Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki

(20)Классификация тригонометрических уравнений

oБудем называть уравнение тригонометрическим, если выполняются следующие 3 условия:

1)неизвестные находятся только под знаками тригонометрических функций;

2)под знаками тригонометрических функций находятся только линейные функции от неизвестных;

3)над тригонометрическими функциями выполняются только алгебраические операции.

Тригонометрические уравнения имеют, как правило, бесчисленное множество решений, это множество решений может быть, вообще говоря, и пустым.

Являются ли данные уравнения тригонометрическими?

p13 lg tg x = 0 .

Ответы:

p11 не является, так как не выполняется условие 1); p12 не является, так как не выполняется условие 2);

p13 не является, так как не выполняется условие 3), логарифмирование не является алгебраической операцией.

Но решить эти нетригонометрические уравнения можно графически (1-ое) и с применением формул тригонометрических уравнений и определения логарифма (2-ое и 3-ье).

Указать какие-то общие методы для решения любых тригонометрических уравнений нельзя, но многие из них можно отнести к определенным типам и рационально решать, применяя некоторые известные методы. Хотя могут быть возможны и другие способы решения.

Решение:

1. о.д.з. cos x ≠ 0, x ≠ π + π n, n Z . 2

2. Перепишем уравнение в виде:

куда x = π + π n, x = arctg 3 + π n, n Z . 4

Тип VI. Уравнения, сводящиеся к однородным тригонометрическим уравнениям 2 степени.

Это уравнения вида a sin 2 x + b sin 2 x + c cos2 x = d . Применив 1 основное тригонометрическое тождество, получим

a sin 2 x + b sin x cos x + c cos2 x = d (sin 2 x + cos2 x ), откуда после приве-

дения подобных имеем (a − d )sin 2 x + b sin x cos x + (c − d )cos2 x = 0 -

однородное тригонометрическое уравнение, которое решается по типу

V.

p19 sin 2 x + 4 sin x cos x − cos2 x = 2

Решение:

Перепишем уравнение в виде

sin 2 x + 4 sin x cos x − cos2 x = 2 (sin 2 x + cos2 x ), откуда sin 2 x − 4 sin x cos x + 3 cos2 x = 0 - получили p18.

Тип VII. Это уравнение вида a sin x + b cos x = c .

Оно решается многими способами, но самый рациональный – с применением формулы вспомогательного аргумента. Тогда имеем

1 способ. sin x ± 1 − sin 2 x = 1 - очень нерационально, приводит к иррациональному уравнению, получаются лишние решения,

186 В.А.Битнер

и нужна проверка.

2 способ. Возведем обе части уравнения (1) в квадрат, получим

(sin x + cos x )2 = 1 sin 2 x + cos2 x + 2 sin x cos x = 1 sin 2x = 0 ,

x = π n , где n Z . Из-за возведения в квадрат получили лиш-

нерациональному решению.

3 способ. Применим формулы тригонометрии, получим из (1)