Лабораторная работа № 5 интерполяция функции

Результаты экспериментов обычно бывают представлены ограниченным числом в виде таблиц, отражающих зависимость величины исследуемого явления y от фактора x. При этом величины, где , образуют узловую точку.

Для практического применения, как правило, необходимо знать и промежуточные, по отношению к табличным, значения y.

Если бы была известна форма зависимости , то это означало бы, что любому значению x из области определения поставлено в соответствие значение y. Но на практике явная связь между y и x обычно неизвестна, поэтому возникает необходимость приближенной замены данной функции некоторой функцией . Процедура нахождения функции для данной функции называется приближением функций. Одним из способов выбора приближения функции и является интерполяция. Интерполяция есть восстановление функции (точное или приближенное) по известным ее значениям.

Если интерполирующая функция строится на всем интервале изменения аргумента , то такая интерполяция называется глобальной.

Если интерполяционные многочлены строятся отдельно для разных частей рассматриваемого интервала изменения x, то говорят о локальной интерполяции.

В тех случаях, когда интерполяционные многочлены используются для приближенного вычисления функции вне рассматриваемого отрезка , приближение функции называют экстраполяцией.

Интерполирующая функция принимает в узлах те же значения, что и функция , т.е.

, i = 0, 1, …, n. (1)

Выражение для выбирают так, чтобы оно позволяло достаточно легко вычислять значения интерполирующей функции. После этого полагают для всех x из . Чаще всего представляют в виде полинома, максимальная степень которого при числе узлов составляет n:

. (2)

Примером глобальной интерполяции могут служить многочлены Ньютона и Бесселя, рассмотренные ниже для случая равноотстоящих значений аргумента, т.е. шаг = const (i = 1, 2, …, n).

1 Интерполяция полиномами Ньютона

Первая интерполяционная формула Ньютона (или интерполяционный многочлен для интерполирования вперед) имеет вид:

, (3)

где , - конечные разности.

Разности первого порядка функции есть:

.

Разности второго порядка функции:

.

Аналогично составляются разности порядка k:

i = 0, 1,…, n-1.

Для удобства конечные разности обычно представляют в виде таблицы, в которую выписываются также значения аргумента x и функции y. Такую таблицу называют таблицей разностей (см. табл. 1).

Таблица 1

Таблица конечных разностей

Вторая интерполяционная формула Ньютона (или интерполяционный многочлен для интерполирования назад) записывается в виде:

, (4)

где .

Выбор исходной формулы выполняется следующим образом. Для вычисления значения функции в точках левой половины рассматриваемого отрезка используется формула (3), для вычисления функции в точках правой половины отрезка - формула (4).

Формулы Ньютона удобно применять, если количество узлов интерполяции постепенно увеличивается. При этом учет нового узла требует лишь вычисления одного дополнительного слагаемого в (3) и (4).