4. Интерполяционные формулы и их остаточные члены

В интерполяционных формулах используется нормированный аргумент

. (9)

1) Первая интерполяционная формула Ньютона (интерполяционный многочлен Ньютона для интерполирования вперед – применяется, как правило, для вычисления значений функции в начале таблицы разностей):

+

+, (10)

или

, (11)

где рекуррентные коэффициенты вычисляются следующим образом:

, а ; (i = 1, 2, …, n). (12)

2) Вторая интерполяционная формула Ньютона (интерполяционный многочлен Ньютона для интерполирования назад – применяется, как правило, для вычисления значений функции в конце таблицы разностей):

+

+ . (13)

3) Интерполяционная формула Бесселя(центральных разностей):

+

+ + …

…

+

+. (14)

4) Интерполяционная формула Лагранжа (одна из формул, применяемая для неравноотстоящих узлов)

(15)

Пример1. В табл.2 приведены экспериментальные данные (столбцы 1 и 2) и конечные разности (столбцы 3–6) при их горизонтальном расположении. С этими табличными данными необходимо установить наличие ошибки в экспериментальном значении функции, устранить ее и составить исправленную таблицу конечных разностей.

Решение. Из табл.2 видно, что третьи разности совершенно беспорядочны около середины столбца, еще более беспорядочны четвертые разности. Из этого заключаем, что в значение функции при x = 40 вкралась ошибка. Движение ошибки заключено в жирную рамку. Для определения величины ошибки сначала вычислим по (8), учитывая, что i = 5, исправленное значение разности второго порядка:

= (–83 – 103 – 106)/3 = –293/3.

Т а б л и ц а 2

К примерам 1 и 2

x
1	2	3	4	5	6	7	9	10	11	12
20	19867	4873	–61	–13	4	19867	4873	–61	–13	+1
25	24740	4812	–74	–9	–11	24740	4812	–74	–12	+1
30	29552	4738	–83	–20	17	29552	4738	–86	–11	–1
35	34290	4655	–103	–3	–11	34290	4652	–97	–12	+1
40	38945	4552	–106	–14	3	38942	4555	–109	–11	0
45	43497	4446	–120	–11	2	43497	4446	–120	–11	+2
50	47943	4326	–131	–9	–3	47943	4326	–131	–9	–3
55	52269	4195	–140	–12		52269	4195	–140	–12
60	56464	4055	–152			56464	4055	–152
65	60519	3903				60519	3903
70	64422					64422

Теперь по формуле (7) вычисляем :

.

Выражение (6) дает возможность вычислить исправленное значение функции:

.

С этим исправленным значением функции составляем новую таблицу разностей (табл.2, столбцы 7–12), из которой видно, что после внесения поправки в значение функции для x = 40 результаты получились более сглаженными. Для сравнения исправленная часть таблицы также заключена в жирную рамку.

Пример 2. Используя данные в столбцах 7–12 табл.2, установить, разностями какого порядка следует выполнить вычисления, и по первой формуле Ньютона и формуле Бесселя вычислить значение функции для x = 37 (h = 5).

Решение. Рассмотрим разности третьего порядка. В этом случае ,,. Из данных табл.2 получаем:

,,

т.е. ни одно из условий (5) не выполняется.

Теперь рассмотрим ,,. В этом случае

,,

поэтому в данном примере достаточно использовать разности третьего порядка.

Далее определяем нормированную величину (для x = 37) по формуле (9): .

Для применения формулы Ньютона по рекуррентным соотношениям (12) вычисляем коэффициенты :

;;

;.

По формуле (11) находим искомое значение функции (в пределах точности данных табл.2):

=

= 34290 + 1861 + 12  1 = 36162.

По формуле Бесселя (18) получим следующий результат:

==36162.

Как видим, результаты, полученные по формулам Ньютона и Бесселя, с точностью округлений совпадают.