что даёт нам систему уравнений
{aa5000++bb==10}→b=1,a=−5001 → Рз.к.(x)=500500−x .
После получения этого параметра составление уравнения и его решение не составляет никакого труда.
9. Имеется два стакана с 350 мл воды и вина, соответственно. 100 мл воды из первого стакана переливают во второй, размешивают и переливают 100 мл жидкости из второго стакана в первый. Чего больше: воды в вине или вина в воде и во сколько раз?
Разбор метода решения. Пример задания, когда нужно просто аккуратно записать все происходящие процессы. После первого мы просто забираем воду из первого стакана и добавляем её во второй: в А 250 мл воды и в Б 350 мл вина и 100 мл воды. Основная сложность состоит в переливании из второго стакана 100 мл. Всего в нём 450 мл, причём в
одном мл содержится 350вино+100вода мл. Забирая из второго стакана 100 мл, мы должны 450
умножить эту величину на 100, вычесть её из содержимого второго стакана и добавить в
первый стакан: в Б 350 мл вина и 100 мл воды −350 вино+100 вода 100 , в А 250 мл воды 450
+ 350вино+100вода 100 . В результате в стакане А 272 мл воды и 77 мл вина, а в Б 272 мл 450
вина и 77 мл воды.
10. За столом в кафе «Политехник» уместилось 7 студентов. Какова вероятность того, что двое или большее число из них родились в одно и то же число месяца (но, быть может, в разные месяцы и годы)? Год описывать моделью из двенадцати месяцев по 30 дней в каждом.
Разбор метода решения. Ещё одним методом решения задач на вероятность является нахождение вероятности противоположного события, а потом вычитание её из единицы, чтобы получить искомую вероятность. Это особенно полезно, когда сложно формализовать вероятность искомого события. Так и в этой задаче. Имеет смысл найти сперва вероятность того, что ни у одного студента не совпадает число дня рождения. Фиксируя одного из студентов, определяем вероятность того, что у второго из них не совпадёт с ним число дня
рождения: 2930 . Идя тем же путём, получаем вероятности того, что у третьего из них не
совпадёт число дня рождения с первыми двумя и т. д. Очевидно, что несовпадение числа дня рождение возможно лишь, когда у 7-ого студента оно не совпадает с шестью оставшимися
студентами, |
у 6-ого — с пятью оставшимися |
и т. д. Вероятность этого события равна |
|||||||
P |
против. |
=29 28 27 26 25 24 . |
Вычитая |
её |
из |
единицы, |
получаем |
искомую |
|
|
30 30 30 30 30 30 |
|
|
|
|
|
|
||
P=1−2639 |
= 2986≈0,53 . |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
5625 |
5625 |
|
|
|
|
|
|
|
11. Модель античной вазы представляет из себя фигуру вращения кривой |
y = 2x2 |
|||||||
вокруг вертикальной оси симметрии. Если положить в такую вазу шарик достаточно большого радиуса, например, r = 5 , то он будет касаться стенок и застрянет, не достав до дна, если достаточно малого, например, r =0,1, то он будет лежать на дне. При каком
радиусе шарик будет касаться боковых стенок и дна одновременно?
Разбор метода решения. Подобную задачу следует решать методично и не спеша. Если разместить центр координат на дне вазы, что шарик описывается уравнением
x2 + ( y − r)2 = r2 . Первым делом полезно понять, что из всей модели шарика понадобится
уравнение его нижней части, ведь именно ей |
он будет качаться вазы: |
yш=r−√ |
r2−x2 |
, |
|||
x [− r, r] . Понятно, что для выполнения поставленного в условии задачи, |
уравнение |
||||||
нижней части шарика должно иметь три общие с уравнением вазы точки: |
yш (x)= yв (x) . |
||||||
Решение этого уравнения даёт, что это точка |
x=0 и точки x=±√ |
r−0,25 |
, |
x [−r ,r ] , |
|||
0,25<r≤0,5 . Но это не единственное условие, которое должно выполняться. Условие того,
что уравнение шарика должно лежать не ниже вазы |
yш (x)≥ yв (x) , является |
вполне |
|
очевидным и даже безобидным, но именно оно даёт |
условие r≤x2+0,25 , |
которое |
|
противоречит условию, полученному выше для x [−r ,r ] . На практике, |
если |
всё же |
|
умудриться положить шарик в такую вазу, то он будет выпирать из неё. |
Пограничным |
||
значением является r=0,25 . Если постепенно увеличивать радиус шарика с 0 до 0,25, то он будет касаться только дна, но при значении 0,25 он тут же будет касаться стенок и оторвётся от дна. Это связано с тем, что для x [−r ,r ] , r=0,25 уравнение параболы растёт быстрее, чем уравнение шарика.
12. 64 заключённых военного лагеря собрали и объявили, что каждый день одного из них будут заводить в камеру, где есть только лампочка, которую можно включить или выключить (в самом начале выключена). Каждый раз заключённый выбирается случайным образом, при большом числе вызовов каждый побывает там сколь угодно много раз. Других средств обмена информацией они иметь не будут. Как только один из них скажет, что в камере побывали все хотя бы раз, их освободят, а в случае ошибки расстреляют. О какой стратегии должны договориться заключённые, чтобы их освобождение стало возможным, и как скоро это может произойти?
Разбор метода решения. Задача об обмене информацией, используя всего один ресурс, имеющий два сохраняющихся состояния. Вероятностная модель подобного процесса может описываться одной из марковских цепей, что изучаются в курсе теории случайных процессов. Но подобная модель сможет «всего лишь» показать, как вероятность угадывания того, что каждый заключённый побывал в комнате хотя бы один раз, зависит от числа прошедших дней. Здесь же требуется действовать наверняка, ведь на кону жизни заключённых. Ряд задач подобного рода опять же полезно решать с конца. Предположим, что мы знаем решение, и вот, один из заключённых говорит охране, что в комнате все побывали хотя бы по разу. И.. не ошибается! Ведь это решение. Какой информацией он потенциально может оперировать? Может ли это быть число дней? На вряд ли, ведь и миллиард прошедших дней не означает, что туда завели всех хотя бы по разу, хотя это очень вероятно (впрочем, люди столько пока не живут). Очевидно, что искомый параметр связан с числом заключённых — 64. Про себя он точно знает, что он там побывал, значит это число 63. Он должен 63 раза сосчитать какое-то уникальное событие. Приложив ещё усилий, можно догадаться, что он, как особенный, должен единственный выключать лампочку (или включать её, как договорятся звключённые), когда как другие включать по разу при появлении такой возможности. Лампочка здесь является своего рода фильтром ненужных событий, ненужных данных: она продолжает гореть, пока входят ненужные заключённые, до тех пор, пока не войдёт считающий. Похожие, но более сложные модели можно найти при передачи информации.