Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki
.pdfКраткий курс школьной математики |
11 |
|
|
Что надо знать по геометрии.
I. |
Краткий обзор планиметрии ....................................................... |
286 |
||
|
(1) |
Треугольники ................................................................... |
286 |
|
|
|
1. |
Виды треугольников в зависимости от углов, сто- |
|
|
|
|
рон................................................................................... |
286 |
|
|
2. |
Медианы, биссектрисы и высоты треугольников...... |
286 |
|
|
3. |
Свойства равнобедренного треугольника .................. |
286 |
|
|
4. |
Признаки равенства треугольников............................ |
286 |
|
|
5. |
Сумма углов треугольника .......................................... |
287 |
|
|
6. |
Соотношение между сторонами и углами тре- |
|
|
|
|
угольника....................................................................... |
287 |
|
|
7. |
Некоторые свойства прямоугольных треугольни- |
|
|
|
|
ков................................................................................... |
287 |
|
|
8. |
Признаки равенства прямоугольных треугольни- |
|
|
|
|
ков................................................................................... |
287 |
|
|
9. |
Подобные треугольники. Признаки подобия тре- |
|
|
|
|
угольников..................................................................... |
287 |
|
|
10. |
Средняя линия треугольника....................................... |
288 |
|
|
11. |
Теорема Пифагора ........................................................ |
288 |
|
|
12. |
Метрические соотношения в прямоугольном тре- |
|
|
|
|
угольнике....................................................................... |
288 |
|
|
13. |
Тригонометрические функции острого угла пря- |
|
|
|
|
моугольного треугольника........................................... |
289 |
|
|
14. |
Решение прямоугольных треугольников.................... |
289 |
|
|
15. |
Свойства биссектрисы треугольника.......................... |
290 |
|
|
16. |
Формула медианы........................................................ |
290 |
|
|
17. |
Теорема синусов ........................................................... |
291 |
|
|
18. |
Теорема косинусов........................................................ |
291 |
|
|
19. |
Решение треугольников ............................................... |
291 |
|
|
20. |
Четыре замечательные точки треугольника............... |
292 |
|
(2) |
Параллельные прямые..................................................... |
295 |
|
|
|
1. |
Углы, образованные при пересечении двух пря- |
|
|
|
|
мых третьей ................................................................... |
295 |
|
|
2. |
Аксиома параллельных прямых (Евклида) ................ |
295 |
12 |
В.А.Битнер |
|
3. |
Признаки параллельности двух прямых..................... |
295 |
4. |
Теорема Фалеса. ............................................................ |
296 |
(3) |
Четырехугольники ........................................................... |
297 |
1. |
Сумма углов выпуклого многоугольника |
|
|
(n-угольника).................................................................. |
297 |
2. |
Определение трапеции. Средняя линия трапеции..... |
297 |
3. |
Определение параллелограмма. Признаки парал- |
|
|
лелограмма..................................................................... |
297 |
4. |
Свойства параллелограмма .......................................... |
298 |
5. |
Прямоугольник и его свойства .................................... |
298 |
6. |
Ромб и его свойства....................................................... |
298 |
7. |
Квадрат и его свойства.................................................. |
298 |
8. |
Метрические соотношения в параллелограмме......... |
299 |
(4) |
Площадь............................................................................ |
299 |
1. |
Понятие площади. Аксиомы площади........................ |
299 |
2. |
Формулы площади треугольника ................................ |
299 |
3. |
Формулы площади параллелограмма.......................... |
300 |
4. |
Формулы площади ромба............................................. |
300 |
5. |
Формулы площадей треугольника и квадрата............ |
300 |
6. |
Формулы площади трапеции ....................................... |
300 |
7. |
Формулы площади произвольного четырехуголь- |
|
|
ника................................................................................. |
300 |
8. |
Формулы площади круга и кругового сектора........... |
301 |
(5) |
Окружность....................................................................... |
301 |
1. |
Определение окружности. Радиус, хорда, диа- |
|
|
метр, секущая................................................................. |
301 |
2. |
Касательная к окружности. Свойства касательной ... |
301 |
3. |
Центральные и вписанные углы. Теорема о впи- |
|
|
санном угле. Следствия ................................................ |
302 |
4. |
Метрические соотношения в окружности .................. |
303 |
5. |
Вписанный и описанный треугольники...................... |
303 |
6. |
Вписанный и описанный четырехугольники ............. |
304 |
7. |
Формулы радиусов окружностей, вписанной и |
|
|
описанной около треугольника.................................... |
304 |
8. |
Правильный многоугольник, описанная около не- |
|
|
го и вписанная в него окружность............................... |
305 |
9.Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его сторон и радиусов вписан-
ной и описанной окружностей ..................................... |
306 |
10. Длина окружности и длина дуги окружности............ |
306 |
Краткий курс школьной математики |
13 |
||
|
|
|
|
|
11. Уравнение окружности................................................. |
306 |
|
|
(6) |
Векторы............................................................................. |
307 |
|
1. Понятие вектора. Коллинеарные и равные векто- |
|
|
|
|
ры.................................................................................... |
307 |
|
2. Сложение и вычитание векторов, свойства................ |
308 |
|
|
3. Умножение вектора на число, свойства ..................... |
310 |
|
|
4. Угол между векторами. Скалярное произведение |
|
|
|
|
векторов и его свойства................................................ |
310 |
|
(7) |
Движения.......................................................................... |
312 |
|
1. Отображение плоскости на себя. Понятие движе- |
|
|
|
|
ния................................................................................... |
312 |
|
2. |
Осевая симметрия......................................................... |
312 |
|
3. |
Центральная симметрия............................................... |
313 |
|
4. |
Поворот.......................................................................... |
313 |
|
5. |
Параллельный перенос................................................. |
314 |
|
(8) |
Гомотетия ......................................................................... |
314 |
|
(9) |
Решение различных планиметрических задач.............. |
315 |
II. |
Основные определения и теоремы стереометрии..................... |
332 |
|
|
(1) |
Основные аксиомы стереометрии и следствия из |
|
|
|
них..................................................................................... |
332 |
|
(2) |
Скрещивающиеся прямые. Признак скрещиваю- |
|
|
|
щихся прямых.................................................................. |
333 |
|
(3) |
Признак параллельности прямой и плоскости ............. |
333 |
|
(4) |
Признак параллельности двух плоскостей.................... |
334 |
|
(5) |
Свойства параллельных плоскостей.............................. |
334 |
|
(6) |
Параллельная проекция и ее свойства........................... |
335 |
|
(7) |
Изображение фигур в стереометрии.............................. |
336 |
|
(8) |
Векторы в пространстве.................................................. |
337 |
|
(9) |
Признак перпендикулярности прямой и плоскости..... |
342 |
|
(10) |
Связь между перпендикулярностью и параллельно- |
|
|
|
стью в пространстве ........................................................ |
343 |
|
(11) |
Расстояние от точки до плоскости. Угол между на- |
|
|
|
клонной и плоскостью..................................................... |
344 |
|
(12) |
Теорема о трех перпендикулярах................................... |
344 |
|
(13) |
Симметрия относительно плоскости............................. |
345 |
|
(14) |
Двугранный угол. Линейный угол двугранного уг- |
|
|
|
ла. Угол между двумя плоскостями............................... |
345 |
|
(15) |
Понятие о многогранном угле. Трехгранный угол ...... |
347 |
|
(16) |
Признак перпендикулярности двух плоскостей........... |
347 |
III. |
Многогранники............................................................................. |
348 |
|
14 |
|
В.А.Битнер |
|
|
|
(1) |
Призма............................................................................... |
348 |
(2) |
Пирамида .......................................................................... |
350 |
(3) |
Правильные многогранники ........................................... |
351 |
(4)Формулы площадей боковых и полных поверхностей и объемов призмы, пирамиды и усеченной
|
пирамиды .......................................................................... |
352 |
IV. |
Призма, боковое ребро которой составляет равные углы с |
|
|
прилежащими сторонами основания. Решение различных |
|
|
задач на призмы............................................................................ |
353 |
V.Пирамиды с равнонаклонными ребрами и гранями. Реше-
|
ние различных задач на пирамиды ............................................. |
360 |
VI. |
Круглые тела ................................................................................. |
375 |
(1)Цилиндр. Развертка цилиндра. Sбок. и Sполн. цилиндра. Призма, вписанная в цилиндр и описанная
около него. Сечения цилиндра........................................ |
375 |
(2)Конус. Развертка конуса. Sбок. и Sполн. конуса. Пирамида, вписанная в конус и описанная около
|
него. Сечения конуса.................. |
....................................377 |
|
(3) |
Усеченный конус, его развертка, Sбок. и Sполн., |
|
|
|
Vусеч. конуса.................................................................... |
|
378 |
(4) |
Сфера и шар. Сечение шара. Плоскость, касатель- |
|
|
|
ная к сфере........................................................................ |
|
379 |
(5) |
Площадь сферы. Vконуса, цилиндра, усеченного |
|
|
|
конуса, шара. Решение задач .......................................... |
|
381 |
VII. Вписанный и описанный шары. Решение задач........................ |
390 |
||
VIII. Решение задач вступительных экзаменов и вступительных |
|
||
тестов |
по математике различных ВУЗов России..................... |
399 |
|
Краткий курс школьной математики |
15 |
|
|
Используемая литература
1.Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики: М.: «Просвеще-
ние», 1992
2.Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений: М.: «Просвещение», 1999
3.Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для 9 и 10 (читай: 10 и
11)классов средней школы: Под редакцией А.Н.Колмогорова: М.: «Просвещение», 1985
4.Клопский В.М., Скопец З.А., Ягодовский М.И. Геометрия. Учебное пособие для 9 – 10 (читай: 10-11) классов средней школы: М.: «Просвещение», 1983
5.Симонов А.Я., Бакаев Д.С., Эпельман А.Г. и др. Система тренировочных задач и упражнений по математике: М.: «Просвещение», 1991
6.Шарыгин И.Ф. Математика. Учебное пособие для поступающих в вузы: М.: Издательский дом «Дрофа», 1995
7.Сборник задач по математике для поступающих во втузы: Под редакцией М.И.Сканави: М.: «Столетие» МИЧ, 1997
8.Математика. Учебное пособие для абитуриентов: Составитель Г.А.Коротченко: Томск: Томский Госуниверситет систем управления и радиоэлектроники, 1999
Алгебра и начала анализа
Тема I. Основные законы арифметики и ал- гебры
Для a, b, c – действительных выполняются следующие законы.
1.Коммутативный закон сложения: a + b = b + a ;
2.Ассоциативный закон сложения: (a + b ) + c = a + (b + c ) ;
3.Коммутативный закон умножения: a b = b a ;
4.Ассоциативный закон умножения: (a b ) c = a (b c ) ;
5. Дистрибутивный закон умножения относительно сложения:
(a + b ) c = a c + b c ;
Приведенные 5 законов называют еще 5 основными законами арифметики и алгебры.
6. Дистрибутивный закон деления относительно сложения:
(a + b ) : c = a : c + b : c ;
7.Закон поглощения нуля: a + 0 = a ;
8.Закон противоположных чисел: a − a = a + (−a ) = 0 .
o 1 
Числа вида " a " и " −a " называются противоположными.
9.Закон поглощения a при умножении на 0 : a 0 = 0 ;
10.Закон обратных чисел: a : a = a = 1.
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
o 2 |
Числа вида " a " и " |
1 |
" называются обратными. |
|
a |
||||
|
|
|
||
|
|
|
|
11. Закон поглощения a при делении нуля: 0 : a = 0 ;
Краткий курс школьной математики |
17 |
|
|
12. Закон: на нуль делить нельзя.
Тема II. Некоторые вопросы теории мно- жеств
Множество – неопределяемое понятие. Под множеством понимается совокупность или класс предметов, объединенных одним и тем же свойством. Предметы эти называются элементами множества и обозначаются малыми буквами латинского алфавита. Сами множества обозначаются большими буквами латинского алфавита. В зависимости от количества входящих в них элементов различают конечные множе-
ства, бесконечные и пустые множества.
p1
p2
p3
p4
o 1
p 5
o 2
Множество учеников данного класса. Множество лошадей на Луне, это .
Множество, состоящее из 2 букв a и b , пишут: A = {a, b} или a, b A , но c A .
Множество R действительных чисел.
e множество B содержит все элементы множества A, то множество A наз. подмножеством множества B, пишут: A B .
n A = {1; 2; 3; 4} , B = {−1; 0;1; 2; 3; 4; 5} , тогда A B .
e множество C содержит элементы множества A или элементы множества B, то множество C называется объединением множеств A и B. Пишут: C = A B .
p 6 n A = {a; b; c} , B = {c; d ; e; f } , тогда C = A B = {a; b; c; d; e; f}
o 3 Множество C называется пересечением множеств A и B, e оно содержит элементы A и B, пишут: C = A ∩ B .
18 |
В.А.Битнер |
|
|
p 7
o 4
p 8
n A = {2; 3; 5; −1; 0} , B = {0;1; 3; 6} , тогда C = A ∩ B = {0; 3}
Множество C называется разностью множеств A и B, состоит из элементов множества A, не входящих в B. Пишут: C = A – B.
n A = {1; 2; 3; 4} , B = {3; 4; 5; 6} , тогда C = A − B = {1; 2} .
.
e оно
Геометрическая интерпретация операций над множествами. Круги Эйлера – Венна.
Операции над множествами легко интерпретировать (показать, изобразить) с помощью так называемых кругов Эйлера – Венна.
1. |
Объединение 2 множеств (заштриховано) |
|
а) |
б) |
в) |
|
e A ∩ B |
e A ∩ B = |
e A B , то |
|
|
|
A B = B |
2. |
Пересечение 2 множеств (заштриховано) |
|
|
а) |
|
б) |
в) |
e A B , то
A ∩ B = A
Краткий курс школьной математики |
19 |
|
|
|
|
3. |
Разность 2 множеств (заштриховано) |
|
а) |
б) |
в) |
e A ∩ B = , то |
e A B , то |
A − B = A |
A − B = |
Тема III. Числовые множества и их свойства
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...} - множество натуральных чисел.
Оно имеет начало (1) , но не имеет конца.
2n , где n N - общий вид четного натурального числа.
2n −1 или 2n +1 , где n N - общий вид нечетного натурального числа.
o 1 Числа, которые делятся только на себя и на единицу, называ-
ются простыми.
o 2 Два числа называются взаимно-простыми, если они не имеют других общих делителей, кроме единицы.
НОД (a; b ) или (a; b) - обозначение наибольшего общего делителя
двух натуральных чисел a и b.
p 1 (18; 24) = 6 p 2 (18;81; 36) = 9 p 3 (8;17 ) = 1 , то есть числа 8
и 17 - взаимно-простые
20 |
|
В.А.Битнер |
|
|
|
НОК (a; b) или |
[a; b] |
- обозначение наименьшего общего кратного |
двух натуральных чисел a и b. |
||
p 4 [18; 24] = 72 |
p 5 |
[18; 81; 36] = 724 |
Z = {... − 3; −3; −1; 0;1; 2; 3; 4;...} - множество целых чисел.
Оно не имеет начала и не имеет конца.
|
m |
||||||||
Q = |
|
|
, где m, n Z , кроме n = 0 - множество рациональных чисел. |
||||||
|
|
||||||||
|
n |
||||||||
uг1 |
|
|
|
Любое рациональное число вида |
m |
, n ≠ 0 , можно представить |
|||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
n |
|||
|
|
|
|
в виде бесконечной десятичной периодической дроби. |
|||||
p 6 |
|
2 |
= 0, 666... = 0, (6) p 7 1, 01717... = 1, 0 (17 ) = 1 |
17 |
|
||||
|
|
|
|||||||
|
3 |
990 |
|
||||||
Верно и обратное утверждение.
Кроме рациональных чисел, существуют иррациональные числа, кото-
рые нельзя представить в виде m , где m, n Z , кроме n = 0. n
К ним относятся числа π = 3,14..., e = 2, 7182..., 
2 = 1, 4142... и др.
uг2 Любое иррациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной непериодической дроби.
p см. выше: π, e, 
2 и т.д.
Иногда |
множество иррациональных чисел обозначают I , тогда |
||||
I = {π , e, |
|
|
|
|
|
|
2 , − 3,...} |
||||
R - обозначение множества действительных чисел, оно является объединением множества рациональных и множества иррациональных чисел, то есть R = Q I .