Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki

.pdf

Скачиваний:

100

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

6.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 4214 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Краткий курс школьной математики	131

Тема XIX. Арифметическая и геометриче- ская прогрессии, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

(1)Арифметическая прогрессия, разность арифметиче- ской прогрессии.

o 1 Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же, постоянным для данной последовательности числом, называется арифметической прогрессией.

Это постоянное число обычно обозначается d и называется разностью арифметической прогрессии. Обычно d ≠ 0 .

- значок арифметической прогрессии, a - n -ый член арифметиче-

ской прогрессии, где n N .

Запись ÷ (an ) означает: арифметическая прогрессия an .

ed > 0 , то ÷ (an ) - возрастающая;

ed < 0 - убывающая.

p 1	N = {1, 2, 3, 4,..., n,	...} - возрастающая арифметическая прогрес-
	сия, так как d = 1	> 0 .
p 2	5; −5; −15; −25; - убывающая, так как d = −10 < 0 .

(2)Характеристическое свойство арифметической прогрессии.

t 1 В арифметической прогрессии каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов.

132

В.А.Битнер

То есть в ÷ (an )

an−1 + an+1

, где n ≥ 2 .

В p1

3 =

2 + 4

, 5 =

4 + 6

и так далее.

В p2

−5 =

5 −15

; −25 =

−15 − 35

и так далее.

Верна и обратная

t 2 Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов, является арифметической прогрессией.

(3)Формула общего члена ÷ (an ) .

По o 1 ÷(a )

a2 = a1 + d ; a3 = a2 + d = a1 + 2d ; a4 = a3 + d = a1 + 3d ;...; an = a1 + d (n −1) (1)

Перепишем формулу (1) в виде an = dn + a1 − d - это линейная функция,

заданная на множестве N .

uФормула n -го члена арифметической прогрессии является линейной функцией, заданной на множестве натуральных чисел.

Верно и обратное утверждение: e формула n -го члена числовой по-

следовательности (a ) является линейной функцией, заданной на мно-

жестве N , то (a ) - арифметическая прогрессия.

p 3 Дано: (a ), a = 2n − 3 .

Является ли (a ) арифметической прогрессией?

Ответ: является, так как a = 2n − 3 - линейная функция от

n N . Имеем: −1;1; 3; 5;...

Краткий курс школьной математики	133

(4)Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии.

n задана ÷(a ) . Имеем:

Sn = a1 + a2 + …+ an−1 + an

+Sn = an + an−1 + …+ a2 + a1

2Sn = (a1 + an ) + (a2 + an −1 ) + …+ (an + a1 )

Но в ÷(a ) a + a = a + a

= …, отсюда

n−1

+ a

+ d (n −1)

S =

n =

n .

p 4

Найти сумму 10 первых членов арифметической прогрессии

−2; 0; 2;... .

Решение:

Имеем a = −2, d = 2 S

−4 + 2 9

10 = 70 .

p 5

Дано: ÷(a ) ,

÷(a ), a = 5, 5; d = 0, 5 .

Найти: S5 .

Решение: Имеем:

11 + 0, 5 4

5 = 32, 5 .

p 6

Сумма второго, четвертого и шестого членов арифметической

прогрессии равна 18, а их произведение равно – 168.

Найти первый член и разность прогрессии.

Решение:

Из условия и формулы n -го члена имеем

a1 + d + a1 + 3d + a1 + 5d = 18 , откуда 3a1 + 9d = 18, a1 + 3d = 6 и

a1 + d = 6 − 2d , a1 + 5d = 6 + 2d . Тогда из второй части условия

(6 − 2d ) 6 (6 − 2d ) = −168, 36 − 4d 2 = −28, d 2 = 16, d = ±4 .

1,2

а) d = 4 , тогда a1 = 6 − 3d = 6 −12 = −6 ;

б) d = −4 , тогда d = −4, a1 = 6 + 12 = 18 .

Ответ: а) a1 = −6; d = 4 ; б) a1 = 18; d = −4 .

p 7

Сумма первых n

членов некоторой последовательности опре-

деляется по формуле Sn

= 3n2 − n .

Является ли эта последовательность арифметической прогрес-

сией?

134	В.А.Битнер

Решение:
Имеем S1 = a1 = 3 −1 = 2, S2	= a1 + a2 = 2 + a2 = 12 − 2 = 10 , откуда
a2 = 10 − 2 = 8 . S3 = S2 + a3 = 10 + a3 = 27 − 3 = 24 , откуда

a3 = 24 −10 = 14 . Получили: 2; 8;14;...

Ответ: является.

p 8 Тринадцатый член арифметической прогрессии равен 5.

	Найти сумму первых 25 первых ее членов.
	Решение:
	Имеем из характеристического свойства арифметической про-
	грессии a =					a12 + a14	=	a11 + a15	= …=	a1 + a25	. Тогда
	грессии a =						=		= …=		. Тогда
			13			2	2		2
						2	2		2
	S		=	a1 + a25	25 = a		25 = 125 .
	S	25	=		25 = a		25 = 125 .
		25	2			13
			2
	Ответ: 125.
Упражнения для самостоятельного решения.
p 1	В		арифметической				прогрессии сумма четвертого, восьмого,
	девятнадцатого и двадцать третьего членов равна 30.
	Найти сумму 26 первых членов прогрессии.
p 2	Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии

	равна			5	, а произведение третьего и четвертого ее членов равно
	равна			3	, а произведение третьего и четвертого ее членов равно
				3
		65	.
	72		.
	72
	Найти сумму 17 первых членов этой прогрессии.
p 3	Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрессии
	равна 8. Найти сумму 11 первых членов этой прогрессии.
Ответы:
p 1	195				p 2	119	p 3	44

Краткий курс школьной математики	135

(5)Геометрическая прогрессия, знаменатель геометриче- ской прогрессии.

o 2 Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же, постоянное для данной последовательности число, называется геометрической прогрессией.

Это постоянное число обычно обозначается q и называется знаменателем геометрической прогрессии.

Обычно принимают q ≠ 0 и q ≠ ±1 .

g – значок геометрической прогрессии, b - n -ый член геометрической

прогрессии. Запись g(b ) означает: геометрическая прогрессия b .

n n

eq > 1 , то геометрическая прогрессия возрастающая,

eq < 1 , то убывающая.

p 1		1	;1; 2; 4;... - возрастающая геометрическая прогрессия, так как
	2

	q = 2 > 1 .
p 2	2; −			2		2	; −	2	;... - убывающая, так как q = −	1			< 1 .
					;						,	q

	3				9		27		3

(6)Характеристическое свойство геометрической про- грессии.

t 3 В геометрической прогрессии с положительными членами каждый член, начиная со второго, равен среднему геометрическому соседних с ним членов.

То есть в g(bn ) выполняется условие bn = bn −1 bn+1 , где n ≥ 2 .

В p1 =	1
	1	2 или 4 = 2 8 .
	2	2 или 4 = 2 8 .
	2

136	В.А.Битнер

t 4 Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен среднему геометрическому соседних с ним членов, является геометрической прогрессией.

Кроме того в g(bn ) выполняется условие:

b b		= b b			= b b			= ...
1	n		2	n−1	3	n−2
В p1		1	4	= 1 2 , в			p2				2		2	2
									2	−		= −			.
									2	−		= −			.
		2									27		3	9

(7)Формула общего члена g(bn ) .

По o 2 g(b	)	b	= b q, b = b q = b q 2		, b	= b q = b q3		, ..., b	= b q n−1 .
n		2	1 3 2	1	4	3	1	n	1

(8)Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии.

	b	(1 − q n )
Sn =	1					.
Sn =		1 − q				.
		1 − q
Решение упражнений.
p 3		Дано: g(b							), b = 2, q =				1		. Найти S			.
		Дано: g(b							), b = 2, q =						. Найти S		5	.
							n		1			2					5
												2
		Решение:
										1 5
					2 1		−
					2 1		−
										2		1		7
										2		1		7
		S	5	=							= 4 −			= 3		.
		S		=					1		= 4 −			= 3		.
												8		8
						1 −						8		8
						1 −			2
									2
		Ответ: 3					7	.
		Ответ: 3						.
							8
p 4		Найти 4					числа,				образующих геометрическую прогрессию, у
		которой второй член меньше первого 35, а третий больше чет-
		вертого на 560.
		Решение:

Краткий курс школьной математики

137

Имеем x, xq, xq 2 , xq3 . Из условия

x − xq = 35

x (1 − q ) =

. Разделим второе уравне-

xq2 − xq3 = 560

xq2

(1 − q )

= 560

ние системы на первое, получим q 2

= 16, q = ±4 .

а) q = 4 , тогда из 1 уравнения системы x =

−

1 − q

1 − 4

тогда xq = −

140

, xq 2 = −

560

, xq3 = −

2240

;

б) q = −4 , тогда

x =

= 7, xq = −28, xq

2 = 112, xq3 = −448 .

1 + 4

Ответ: а) −11

; −46

; −186

; −746

;

б)

7; −28;112; −448 .

p 5

Найти число членов конечной геометрической прогрессии, у

которой первый, второй и последний члены соответственно

равны 3,12 и 3072 .

Решение:

Имеем из

условия

b = 3, b

= 12, b = 3072 ,

то

есть

3q = 12, q = 4, b

= b, q n−1 = 3072

3 4n−1 = 3072 22 n−2

= 1024 = 210

откуда 2n − 2 = 10, n = 6 .

Ответ: 6 членов прогрессии.

p 6

Сумма первых n членов некоторой последовательности опре-

деляется по формуле: S

n2n + 3n

Является ли эта последовательность геометрической прогрессией?

Решение:

Имеем S = b =										5		= 1; S				= b + b				=			25			=	25	, откуда
Имеем S = b =												= 1; S			2	= b + b				=						=		, откуда
			1		1			2		+ 3					2		1		2				4 + 9			13
								2		+ 3													4 + 9			13
b =		25	−1 =			12		; S			= S			+ b =			125			=		25			, откуда
b =			−1 =					; S	3		= S		2	+ b =						=					, откуда
2		13			13				3				2	3			8 + 27						7
		13			13												8 + 27						7
b =	25		−	25	=		150				. Получили							b3	≠		b2			эта последователь-
b =			−		=						. Получили								≠					эта последователь-
3		7	13					91										b2			b1
		7	13					91										b2			b1

ность не является геометрической прогрессией.

138 В.А.Битнер

Упражнения для самостоятельного решения.

p 1 Седьмой член геометрической прогрессии равен 2.

Найти произведение первых 30 ее членов.

p 2

Сумма первых членов некоторой последовательности опреде-

ляется по формуле

Sn = 2 5n − 3 . Является ли эта последова-

тельность геометрической прогрессией?

p 3

Найти 4 числа, образующих геометрическую прогрессию, у

которой сумма крайних членов равна

−49 , а сумма средних

членов равна 14.

p 4

Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии,

если известно, что a

− a

= −

и a

− a

= −

512

p 5

Знаменатель геометрической прогрессии равен

, четвертый

член этой прогрессии равен

, а сумма всех ее членов равна

121 .

162

Найти число членов прогрессии.

Ответы:

p 1	8192				p 2	Да	p 3 7; −14; 28; −56
p 4	а) 6;	1	б) −6; −	1	p 5	5
	а) 6;		б) −6; −
	4		4

(9)Формула суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

o 3 Геометрическая прогрессия, у которой число членов бесконечно возрастает, а знаменатель q удовлетворяет условию q < 1 ,

называется бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Сумма ее членов вычисляется по формуле

S = b1 . 1 − q

Краткий курс школьной математики	139

p 1 Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии с пер-

вым членом					x1 и знаменателем q , если: а) x1 = 0, 3; q = 0, 5 , б)
x =	4	; q = −		2		.
x =		; q = −				.
1	5			5
	5			5
Решение:
							4
	0, 3									4
	0, 3							5		4
а) S =					= 0, 6 ; б) S =			5		=		.
а) S =			1 − 0, 5		= 0, 6 ; б) S =		1 +		2	=	7	.
							1 +		5
									5

p 2 Представить в виде обыкновенной дроби бесконечную периодическую десятичную дробь:

а) 0, (5); б) 0,1(8) ; в) 3, (27 ) .

Решение:
												5
					5			5									5
а) 0, (5) = 0, 5555... =					5	+		5	+ ... =		10					=	5		;
											10
					10		1000			1 −				1			9
										1 −			10
													10
													8
		8				8												1									17
б) 0,1(8) = 0,1 +		8		+		8		+ ... = 0,1 +				100					=	1			+		8		=		17	;
б) 0,1(8) = 0,1 +				+				+ ... = 0,1 +									=				+				=			;
		100			1000						1 −				1		10						90		90
											1 −
													10
											27
	27				27															27				3
в) 3, (27 ) = 3 +	27		+		27			+ ... = 3 +		100						= 3				27		= 3		3		.
в) 3, (27 ) = 3 +			+					+ ... = 3 +								= 3						= 3				.
100				10000					1 −				1						99				11
									1 −			100
												100

p 3 Найти третий член бесконечной геометрической прогрессии со

знаменателем q < 1 , сумма которой равна 8 , второй член ра- 5

вен − 1 . 2

Решение:

		= −	1
xq
xq
Из условия имеем			2		. Разделим первое уравнение
	x			8
		=
		=
1 − q			5

140 В.А.Битнер

системы на второе, получим:

q (1 − q ) = −											5			16q2 −16q − 5 = 0,																	D	= 64 + 80 = 144 .
q (1 − q ) = −														16q2 −16q − 5 = 0,																		= 64 + 80 = 144 .
									16																						4
q =			8 −12						= −					1	, q			=			8 + 12					=	5	- не удовлетворяет условию.
q =									= −						, q		2	=								=		- не удовлетворяет условию.
1			16										4				2					16				4
			16										4									16				4
Тогда xq2													1				1					1
									= −										=					-		третий член прогрессии.
									= −										=					-		третий член прогрессии.
													2				4					8
Ответ:				1			.
Ответ:							.
			8
p 4 Решить уравнение
	1	+ x + x2 + ... + xn + ... =																					7						< 1.
	1																						7		, где			x
																									, где			x
	x																					2
Решение:
Имеем:					1			+				x				=		7		. 2 − 2x + 2x2 = 7 x − 7 x2 ,
Имеем:								+								=				. 2 − 2x + 2x2 = 7 x − 7 x2 ,
					x						1 − x							2
9x2 − 9x + 2 = 0, D = 81 − 72 = 9, x =																														9 − 3			=	1	, x =		9 + 3	=	2	.
9x2 − 9x + 2 = 0, D = 81 − 72 = 9, x =																																	=		, x =			=		.
																										1					18			3		2	18	3
																															18			3			18	3
Ответ:						1			;	2		.
Ответ:									;			.
			3							3

Упражнения для самостоятельного решения.

p 1	Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии с пер-
	вым членом x =	1	и знаменателем q = −	1	.
	вым членом x =		и знаменателем q = −		.
	1	2	2
		2	2
p 2	Представить в виде обыкновенной дроби бесконечную перио-
	дическую десятичную дробь:
	а) 3, 5 (8) ; б) 0, (17) ; в) −28,10 (01) .
p 3	Сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменате-
	лем q < 1 равна 16, а сумма квадратов членов этой же прогрес-
	сии равна 153,6.
	Найти четвертый член и знаменатель прогрессии.
p 4			2x + 1 + x2 − x3 + x4 − x5 + ... =			13			< 1.
p 4	Решить уравнение:					13	, где	x
	Решить уравнение:						, где	x
			6

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 4214 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.03.20152.74 Mб10BhagavatGita_kak_ona_est.pdf
#
16.04.201995.65 Кб3Bilety_dlq_ekzamena_po_kursu_Socialogiq_i_psiho....docx
#
25.09.2019173.57 Кб4Bilety_IGA_po_190604TA4.doc
#
11.12.201995.23 Кб0bilety_os_1.doc
#
19.09.2019507.9 Кб12Biologia.doc
#
12.03.20156.54 Mб100Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki.pdf
#
08.09.2019652.29 Кб4biznes_plan_po_Petrulevich.doc
#
22.03.201663.12 Кб5breaking.pdf
#
12.03.2015931.33 Кб11Broshyura (1).doc
#
12.03.2015826.37 Кб10Broshyura.doc
#
23.11.2019823.3 Кб1Broshyura.doc