19

Казанский государственный технический университет им.А.Н.Туполева

Институт радиоэлектроники и телекоммуникаций

Кафедра радиоэлектронных и телекоммуникационных систем

Лаборатория «Электродинамика и распространение радиоволн»

В.Р.Линдваль Лабораторная работа № ви-105 Волны между параллельными металлическими плоскостями

Казань, 2006 г.

1. Цель работы.

Целью работы является изучение волн, распространяющихся между параллельными металлическими плоскостями, и исследование их с помощью виртуальной лабораторной установки.

2. Подготовка к работе.

Перед выполнением работы необходимо изучить соответствующий лекционный материал, настоящее описание и, при необходимости, рекомендованную литературу [1, с.230-234; 2, с.395-407; 3, с.85-97].

3. Краткие теоретические сведения.

Совокупность двух параллельных проводящих бесконечных плоскостей, пространство между которыми заполнено диэлектриком, является наиболее простой линией передачи. Анализ электромагнитного поля в этой линии достаточно прост, но, в тоже время, позволяет выяснить основные особенности описания электромагнитных волн в разнообразных линиях передачи.

Полагаем, что плоскости обладают бесконечной проводимостью. Их уравнения имеют вид: х=0 и х=а (рис.1).

Рис.1. Двухплоскостная линия передачи

Предположим, что источники поля находятся вне пределов интересующей нас области и что волны распространяются по оси z. Будем также считать, что векторы Е и Н искомого поля не зависят от координаты у .

Компоненты поля в линии делятся на продольные (), направленные вдоль осиz, и поперечные (,).

Волны в волноводах классифицируются по наличию или отсутствию продольных компонент поля.

Волны, у которых , называются поперечными и относятся к классу Т.

Волны, у которых ,относятся к классуE.

Волны, у которых ,относятся к классуH.

Волны, у которых ,относятся к классамEH или HE.

Компоненты поля волны, бегущей вдоль оси z, будем искать в виде:

, (1)

где - коэффициент фазы. При этом мы допускаем, что коэффициент фазы в линииможет отличаться от коэффициента фазы волны в однородном пространстве, где- абсолютная диэлектрическая проницаемость,- абсолютная магнитная проницаемость материала заполнения.

Они связаны соотношением

, (2)

где - поперечный коэффициент фазы.

Т-волна

Для волны Т продольные компоненты поля отсутствуют, поперечный коэффициент фазы и.

Поле удовлетворяет уравнению Лапласа

(3)

Между магнитным и электрическим полем есть связь

, (4)

где - характеристическое сопротивление среды.

Компоненты поля Т-волны лежат в поперечной плоскости, взаимно ортогональны, синфазны и пропорциональны по величине:

(5)

(6)

Определяем мгновенные значения компонент поля:

(7)

(8)

Свойства и параметры Т-волны совпадают со свойствами и параметрами плоской волны в пространстве, заполненном средой с теми же параметрами ,.

Поля Т-волны имеют по одной компоненте. Силовые линии являются прямыми. В картине силовых линий Т-волны меняется лишь их густота при перемещении вдоль оси z (рис.2).

Рис.2. Картина поля Т-волны

Е-волны

Для нахождения волн класса E необходимо решить мембранное уравнение:

(9)

Запишем его в следующей форме:

, (10)

где второе слагаемое равно нулю, т.к., как было определено выше, картина поля по оси y не меняется. Следовательно:

(11)

Решение этого уравнения:

(12)

Примем во внимание граничные условия:

(13)

При х=0 получаем: А=0. При :.

Откуда следует:

, где m=1,2,3… (14)

Далее находим поперечные компоненты:

(15)

Второе слагаемое равно 0. Следовательно, получаем:

. (16)

Напряженность магнитного поля

(17)

или

(18)

Далее определяем по найденным комплексным амплитудам мгновенные значения компонент поля:

(19)

. (20)

(21)

Выражения (19) – (21) волн E-класса для каждого m=1,2,3,…описывают свой тип волны . Картина силовых линий поля волныприведена на рис.3.

В соответствии с выражениями (2) и (14) коэффициент фазы у волны типа :

; m=1,2,3,… (22)

Рис.3. Картина поля волны

Легко заметить, что при , коэффициент фазы – вещественное число. В этом случае поле имеет волновой характер.

При обратном соотношении электромагнитное поле уже не будет иметь волнового характера, так как теперьявляется величиной мнимой, и множительопределяет лишь экспоненциальный характер убывания амплитуды поля вдоль осиz.

Для любого значения m и можно найти такую частоту колебаний, при которой коэффициент фазы обращается в нуль. При этом

. (23)

Частота колебаний электромагнитного поля, определенная из последнего равенства, имеет название критической частоты и обозначается . Нетрудно видеть, что у каждого типа волны свое значение критической частоты

; m=1,2,3,… (24)

Для каждой критической частоты можно рассчитать соответствующую ей критическую длину волны:

; m=1,2,3,… (25)

Используя выражения (22) и (25), получаем:

. (26)

Следовательно, при данных а, m и f поле будет бегущей волной в том случае, когда частота колебаний поля больше критической частоты (24), т.е. когда длина волны короче критической длины волны. Если же частота колебаний меньше критической частоты, поле становится затухающим, волна в линии не распространяется.

Фазовая скорость волны , учитывая (26) имеем:

, (27)

где: .

Длина волны в линии

, (28)

где: .

Силовая линия напряженности магнитного поля для Е-волн - прямая линия.

Составим уравнение силовой линии напряженности электрического поля:

(29)

Подставим в него компоненты поля:

Преобразуем, разделяя переменные:

. (30)

Для получения результата в более универсальном виде введем новые переменные:

и , (31)

причем:

;

;

Получаем выражение (30) в виде:

(32)

Проинтегрируем

и получим:

(33)

Очевидно, что каждой линии соответствует определенное значение С:

При выборе конкретных значений С_i полагаем, что i-ая линия проходит через точку () . Пусть х_i'=0. Тогда:

,

где изменяется от 0 до π/2. Если этот участок разбить равномерно , то силовые линии располагаются на картине поля без участков сгущения и разряжения.

В итоге получаем уравнение:

. (34)

Т.к. картина силовых линий периодически повторяется, то можно построить картину лишь на участке от 0 до π/2 для и.

Н-волны

Для нахождения волн Н-класса необходимо решить мембранное уравнение:

(35)

Запишем его в следующей форме:

(36)

Решение этого уравнения:

(37)

Примем во внимание граничные условия:

(38)

При х=0 получаем: B=0. При :.

Откуда следует:

, где m=1,2,3… (39)

Далее находим поперечные компоненты:

(40)

Получаем:

. (41)

Напряженность электрического поля

(42)

или

(43)

Далее определяем по найденным комплексным амплитудам мгновенные значения компонент поля:

(44)

. (45)

(46)

Выражения (44) – (46) волн H-класса для каждого m=1,2,3,…описывают свой тип волны . Картина силовых линий поля волныприведена на рис.4.

Рис.4. Картина поля волны

Очевидно, что у каждого типа волны значение критической частоты совпадает с критической частотой волныи определяется выражением (24).

Следствием этого является то, что выражения (25) – (28) для параметров волны , справедливы и для волны.

Силовая линия напряженности электрического поля для H-волн - прямая линия.

Составим уравнение силовой линии напряженности электрического поля:

(47)

В итоге преобразований, аналогичных проделанным для Е-волн, имеем:

(48)

Выражение (48) преобразуется в (32) путем замены sin(x+π/2)=-сos(x). Дальнейшие рассуждения при построении силовых линий Н-волн аналогичны приведенным выше для Е-волн.

Основной волной линии передачи называют волну, имеющую минимальную критическую частоту. Как следует из (2) для Т-волны . Это значит, что если линии может быть Т-волна, то она является основной.

4. Описание лабораторной установки.

Лабораторная установка предназначена для изучения волн классов E и H, распространяющихся между двумя металлическими плоскостями. Внешний вид лицевой панели виртуальной лабораторной установки приведён на рис.5.

В верхней её части расположен заголовок «Волны между параллельными металлическими плоскостями» и кнопка останова STOP.

На левом краю лицевой панели находятся регуляторы, задающие частоту в МГц, расстояние между металлическими пластинами в мм, относительную диэлектрическую проницаемость материала между пластинами. Под регуляторами находится цифровой индикатор, на который выводится значение критической частоты в МГц. При нарушении условия распространения волны в линии под этим индикатором загорается табло с надписью «Частота меньше критической». Еще ниже расположены: переключатель класса волн с положениями «Е» и «Н» и регуляторы типа волны и числа отображаемых силовых линий.

В правой части лабораторной установки на закладках с ярлычками «Форма силовых линий поля» и «Картина силовых линий поля» расположены соответствующие графические индикаторы.

На странице «Картина силовых линий поля» расположен экран, на котором отображается заданное число силовых линий волны заданного класса (рис.5).

Рис.5. Лицевая панель ВИ «Волны между параллельными металлическими плоскостями». Страница «Форма силовых линий поля»

По горизонтальной оси откладывается продольная обобщенная координата , по вертикальной оси откладывается поперечная обобщенная координата. Пределы изменения координат ; . Нижняя часть экрана соответствует поверхности нижней металлической плоскости.

Непосредственно под экраном расположена панель управления курсором, кнопки которой осуществляют управление перемещением курсора по экрану, а в двух индикаторах отображаются текущие координаты курсора (рис.5).

На странице «Картина силовых линий поля» расположен экран, на котором отображается картина силовых линий напряженности электрического поля для Е-волн или картина силовых линий напряженности магнитного поля для Н-волн (рис.6). В любой волне одновременно существуют и неразрывно связаны электрическое и магнитное поля, однако простые силовые линии в виде прямых, перпендикулярных плоскости экрана на индикаторе лабораторной установки не отображаются.

По осям индикатора откладываются реальные координаты в мм. Верхний и нижний горизонтальные края экрана соответствуют поверхностям металлических пластин, образующих линию передачи.

Непосредственно под экраном расположена панель управления курсором, кнопки которой осуществляют управление перемещением курсора по экрану, а в двух индикаторах отображаются текущие координаты курсора (рис.6).

Для обеспечения удобства наблюдения поля на экране служат регуляторы: «Число волн по продольной оси» и «Продольный размер экрана в мм».

Включение прибора осуществляется нажатием на двунаправленную стрелку в строке кнопок окна LabVIEW, расположенная правее заголовка кнопка STOP выключает виртуальную лабораторную установку.

Рис.6. Лицевая панель ВИ «Волны между параллельными металлическими плоскостями». Страница «Картина силовых линий поля»