
Казанский государственный технический университет им.А.Н.Туполева
Институт радиоэлектроники и телекоммуникаций
Кафедра радиоэлектронных и телекоммуникационных систем
Лаборатория «Электродинамика и распространение радиоволн»
В.Р.Линдваль Лабораторная работа № ви-106 Волны в прямоугольном металлическом волноводе
Казань, 2006 г.
Цель работы.
Целью работы является изучение волн в прямоугольном металлическом волноводе и исследование их структуры с помощью виртуальной лабораторной установки.
Подготовка к работе.
Перед выполнением работы необходимо изучить соответствующий лекционный материал, настоящее описание и, при необходимости, рекомендованную литературу [1, с.155-162, 189-197; 2, с.231-241; 3, с.234-250].
Краткие теоретические сведения.
Прямоугольный
металлический волновод представляет
собой металлическую трубу с размерами
сечения
(рис.1). Внутри волновод заполнен материалом
с относительной диэлектрической
проницаемостью
и относительной магнитной проницаемостью
.
На практике в подавляющем большинстве
случаев внутри волновода находится
просто воздух
.
Рис.1. Прямоугольный металлический волновод
Анализ волновода прямоугольного сечения (рис.1) проводится в декартовой системе координат, так как при этом границы волновода легко совмещаются с координатными поверхностями. В волноводе могут существовать волны E и H классов, а Т-волны существовать не могут.
Е-волны
Решение
задачи для E-
волн должно
удовлетворять волновому уравнению для
составляющей
и граничным условиям на стенках волновода,
которые считаем идеально проводящими.
Мембранное уравнение для продольной
компоненты поля имеет вид
.
(1)
Продольная
составляющая поля
является касательной к поверхности
стенок волновода. На границе с идеальным
проводником касательная составляющая
электрического поля равна нулю,
следовательно,
(при
и
;
y=0
и
y=b)
(2)
Искомая функция в уравнении (1) зависит от двух аргументов x и y. Уравнение решается методом разделения переменных: искомая функция представляется в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит от одного аргумента. Запишем
(3)
подставим (3) в уравнение (1), обозначив производные функции одной переменной штрихами:
/
Разделим
полученное равенство на
.
(4)
Уравнение (4) состоит из трех слагаемых: первое из них зависит от переменной x, второе - от переменной y, а третье - не зависит от этих переменных. Это уравнение должно удовлетворяться в любой точке поперечного сечения волновода. В частности, можно двигаться параллельно оси x, сохраняя y=const. Второе и третье слагаемые при этом постоянны. Но и первое слагаемое не может меняться, не нарушая уравнение (4). Следовательно, данное уравнение удовлетворяется лишь в том случае, если все его слагаемые постоянны. Обозначим
(5)
Тогда уравнение (4) превращается в уравнение для поперечных коэффициентов:
(6)
где
- поперечный коэффициент по осих,
-
поперечный коэффициент по осиу.
Дифференциальные
уравнения (5) являются линейные уравнения
второго порядка
и
решения которых известны:
(7)
(8)
Функции Х(х) и Y(y) должны удовлетворять граничным условиям (2), т.е. X(x) = 0 при x=0 и х=а; Y(y) = 0 при y=0 и y=b. Следовательно, B = 0 и D = 0, если положить в (7) и (8) х = 0 и y = 0.
Требуется также, чтобы при х=а и y=b выполнялись равенства
и
(9)
При этом вдоль каждой стороны волновода укладывается целое число полуволн синусоиды распределения поля, а коэффициенты
(10)
где
m=1,2,3,…
и n=1,2,3,…
- целые
положительные числа. Ни одно из них
нельзя принять равным нулю, так как
тогда
тождественно обращается в нуль.
Обозначим
и получим
решение для продольной составляющей
поля в виде
(11)
Найденное
решение существует только при определенных
значениях поперечных коэффициентов
и
.
Вместе они определяют поперечный
коэффициент фазы волновода
.
Он зависит от выбора чиселm
и n
и определяет
критическую
частоту:
(12)
Каждой
комбинации m
и n
соответствует
своя структура поля
,
т.е. определенный тип волны, который
обозначается
Первый индексm
определяет число полуволн в структуре
укладывающихся
вдоль осиx,
а второй n
- число полуволн вдоль оси y.
Чем больше значения m
и
n,
тем выше
.
По
условию
определяется
частота, необходимая для существования
волны соответствующего типа.
Поперечные
составляющие поля волны
:
(13)
(14)
Простейшая
волна Е-класса с минимальными индексами
m=1
и n=1
обозначается как
.
Она имеет минимальную критическую
частоту из всех E
- волн.
На
рис. 2 представлена картина поля волны
.
На рисунке линии электрического поля
сплошные, магнитного - пунктирные.
Черными кружками изображены линии,
направленные к читателю, крестиками -
от него.
Рисунок
поля любой волны
образуется повторением рисунка поля
волны
,
с изменением направления его линий.
Рис.2.
Картина силовых линий поля волны
Н-волны
Мембранное
уравнение для продольной компоненты
поля
имеет
вид
(15)
Оно решается методом разделения переменных. Это решение имеет вид:
(16)
На границе с идеальным проводником касательная составляющая магнитного поля достигает экстремума:
,
(17)
где n- направление нормали ко всем стенкам волновода.
Необходимо
решить уравнения:
приx=0
и x=a;
приy=0
и y=b.
При
этом получаем А=0,
С=0
и
идентичные (10).
Следовательно,
для Е-волн и Н-волн выражения для
поперечного коэффициента
и критической частоты (12) одинаковы.
Продольная
составляющая поля Н-волны
(18)
Поперечные
составляющие поля волны
:
(19)
(20)
В
данном случае допустимо, чтобы m
или
n
были порознь
равны нулю. Тогда поле не меняется по
одной из координат. Однако, если положить
одновременно m=0
и n=0,
то
,
что приводит к нулевым поперечным
составляющим, т.е. свидетельствует об
отсутствии электромагнитной волны.
Простейшие волны этого класса с
минимальными индексами:H10,
H01,
H11,…
Волну,
обладающую в волноводе данной формы
минимальной критической частотой,
называют основной. Наименьшие индексы
у волн
и
.
Если принятьa>b,
то
и критическая частота волны
меньше, чем критические частоты волн
,
и всех остальных волн с еще более сложной
структурой. Поэтому волна
в прямоугольном волноводе с a>b
является
основной, а все остальные типы волн
именуют волнами высших порядков.
Структура
волны
показана на рисунке в трех проекциях
(рис.3). Структура поля волн
получается повторением картины волны
по оси х m
раз, если
менять каждый раз направление линий
напряженности поля. Структуры поля волн
образуются простым поворотом предыдущих
изображений на
,
т.е. переменой осейx
и
y.
Рис.3.
Картина силовых линий поля волны
Для
образования
остальных
типов волн класса Н
исходной
является волна
(рис. 4). Повторяя эту структуру по
горизонтали с переменой направлений
линий поля, можно получить поле любойН-волны.
Рис.4.
Картина силовых линий поля волны
Описание лабораторной установки.
Внешний вид лицевой панели виртуальной лабораторной установки приведён на рис.5.
В верхней её части расположен заголовок «Структура поля в прямоугольном металлическом волноводе» и кнопка останова STOP.
Рис.5. Лицевая панель ВИ «Структура поля в прямоугольном металлическом волноводе»
На
левом краю лицевой панели находятся
регуляторы, задающие параметры волновода:
размеры a
и b
в мм, относительные диэлектрическую
и магнитную
проницаемости заполнения волновода.
Ниже расположены регуляторы, задающие
индексыm
и n
типа волны и частоту в ГГц.
В средней части лицевой панели расположен переключатель класса волн с положениями «Волна Е» и «Волна Н». Этот переключатель не срабатывает, если один из индексов волны равен нулю. Если оба индекса волны равны нулю, загорается табло «Ошибка в исходных данных».
Если условие распространения волны в волноводе не выполняется, загорается табло «Частота меньше критической».
В
правой части лицевой панели находятся
три регулятора координат точки внутри
волновода: «Координата X
в мм», «Координата Y
в мм», «Координата Z
в мм». Пределы регулировки генераторов
связаны с регуляторами размеров и
параметров волновода и волны:
,
,
,
где
- длина волны в волноводе. Ниже находится
регулятор амплитуды волны в волноводе.
У правого края лицевой панели находятся 6 цифровых индикаторов, в которых выводятся компоненты векторов напряженностей электрического и магнитного полей в точке с заданными координатами.
Включение прибора осуществляется нажатием на двунаправленную стрелку в строке кнопок окна LabVIEW, расположенная правее заголовка кнопка STOP выключает виртуальную лабораторную установку.