Числовые ряды.
Рассмотрим
числовую последовательность
и для нее введем понятие числового ряда.
Опр.: Числовым
рядом
называется аналитическое выражение
вида
Опр.:
Частичной суммой числового ряда (n-ой
частичной суммой) называется сумма n
первых слагаемых этого ряда, т.е.
Опр.: Числовой
ряд
называется сходящимся, если существует
и конечен предел последовательности
частичных сумм этого ряда, т.е.
(
-
const), при этом
называется суммой ряда.
Опр.: Числовой ряд называется расходящимся, если предел последовательности частичных сумм не существует или обращается в бесконечность.
Необходимый признак сходимости числового ряда.
Теорема:
Для того, чтобы числовой ряд
сходился, необходимо, чтобы общий член
ряда стремился к нулю.
Доказательство:
Дано: ряд сходится.
Доказать:
Рассмотрим
две числовых последовательности
и
.
В силу того, что ряд сходится
,
.
Тогда
Перейдем к пределу:
Замечание:
Теорема носит необходимый, но не
достаточный характер, т.е. если общий
член ряда стремится к нулю, то сам ряд
может как сходиться, так и расходиться.
В дальнейшем покажем, что гармонический
ряд
расходится, хотя
.
Достаточный признак расходимости числового ряда.
Теорема:
Для того, чтобы числовой ряд
расходился, достаточно, чтобы общий
член ряда не стремился к нулю.
Доказательство:
Дано:
Доказать:
расходится.
Проведем методом от противного.
Предположим
противное тому, что нужно доказать, т.е.
пусть ряд
сходится. В силу доказанного необходимого
признака имеем
.
Получаем противоречие с «дано»
наше предположение было ложно и ряд
расходится.
Критерий Коши сходимости числового ряда.
(Необходимое и достаточное условие сходимости числового ряда).
Теорема:
Для того, чтобы числовой ряд
сходился, необходимо и достаточно, чтобы
Доказательство:
Воспользуемся
материалом I-го курса: для
того, чтобы последовательность сходилась,
необходимо и достаточно, чтобы она была
фундаментальна (критерий Коши). Запишем
определение фундаментальной
последовательности для
Возьмем в
качестве
,
где
,
тогда
Вывод:
критерий Коши равносилен определению
фундаментальности последовательности
частичных сумм ряда, а всякая фундаментальная
последовательность сходится. Тогда
ряд сходится.
Доказательство расходимости гармонического ряда с помощью критерия Коши.
Опр.:
Гармоническим рядом называется числовой
ряд вида
.
Покажем,
что для гармонического ряда критерий
Коши не выполняется
он расходится.
Возьмем в критерии Коши:
.
Оценим:
Критерий
Коши не выполняется
ряд расходится.
Понятие ряда остаточных членов (остатка ряда).
Опр.: Остатком
ряда
называется числовой ряд вида
.
Замечание: Очевидно, что остаток ряда и сам ряд связаны через частичную сумму.
Теорема: Относительно сходимости числовой ряд и его остаток ведут себя одинаково. Либо оба сходятся, либо оба расходятся.
Докажем эту теорему для сходимости (для расходимости доказать самостоятельно).
Дано: ряд
сходится
Доказать:
остаток сходится
Рассмотрим
- частичную сумму исходящего ряда,
содержащую
слагаемых.
Переходя
к пределу при
,
имеем
,
т.к. предел последовательности частичных
сумм остатка существует и конечен (равен
нулю), то остаток является сходящимся
рядом, причем его сумма равна нулю.
Замечание:
Основные действия над числовыми рядами.
1. Сложение и вычитание рядов.
2. Умножение ряда на число
3. Умножение двух числовых рядов.
Свойства сходящихся рядов.
.
Если два числовых ряда сходятся и их
суммы соответственно равны
и
,
то ряд являющийся суммой этих рядов
также сходится и его сумма равна
.
Дано:
Доказать:
сходится и его сумма равна
.
Доказательство:
Рассмотрим
n-ую частичную сумму ряда
Перегруппируем слагаемые в частичной сумме, т.к. их количество конечно. Имеем:
Переходя
к пределу при
имеем:
.
Замечание: Аналогичное свойство имеет место для разности двух рядов.
.
Если числовой ряд
сходится и его сумма равна S,
то ряд
(
)
– также сходится и его сумма равна
.
Доказательство аналогично свойству 1.
.
Если числовой ряд сходится, то члены
ряда можно, не переставляя их, группировать
произвольно, причем полученный ряд
будет сходится и его сумма не изменится.
.
Если из сходящегося ряда выбросить
определенное число его произвольных
членов, то полученный ряд также будет
сходиться, а его сумма по сравнению с
суммой исходящего ряда изменится на
сумму выброшенных членов.
Знакопостоянные числовые ряды.
Опр.: Числовой
ряд
называется знакопостоянным, если все
его члены либо неположительны
,
либо неотрицательны
.
Замечание:
Знакопостоянный числовые ряды
принято называть рядами с неотрицательными
членами, а ряды
называются положительными числовыми
рядами. Иногда ряды с неотрицательными
членами также называют положительными.
Поскольку
из ряда
можно получить положительный ряд,
умножив его на (-1), то на сходимость
исследуют только положительные ряды,
т.к. умножение на константу не влияет
на сходимость.
Критерий сходимости для рядов с неотрицательными членами.
Теорема:
Для того, чтобы числовой ряд
сходился, необходимо и достаточно, чтобы
последовательность его частичных сумм
была ограничена.
Необходимость:
Дано:
сходится
Доказать:
- ограниченная
Доказательство:
Т.к. ряд
сходится
последовательность
сходится. Из I-го курса
известно, что всякая сходящаяся
последовательность обязательно
ограничена.
Достаточность:
Дано:
- ограниченная,
Доказать:
сходится
Доказательство:
Рассмотрим частичные суммы.
,
т.е.
(ограничена)
В силу
критерия Вейерштрасса, т.к. последовательность
монотонна и ограничена, она сходится,
т.е.
ряд
сходится.
Признаки сравнения для знакопостоянных рядов.
I. Первый признак сравнения.
Теорема:
Если для двух рядов с неотрицательными
членами
и
выполняется одно из условий:
то в случае
сходимости ряда
и выполнении условия 1 ряд
сходится,
а в случае расходимости ряда
и выполнения условия 2 ряд
расходится.
Докажем первую часть теоремы.
Дано:
сходится,
Доказать:
сходится.
Доказательство:
Рассмотрим
последовательность частичных сумм
.
Имеем
Т.к. ряд
сходится
последовательность частичных сумм
ограничена. Кроме того она монотонна.
и т.д.
Т.к. последовательность ограничена и монотонна, она обязательно сходится, т.е.
-
сходится.
Докажем вторую часть теоремы.
Доказательство проведем методом от противного.
Дано:
расходится
Доказать:
расходится.
Доказательство:
Предположим
противное тому, что нужно доказать, т.е.
ряд
сходится. Тогда из
и первой части теоремы имеем
сходится.
Получили противоречие с «дано»
наше предположение было ложным и ряд
расходится.
II. Второй признак сравнения (признак сравнения в предельной форме).
Теорема:
Если для двух знакопостоянных рядов
и
существует и конечен предел
,
,
то относительно сходимости оба ряда
ведут себя одинаково, т.е. либо оба
сходятся, либо оба расходятся.
Доказательство:
Воспользуемся определением предела числовой последовательности на языке кванторов:
Пусть
сходится.
Покажем, что
также
сходится. Воспользуемся правой частью
неравенства (1).
Имеем
Рассмотрим
-
положительный ряд.
В силу I-го
признака сравнения ряд
сходится.
Пусть
расходится. Докажем, что
расходится. Воспользуемся первой частью
неравенства (1).
Обозначим
.
В силу произвольности
,
его можно выбрать столь малым, что
.
Тогда
- положительный ряд, расходится. В силу
I-го признака сравнения
расходится.
Признак Даламбера в непредельной форме.
Теорема:
Если для положительного числового ряда
выполняется одно из условий:
то в случае выполнения условия 1 – ряд сходится, а в случае выполнения условия 2 – ряд расходится.
Доказательство:
Докажем первую часть теоремы.
и т.д.
Очевидно,
что
бесконечно убывающая геометрическая
прогрессия (сходится).
В силу I-го
признака сравнения
сходится.
Ряд
сходится, т.к. отличается на конечное
число слагаемых.
Докажем вторую часть теоремы.
расходится в силу достаточного признака
расходимости числового ряда.
Признак Даламбера в предельной форме.
Теорема:
Если для положительного числового ряда
существует конечный или бесконечный
предел
тогда
1) если
ряд сходится
2) если
ряд расходится
3)
нужны дополнительные исследования.
Доказательство:
Воспользуемся определением предела числовой последовательности на языке кванторов
(2)
Пусть
.
Докажем, что ряд сходится. Воспользуемся
правой частью (2).
,
,
Обозначим
.
В силу произвольности
его можно выбрать столь малым, что
.
Тогда
.
Получили
первое условие признака Даламбера в
непредельной форме
ряд сходится.
Докажем
вторую часть теоремы:
Воспользуемся левой частью (2)
В силу
произвольности
его можно выбрать таким, что
.
Тогда
.
Получили второе условие признака
Даламбера в непредельной форме
ряд расходится.
Радикальный признак Коши в непредельной форме.
Теорема:
Если для ряда с неотрицательными членами
выполняется
одно из условий:
то в случае выполнения условия 1 ряд сходится, а условия 2 – ряд расходится.
Доказательство:
Докажем первую часть теоремы.
(Б.У.Г.П.
сходится)
В силу I-го признака сравнения
сходится
также сходится, т.к. отличается на
конечное число слагаемых.
Докажем вторую часть теоремы.
расходится.
Радикальный признак Коши в предельной форме.
Теорема:
Если для ряда с неотрицательными членами
существует конечный или бесконечный
предел
1) если
-
ряд сходится
2) если
-
ряд расходится
3)
нужны
дополнительные исследования.
Доказательство:
Воспользуемся определением предела числовой последовательности на языке кванторов.
(3)
Пусть
.
Докажем, что ряд сходится.
Воспользуемся правой частью (3)
,
В силу
произвольности
выберем
его столь малым, что
Получили
первое условие радикального признака
в непредельной форме
ряд сходится.
Пусть
.
Докажем, что ряд расходится. Воспользуемся
левой частью (3)
Выберем
таким, что
Получили
второе условие радикального признака
ряд
расходится.