Второй способ решения дифференциального уравнения.
Решение будем искать в виде:
:
Следовательно, решение имеет вид:
и
подставим в исходное уравнение
Применим
метод сравнения коэффициентов при
одинаковых степенях
.
Ответ:
+...
III. Применение степенных рядов для приближенного вычисления значений функций.
Если при приближенном вычислении значений функций получаются знакочередующиеся ряды, то погрешность оценивается с помощью признака Лейбница и по абсолютной величине не превосходит первого из отобранных членов. Если получится знакопостоянный ряд, то погрешность оценивается с помощью геометрической прогрессии.
-
погрешность вычислений, т.е. до 2-го знака
после запятой.
,
,
Оценим сумму остатка ряда исп-ся сумму геометрической прогрессии
Из данного
неравенства найдем первое значение
,
которое ему удовлетворяет:
Приближенное вычисление значений корней.
Приближенное вычисление интегралов.
Ряды Фурье.
Опр.: Функция
,
заданная на всей числовой оси называется
периодической с периодом Т, если
выполняется условие
.
Опр.: Наименьший положительный период периодической функции называется основным периодом этой функции.
Свойства интеграла для периодической функции.
Теорема: Интегралы по отрезку, равному по длине периоду от периодической функции равны по своему значению, т.е.
если
.
Доказательство:
Оно следует из геометрического смысла определенного интеграла как площади криволинейной трапеции.
Замечание:
Исходя из этого свойства можно в
дальнейшем вместо
от периодической функции вычислить
.
Понятие бесконечной системы тригонометрических функций.
Опр.: Бесконечной системой тригонометрических функций называется совокупность функций вида:
Свойства бесконечной системы тригонометрических функций.
Свойство 1. (Общий период)
Бесконечная
система тригонометрических функций
имеет общий период
Доказательство:
Любую
постоянную функцию можно рассматривать
как периодическую с произвольным
периодом Т. Рассмотрим функцию
.
Эта функция является периодической с
периодом
Аналогично для синуса.
Следовательно,
т.к. число
является периодом бесконечной системы
функций, то и
также является периодом.
Свойство 2. (Ортогональности)
Теорема:
Интеграл по отрезку равному по длине
периоду
от произведения двух разноименных
функций системы равен нулю, т.е.
,
Доказательство:
Проведем
для интегралов
в силу свойства равенства интегралов
по отрезку, равному по длине периоду.
Свойство 3. (Отличие от нуля интеграла от произведения одноименных функций).
Теорема: Интеграл по отрезку, равному по длине периоду от произведения двух одноименных функций тригонометрической системы отличен от нуля, причем
Доказательство:
Понятие тригонометрического многочлена в вещественной форме.
Опр.: Тригонометрическим многочленом n-го порядка в вещественной форме называется линейная комбинация функций тригонометрической системы вида
,
где
-коэффициенты
триг.многочлена
Тригонометрический многочлен в комплексной форме.
Преобразуем тригонометрический многочлен в вещественной форме, используя формулы Эйлера
Имеем
Введем вспомогательные обозначения.
(*)
С учетом введенных обозначений тригонометрический многочлен принимает вид:
Индекс суммирования сменим во второй сумме
тогда тригонометр. многочлен принимает
вид:
Вывод: Тригонометрический многочлен в комплексной форме имеет вид
,
где
- комплексные числа, выражающиеся через
коэффициенты тригонометрического
многочлена в вещественной форме. (*)
Понятие круговой частоты т частоты, измеренной в Гц.
Опр.:
Изменение функции
за период Т называется ее колебанием.
Опр.: Величина
называется круговой частотой периодической
функции с периодом Т и определяет число
колебаний за
секунд.
Опр.: Величина
называется частотой, измеренной в Гц и
характеризует число колебаний функции
в 1 секунду.
Замечание:
Очевидна формула
Формулы Эйлера-Фурье.
Теорема:
Если некоторая периодическая функция
с периодом Т представлена в виде
тригонометрического многочлена
(1)
то коэффициенты
(2)
носят название формул Эйлера-Фурье в вещественной форме.
Доказательство:
Проинтегрируем
(1) по отрезку
,
учитывая свойства бесконечной системы
тригонометрических функций.
Если умножить
(1) на
и проинтегрировать по
,
получим формулы для вычисления
:
Умножим
соотношение (1) на
и проинтегрируем по отрезку
,
используя свойства бесконечной системы
тригонометрических функций:
Формулы Эйлера-Фурье в комплексной форме.
Ранее были получены две формы записи тригонометрического многочлена и формулы связи между ними.
Подставим
формулы Эйлера-Фурье, найденный для
вещественной формы, в коэффициент
.
Учитывая,
что
Получаем
аналогичную формулу для
Очевидно,
Сделаем
замену индекса у коэффициентов с
отрицательными индексами. Обозначим
С учетом введенной замены получаем единую формулу
Понятие ряда Фурье в вещественной и комплексной формах.
Опр.1: Рядом
Фурье в вещественной форме для
периодической функции
с периодом Т называется тригонометрический
ряд вида:
,
в котором коэффициенты определяются
по формулам Эйлера-Фурье:
-
круговая частота (*)
Опр.2: Рядом
Фурье в комплексной форме для периодической
функции
с
периодом Т называется ряд вида:
,
в котором коэффициенты определяются
по формулам Эйлера-Фурье:
(**)
Замечание:
Ряды Фурье (*) и (**) построенные для
периодической функции
могут:
1) расходиться
для
2) сходиться
в искомой области
к искомой функции
3) сходиться
на всей числовой оси к функции
В третьем
случае говорят, что функция разложена
в ряд Фурье и вместо «
»
пишут «=».
Условие Дирихле.
Если
на некотором отрезке
удовлетворяет двум условиям:
1)
- непрерывна на этом отрезке, либо имеет
на нем конечное число точек разрыва
I-го рода.
2)
монотонна на этом отрезке , либо имеет
на нем конечное число экстремумов, то
говорят, что функция
удовлетворяет условиям Дирихле.
Замечание: из определения функции, удовлетворяющей условиям Дирихле ясно, что эту функцию можно разбить на части (область определения – конечные отрезки), на которых функция непрерывна и монотонна.
Теорема Дирихле (необходимое и достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье)
Теорема:
Если функция
на некотором конечном отрезке
удовлетворяет условиям Дирихле, то она
разложена на этом отрезке в ряд Фурье,
причем в каждой точке непрерывности
функций сумма ряда Фурье совпадает со
значением функции в точке
,
а в каждой точке разрыва I-го
рода
(без доказательства)
Связь вещественной формы ряда Фурье с гармоническими колебаниями.
Преобразуем ряд Фурье (*) к виду:
(3)
Теорема:
такой, что
,
,
этот угол представляет собой угол,
отсчитывающий от оси Ох (в положительном
или отрицательном направлении) до луча,
соединяющего начало координат с точкой
,
причем
и находится по формуле
Доказательство:
1)
(как тангенс угла в прямоугольном
треугольнике)
катеты в прямоуг.треугольнике
Случай I четверти доказан
2)
=
Случай II четверти доказан.
С учетом теоремы запишем соотношение (3)
Введем вспомогательное обозначение
,
тогда ряд Фурье принимает вид
(4)
Вывод: Ряд
Фурье, записанный в виде (4) представляет
собой сумму гармоник с амплитудами
,
круговыми частотами
и фазами
.
Выражение коэффициентов в вещественной форме ряда Фурье через амплитуды и фазы.
,
Спектральные характеристики вещественной формы ряда Фурье.
Выделяют 4 основных спектральных характеристик вещественной формы ряда Фурье:
1) частотные спектры
2) линейчатые спектры
3) амплитудно-частотный спектр
4) фазово-частотный спектр
I. Частотные спектры.
Опр.:
Частотные спектры вещественной формы
ряда Фурье называют числовые
последовательности
и
Замечание: Частотные спектры можно рассматривать как масштабную линейку.
II. Линейчатые спектры.
Опр.:
Линейчатые спектры вещественной формы
ряда Фурье называют числовые
последовательности
,
III. АЧХ.
Опр.:
Амплитудно-частотным спектром вещественной
формы ряда Фурье называют числовую
последовательность
График АЧХ может находиться только в I четверти координатной плоскости.
IV. ФЧХ.
Опр.:
Фазово-частотным спектром вещественной
формы ряда Фурье называют числовую
последовательность
,
,
если
четв.,
,
если
,
если
