2. Интерполяция полиномами Бесселя

Интерполяционные формулы Ньютона являются основными и применимы почти во всех случаях интерполирования, но, вообще говоря, они сходятся не так быстро, как формула Бесселя.

Пусть необходимо вычислить значение , где . Выражение для вычисления по формуле Бесселя будет следующее:

+ , (5)

где .

Следует подчеркнуть, что существует один и только один интерполяционный многочлен при заданном наборе узлов интерполяции. Формулы Ньютона, Бесселя и др. порождают один и тот же полином (при условии, что вычисления проводятся точно). Разница лишь в алгоритме их построения. Выбор способа интерполяции определяется различными соображениями: точностью, временем вычислений, погрешностями округлений и др.

Пример

Результаты эксперимента – исследование термодинамических свойств воды и водяного пара в состоянии насыщения - представлены в табл. 2.

Рассчитать промежуточное, по отношению к табличному, значение давления насыщенного пара P при температуре T=24 ^oС, используя интерполяционные формулы Ньютона. Вычисления проводить с четырьмя разрядами.

Сравнить полученные результаты.

Таблица 2

Термодинамические свойства воды и водяного пара в состоянии насыщения

i	Температура воды T, ^oС	Давление насыщенного пара P, кПа	Удельная теплота испарения Q, кДж/кГ
0	10	1,227	2477,4
1	30	4,242	2430,2
2	50	12,335	2382,5
3	70	31,161	2333,8
4	90	70,108	2283,4

Решение.

1. Функция рассчитывается для значения аргумента T = 24, принадлежащего левой половине рассматриваемого отрезка [10, 90], поэтому основная формула – (3).

2. Рассчитаем вспомогательные величины.

Максимальная степень интерполяционного полинома n должна быть на единицу меньше числа узловых точек. В нашем случае узловых точек k = 5, а степень полинома n = 4.

Величины q - n + 1 = q – 4 + 1 = q – 3, .