Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki

.pdf

Скачиваний:

100

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

6.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 423 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Краткий курс школьной математики	21

Тема IV. Формулы или тождества сокращен- ного умножения. Треугольник Пас- каля.

1.Квадрат суммы двух чисел: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 .

2.Квадрат разности двух чисел: (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 .

3.Разность квадратов: a2 − b2 = (a + b)(a − b) .

4.Куб суммы двух чисел:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) .

5.Куб разности: (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 = a3 − b3 − 3ab(a − b) .

6.Сумма кубов двух чисел: a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) .

7.Разность кубов: a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) .

8.Квадрат суммы трех чисел:

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc .

9.(a − b + c)2 = a2 + b2 + c2 − 2ab + 2ac − 2bc .

10.(a − b − c)2 = a2 + b2 + c2 − 2ab − 2ac + 2bc .

11.an −1 = (a −1)(an −1 + an−2 + ... + a +1), n N

12.a2 k +1 + 1 = (a +1)(a2 k − a2 k −1 + a2 k −2 − ... − a +1), k N .

Примеры на применение некоторых из этих формул Вычислить:

p 1	312 = (30 + 1)2 = 961
p 2	9992 = (1000 −1)2 = 998001
p 3	42 38 = (40 + 2)(40 − 2) = 1596 - все такие примеры можно ре-


	шать устно.
Разложить на множители:
p 4	a6	−1	= (a −1)(a5 + a4		+ a3 + a2 + a + 1) или
	a6	−1	= (a2	−1)(a4 + a2 +1) = (a + 1)(a −1)(a4 + a2 + 1) или
	a6	−1	= (a3	+1)(a3 −1) = (a + 1)(a2 − a +1)(a −1)(a2 + a + 1)
p 5	a5	+1 = (a +1)(a4 − a3			+ a2 − a +1)

22	В.А.Битнер

Треугольник Паскаля

Так называется таблица коэффициентов разложения степени бинома (двучлена) a + b .

Легко увидеть правило, по которому получаются члены каждой строки треугольника Паскаля.

0)	1				(a + b)0 = 1
1)	1	1			(a + b)1 = 1 a +1 b
2)	1	2	1		(a + b)2 = 1 a2 + 2 ab +1 b2
3)	1	3	3	1	(a + b)3 = 1 a3 + 3 a2b + 3 ab2 + 1 b3
4)	1	4	6	4 1	(a + b)4 = 1 a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4 ab3 + 1 b4
5)	1	5 10 10 5 1			(a + b )5	= 1 a 5 + 5 a 4 b + 10 a 3 b 2 + 10 a 2 b 3 + 5 ab 4 + 1 b 5
6)	1	6 15 20 15 6 1			( a + b )6	= 1 a 6 + 6 a 5 b + 15 a 4 b 2 + 20 a 3 b 3 + 15 a 2 b 4 + 6 ab 5 + 1 b 6

……

p(2 − m)5 = 32 − 5 16m +10 8m2 −10 4m3 + 5 2m4 − m5 = 32 − 80m + 80m2 − 40m3 +10m4 − m5

Тема V. Разложение многочленов на множи- тели. Способы разложения. Деление многочленов.

o 1 Выражение, состоящее из чисел и букв, связанных между собой операциями умножения и возведения в степень, называется

одночленом.

o 2 Алгебраическая сумма одночленов называется многочленом.

Способы разложения многочленов на множители.

1. Вынесение общего множителя за скобки.

p 1	6	a3b2	ab ab		a	2b	−1) ;
	6		− 3	= 3 (2			−1) ;

Краткий курс школьной математики

Способ группировки.

p 2

a2b

ab2

−

− 2

+ 2 =

(

−

) − 2(

−

) = (

−

)(

− 2)

3. Способ применения формул сокращенного умножения.

p 3

m3 − 64 = (m − 4)(m2 + 4m +16)

p 4

8 +12a + 6a2 + a3 = (2 + a)3

Комбинированный способ.

p 5

− 2

+1 −

− 2 −1 =

(

−1)

− (

+1)

(

)(

−

− 2)

Деление многочленов.

uРазделить многочлен P(x) на многочлен S(x) – значит найти многочлен Q(x) (частное) и R(x) (остаток), удовлетворяющие двум требованиям:

1.P ( x ) = Q ( x ) S ( x ) + R ( x ) ;

2.Степень R(x) меньше степени S(x).

p 1 8x3 +16x2 − 2 x + 4 4x2 − 2 x + 1

8x3 − 4 x2 + 2x 2x + 5 = Q( x)

20x2 − 4x + 4

20x2 −10 x + 5

6x −1 = R( x)

p 2 x3 − 3x − 2				x − 2
	x3 − 2x2			x2 + 2x +1 = Q( x)

	2x	2	− 3x − 2
	2x	2	− 4 x
			x − 2
			x − 2	R=0

24	В.А.Битнер

Упражнения для самостоятельного решения

Разложить многочлены на множители с целыми коэффициентами:

p 1	10	a3	b3	+ 4	ab2	−15	a2b
	10		− 6	+ 4		−15
p 2	p2 + pq − 2q2
p 3	12 + x3 − 4x − 3x2
p 4	2m − m2 −1 + n2
p 5	y3 − 5 y2 − 2 y +16
p 6	Разделить P( x) = 2x4 + 3x3							− 2x + 5 на S ( x) = x2 + x + 1
p 7	Разделить P( x) = 5x3 − 4x2							+ x − 2 на S ( x) = x − 2

Ответы:

(2a − 3b)(5a2 + 2b3 ) ( p + 2q)( p − q)

(2 + x)(2 − x)(3 − x) (n + m −1)(n − m +1) ( y − 2)( y2 − 3 y − 8)

Q( x) = 2x2 − 2x + 3; R( x) = −3x − 8 Q( x) = 5x2 + 6x +13; R = 24

Тема VI. Степень числа и его свойства. Дей-

		ствия со степенями.

o 1	an = a a ... a
o 1	an = a a ... a

			n
o 2	a0 = 1
o 2	a0 = 1
o 3	a−n =	1
o 3		1
		n
		n
		a

Краткий курс школьной математики	25

Свойства степени с натуральным показателем.

1.	am an = am+n
2.	am ÷ an = am−n
3.	(ab)n		= an bn		Эти свойства верны и для степени с целым и
	a	n		a	рациональным показателями.
				n
4.			=
				n
	b			b
5.	(am )n = amn

Действия со степенями.

Упростите выражения:

p 1 1

+ c2 − a2

−

÷ 1

a b + c

2bc

b + c + a

b + c − a

2bc + b2 + c2 − a2

a(b + c)

2bc

(b + c + a) a (b + c)

(b + c + a)(b + c − a)

a (b + c) (b + c − a)

2bc

(b + c − a)2

p 2

−6

− 64

+ 1)

−

−1 + x−2

4 + 2 x

4 −

1 − 2x

( x−3

− 8)( x−3 + 8)

−

4x2 (2x + 1)

4 + 2x−1 + x−2

4 x2 − 4x + 1

1 − 2x

−1

−2

−1

−3

− 8)

( x

− 2) ( x

+ 4) ( x

+ 1)

−

(2x − 1)2

4 + 2 x−1 + x−2

1 − 2 x

(1 −

2x) (1 +

) x

(2 + 1)

−1 −

+ 4

x4 (2x − 1) 2

2 x − 1

(2x + 1) (2x − 1)

= 2x + 1 d

2x − 1

В.А.Битнер

p 3

−2

− a

−

− a

1 − a

+ a

− a

−

a 2 − a 2

a 3

a 2 − a 2

a 2

1 − a

= (1 − a)a

− 2

= −a0,5

− 2a−1,5

− 2a

−

a − 1

2 −

a 2

Упражнения для самостоятельного решения.

Упростить выражения:

p 1

−

− 3

+ 2 y x2 − y2

2 y − 2x x

2 − y2

p 2

−

+ 1

p 3

a−1

− b−1

a−1

+ b−1

4ab

−1

−

+ b−1

p 4

a−1

− b−1

b2 − a2

x − 1

0,5

+ 1

−0,5

x1,5

− 1

x + x 2 + 1

p 5

−

b + c

−

1 +

и вычислить при a = 0,02;

abc

b + c

b = -11,05; c=1,07

Ответы:

	x + 2 y		a − b
p 1		p 2		p 3 -1 p 4 x + 1 p 5 0,1

Краткий курс школьной математики	27

Тема VII. Модуль числа и его свойства.

o		a, e a ≥ 0
	a	=
		−a, e a < 0

Геометрический смысл модуля: | a | - это расстояние от точки A(a) на координатной прямой до начала координат.

p 1	3	= 3
p 2		= 0
	0
p 3	−5		= −(−5) = 5

Свойства:

1.a ≥ 0 ;

2.ab = a b ;

3.a = a , где b ≠ 0 ;

4.a + b ≤ a + b

z	a + b = a + b , e a и b одного знака

p 4

2 − 3

−1

= 1 <

−3

= 2 + 3 = 5

p 5

−1 − 4

−5

= 5 =

−1

−4

= 1 + 4

28	В.А.Битнер

Тема VIII. Арифметический корень n-ой степени и его свойства. Дейст- вия с корнями, упрощение сте- пеней с рациональными показа- телями .

1. Квадратный корень из числа и его свойства.

o 1 Арифметическим значением квадратного корня из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Пишут: a

Из определения следует, что a ≥ 0, a ≥ 0, (a )2 = a .

Свойства:

a, e a ≥ 0

a2 =

;

−a, e a < 0

ab =

b , где a ≥ 0, b ≥ 0 ;

, где a ≥ 0, b > 0 ;

4.a a = a, где a ≥ 0 ;

5.(a )m = am , где a ≥ 0, m N ;

6.a − b = (a + b )(a − b ) .

p 1 Упростить выражение:

1 + x

1 − x

1 + x

1 +

2 x

+ x −1 − x

−

1 + x

1 +

1 + x

1 −

1 + x (1 + x )

Краткий курс школьной математики	29

4 x

−

1 − 2 x + x −1 − x

−

1 + x (1 − x )

(1 + x )(1 + x )

(1 + x )(1 − x )

4 x

−

4 x

1 −

2 x + x −1 − 2 x − x

(1 + x )

(1 − x )

1 + x

= −

16 x

или =

16x

(1 + x )(1 − x )2

(1 − x2 )( x −1)

p 2

Упростить выражение:

a2 − 4ab + 4b2

8ab

−

, 0 < a

< 2b

a2 − 4b2

a − 2b

a2 + 4ab + 4b2

(a − 2b )2

Имеем:

−

2 −

4b2 − a

2b − a

2b + a

(a + 2b )2

8ab

−

4b2 − 4ab + a2 + 8ab − 4b2 −

2ab

(2b + a )(

2b − a )

4b2 − a2

2b − a

+ 2ab

a (2b + a )

4b2 − a2

( b

a ) (

−

a )

2b − a

p 3

Упростить:

1 +

t + 4 + 2

t +

4 +

t + 4

+ t + 4 +

= t

(2 −

)

2 − t + 4

t + 4

t (

+ 2)2

t (t + 4 + 4

+ 4)

t + 4

t + 8

t + 4

(2 −

)(2 +

)

( 4 − t − 4 )

t + 4

+ 8

− t − 4 t +

4 −

8 + t + 8

= −4 d

t + 4

30	В.А.Битнер

2.	Арифметический корень n-ой степени и его свойства.

o 2 Арифметическим значением корня n-ой степени из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-ая степень которого равна a.

Пишут: na , где a ≥ 0, na ≥ 0, ( na )n = a .

Свойства:

Для любых натуральных n и m, больших 1, и любых неотрицательных a и b верны равенства:

1.	n	ab = n a n b ;
				n
2.		a	=	n	a	, b	≠ 0 ;
2.	n		=			, b	≠ 0 ;
	n
		b		n b

3.( na )m = nam ;

4.m na = mn a ;

5.na = nm am ;

6.na < nb , e0 ≤ a < b ;

2 n a2 n =

;

2 n +1 −a = −2 n +1 a ;

o 3

a n = n am

Упростить выражения:

p 1

x4 + 2x2 − 3x +1

(x2 + 1)2 − 3x

+ 2

−

3x −

27 x

x2 + 3x +1

(x2 +1 +

)(x2 + 1 −

)

+ 2 3x −1 = x2 + 1 − 3x + 2 3x −

x2 +

3x +1

−1 = x2 + 3x d

<<< < Предыдущая 1 23 / 423 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.03.20152.74 Mб10BhagavatGita_kak_ona_est.pdf
#
16.04.201995.65 Кб3Bilety_dlq_ekzamena_po_kursu_Socialogiq_i_psiho....docx
#
25.09.2019173.57 Кб4Bilety_IGA_po_190604TA4.doc
#
11.12.201995.23 Кб0bilety_os_1.doc
#
19.09.2019507.9 Кб12Biologia.doc
#
12.03.20156.54 Mб100Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki.pdf
#
08.09.2019652.29 Кб4biznes_plan_po_Petrulevich.doc
#
22.03.201663.12 Кб5breaking.pdf
#
12.03.2015931.33 Кб11Broshyura (1).doc
#
12.03.2015826.37 Кб10Broshyura.doc
#
23.11.2019823.3 Кб1Broshyura.doc