Тема 3. Симплексный метод решения задач линейного программирования.

Среди универсальных методов решения задач линейного про­граммирования наиболее распространен симплексный метод (или симплекс-метод), разработанный американским ученым Дж. Данци­гом.

Симплекс-метод может быть применен для решения любых задач линейного программирова­ния как вручную, так и с помощью ЭВМ.

Идея метода состоит в последовательном продвижении по базисам опорных планов задачи, т.е. в последовательном улуч­шении планов задачи по определенному критерию, до тех пор пока не будет получено оптимальное решение.

Рассмотрим последовательно процесс подготовки исходных данных и алгоритм решения задачи линейного программирова­ния табличным симплекс -методом.

Задача линейного программирования представлена в матричной форме записи:

(3.1)

(3.2)

где C= (c₁,c₂,….c_n) –вектор-строка, A=(a_ij) –матрица размерности ,

-вектор –столбец, -вектор –столбец.

Для решения ЗЛП симплекс-методом необходимо привести ее к канонической форме записи (1.9) - (1.11), причем матрица системы уравнений должна содержать единичную подматрицу размерности . Приведение ЗЛП к каноническому виду осуществляется введе­нием в левую часть соответствующего ограничения вида (1.10)k-ой дополнительной переменной х_п+k 0 со знаком «—» в случае огра­ничения типа и знаком «+» в случае ограничения типа .

Для решения ЗЛП табличным симплекс-методом удобно использовать векторную форму записи КЗЛП, которая имеет вид:

(3.3)

п

(3.4)

ри ограничениях

где C= (c₁,c₂,….c_n), X= (x₁,x₂,….x_n) – вектор - строки,

CX-скалярное произведение векторов C и X.

Координаты векторов A₁, A₂, ..., A_n - это коэффициенты при неизвестных х₁, х₂,…. х_n соответственно.

После приведения ЗЛП к канонической форме записи необходимо определить допустимое базисное решение. Если для определенности предположить, что первые m векторов матрицы системы составляют единичную матрицу. Тогда очевиден первоначальный опорный план =(b₁,b₂,….b_m,0,….,0) (последние n-m ком­понент вектора равны нулю). Этот план определяется системой единичных векторовA₁, A₂, ..., A_т, которые образуют базис m-мерного пространства.

Положим тогда

Исследование опорного плана на оптимальность, а также дальнейший вычислительный процесс удобнее вести, если усло­вия задачи и первоначальные данные, полученные после опре­деления исходного опорного плана, записать так, как показано в табл. 1.3.

В столбце С_б этой таблицы записывают коэффициенты при неизвестных целевой функции, имеющие те же индексы, что и векторы данного базиса.

В столбце B записывают положительные компоненты исход­ного опорного плана, в нем же в результате вычислений получают положительные компоненты оптимального плана. Столбцы век­торов A_j, представляют собой коэффициенты разложения этих векторов по векторам данного базиса.

В табл. 3.1 первые m строк определяются исходными дан­ными задачи, а показатели вычисляют. В этой строке в столбце вектора B записывают значение целевой функ­ции, которое она принимает при данном опорном плане, а в столб­це вектора A_j — значение

Значение z_j находится как скалярное произведение A_j на вектор С_б.

(3.5)

Значение F₀, равно скалярному произведению вектора С_б на B.

(3.6)

Таблица 3.1

i

Базис

Сб

B

с1

с2

…

сr

…

сm

сm+1

…

ck

…

cn

Qmin

A1

A2

…

Ar

…

Am

Am+1

…

Ak

…

An

1

A1

с1

b1

1

0

…

0

…

0

a1m+1

…

a1k

…

a1n

q1

2

A2

с2

b2

0

1

…

0

…

0

a2m+1

…

a2k

…

a2n

q2

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

r

Ar

сr

br

0

0

…

1

…

0

arm+1

…

ark

…

arn

qr

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

m

Am

сm

bm

0

0

…

0

…

1

amm+1

…

amk

…

amn

qm

F0

0

0

0

0

0

0

…

…

После заполнения табл. 3.1 исходный опорный план прове­ряют на оптимальность. Для этого просматривают элементы (т+1)-й строки таблицы. В результате может иметь место один из следующих трех случаев:

1) 0 для j =m+1, m + 2, ..., п, при (По­этому в данном случае числа >0 для всех j от 1 до n;

2) <0 для некоторого j, и все соответствующие этому ин­дексу величины 0, (

3) <0 для некоторых индексов j, и для каждого такого j по крайней мере одно из чисел - положительно.

В первом случае на основании признака оптимальности ис­ходный опорный план является оптимальным. Во втором случае целевая функция не ограничена сверху на множестве планов, а в третьем случае можно перейти от исходного плана к новому опорному плану, при котором значение целевой функции увели­чится. Этот переход от одного опорного плана к другому осу­ществляется исключением из исходного базиса какого-нибудь из векторов и введением в него нового вектора. В качестве век­тора, вводимого в базис, можно взять любой из векторов A_j, имеющий индекс j, для которого <0. Пусть, например, <0 и решено ввести в базис вектор A_k. Если получается несколько небазисных векторов, которые получают оценку <0, то в базис вводится вектор A_k, получивший наименьшую из отрицательных оценок.

Для определения вектора, подлежащего исключению из ба­зиса, находят:

(3.7)

Пусть этот минимум достигается при i =r. Тогда из базиса исключают вектор A_k, а число a_rk называют разрешающим элементом.

Столбец и строку, на пересечении которых находится разре­шающий элемент, называют направляющими.

После выделения направляющей строки и направляющего столбца находят новый опорный план и коэффициенты разложе­ния векторов A_j через векторы нового базиса, соответствующего новому опорному плану. Это легко реализовать, если восполь­зоваться методом Жордана—Гаусса. При этом можно показать, что положительные компоненты нового опорного плана вычисля­ются по формулам:

(3.8)

(3.9)

акоэффициенты разложения векторовA_j через векторы нового базиса, соответствующего новому опорному плану,— по форму­лам:

(3.10)

(3.11)

После вычисления исогласно формулам (3.9) и (3.11) их значения заносят в новую симплексную таблицу.

Для использования приведенной выше процедуры симплекс-метода к минимизации линейной формы f() следует искать мак­симум функции f₁() = -f(), затем полученный максимум взять с противоположным знаком. Это и будет искомый минимум исход­ной ЗЛ П.

Пример 6. Для изготовления различных изделий A, В, С и D пред­приятие использует три различных вида сырья. Нормы расхода сырья на производство одного изделия каждого вида, цена од­ного изделия A, B, С и D, а также общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано предприятием, приве­дены в табл. 3.2.

Таблица 3.2

Вид сырья	Нормы затрат сырья (кг) сырья на одно изделие				Общее количест­во сырья (кг)
	А	B	C	D
I	6	5	3	4	80
II	15	12	8	10	100
III	5	3	2	4	70
Цена одного изделия (руб.)	30	10	20	15

Изделия A, B, С и D могут производиться в любых соотноше­ниях (сбыт обеспечен), но производство ограничено выделен­ным предприятию сырьем каждого вида.

Составить план производства изделий, при котором общая стоимость всей произведенной предприятием продукции являет­ся максимальной.

Решение. Составим математическую модель задачи. Ис­комый выпуск изделий А обозначим через x₁, изделий В — че­рез x₂, изделий С — через х_з, изделий D — через х₄. Поскольку имеются ограничения на выделенный предприятию фонд сырья каждого вида, переменные х₁, х₂, x₃, х₄ должны удовлетворять следующей системе не­равенств:

Общая стоимость произведенной предприятием продукции при условии выпуска х₁, изделий А, х₂ изделий В, х₃ изделий С, х₄ изделий D составляет:

Запишем эту задачу в канонической форме. Для этого перейдем от ограничений-нера­венств к ограничениям-равенствам. Введем три дополнительные переменные, в результате чего ограничения запишутся в виде системы уравнений:

Эти дополнительные переменные по экономическому смыслу означают не используемое при данном плане производства ко­личество сырья того или иного вида. Например, x₄ — это не­используемое количество сырья I вида.

А целевая функция примет вид:

Поскольку среди векторов A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆, A₇ имеются три единичных вектора, для данной задачи можно непосредственно записать опорный план. Таковым является план Х=(0; 0; 0; 0; 80; 100; 70), определяемый системой трехмерных единичных векторов A₅, A₆, A₇, которые образуют базис трехмерного век­торного пространства.

Как видно, значения всех основных переменных х₁, х₂, х₃, х₄ равны нулю, а дополнительные переменные принимают свои значения в соответствии с ограничениями задачи. Эти значения переменных отвечают такому «плану», при котором ничего не производится, сырье не используется и значение це­левой функции равно нулю (т. е. стоимость произведенной про­дукции отсутствует). Этот план, конечно, не является оптималь­ным.

Составляем симплексную таблицу для I итерации (табл. 3.3), подсчитываем значения F₀=( С_б, B), и оценки

Например, оценка первого столбца

Δ₁=0·6+0·15+0·5-30=-30

Таблица3.3

I	i	Базис	Сб	B	30	10	20	15	0	0	0	Qmin
					A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7
	1	A5	0	80	6	5	3	4	1	0	0
	2	A6	0	100	15	12	8	10	0	1	0
	3	A7	0	70	5	3	2	4	0	0	1
				0	-30	-10	-20	-15	0	0	0

Как видно и из 4-й строки табл. 3.3, получается три отрицательных оценки: —30, —10, —20 и —15. Отрицательные числа не только свидетельствуют о воз­можности увеличения общей стоимости производимой продук­ции, но и показывают, на сколько увеличится эта сумма при введении в план единицы того или другого вида продукции.

Так, число —10 означает, что при включении в план произ­водства одного изделия В обеспечивается увеличение выпуска продукции на 10 руб. Если включить в план производства по од­ному изделию A и С, то общая стоимость изготовляемой про­дукции возрастет соответственно на 30 и 20 руб. Поэтому с экономической точки зрения наиболее целесообразным является включение в план производства изделий A. Это же необходимо сделать и на основании формального признака симплексного метода, поскольку минимальная отрицательная оценка; стоит в 4-й строке столбца вектора A₁. Сле­довательно, в базис введем вектор A₁. Определяем вектор, под­лежащий исключению из базиса. Для этого находим Q_min по формуле (3.7):

Q_min = min (80/6; 100/15; 70/5) = 100/15.

Найдя число 100/15 = 6,67, мы тем самым с экономической точки зрения определили, какое количество изделий A пред­приятие может изготовлять с учетом норм расхода и имеющих­ся объемов сырья каждого вида. Так как сырья данного вида соответственно имеется 80, 100 и 70 кг, а на одно изделие A требуется затратить сырья каждого вида соответственно 6, 15 и 5 кг, то максимальное число изделий A, которое может быть изготовлено предприятием, равно min (80/6; 100/15; 70/5) = 100/15= 6,67 7, т. е. ограничивающим фактором для производства изделий A является имеющийся объем сырья II вида. С учетом его наличия предприятие может изготовить 7 изделий A. При этом сырье II вида будет полностью использовано.

Следовательно, вектор A₆ подлежит исключению из базиса. Столбец вектора A₆ и 2-я строка являются направляющими. Составляем таблицу для II итерации (табл. 3.4).

Сначала заполняем строку вектора, вновь введенного в ба­зис, т. е. строку, номер которой совпадает с номером направ­ляющей строки. Здесь направляющей является 2-я строка. Эле­менты этой строки табл. 3.4 получаются из соответствующих элементов табл. 3.3 делением их на разрешающий элемент (т. е. на 15).

Таблица 3.4

II	i	Базис	Сб	B		30	10	20	15	0	0	0	Qmin
						A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7
	1	A5	0
	2	A1	30			1				0		0
	3	A7	0

1-ая строка новой II-ой симплексной таблицы 3.5 получается: (1-ая строка I-ой симплексной таблицы) -6·(2-ую строку II-ой симплексной таблицы).

3-ая строка новой II-ой симплексной таблицы 3.5 получается: (3-ая строка I-ой симплексной таблицы) -5·(2-ую строку II-ой симплексной таблицы).

Значение F₀=0·40+30·+0·=200 и новый опорный план Х=(; 0; 0; 0; 40; 0; ) можно рассчитать из табл. 3.5.

Рассчитав оценки, получаем что есть одна отрицательная оценка

Δ₃=0·(-2)+30·+0·-20=-4, что говорит о неоптимальности плана и возникает необходимость в III-ей итерации, следовательно необходимо найти Q_min=min(:)=·=,так как все остальные элементы вектора A₃ меньше нуля.

Таблица 3.5

II	i	Базис	Сб	B	30	10	20	15	0	0	0	Qmin
					A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7
	1	A5	0	40	0			-2	1		0	-
	2	A1	30		1				0		0
	3	A7	0		0	-1			0		1	-
				200	0	14	-4	5	0	2	0

Переходим к новому базису вектор A₁ подлежит исключению из базиса. Столбец вектора A₃ и 2-я строка являются направляющими. Составляем таблицу для III итерации

Таблица 3.6

III	i	Базис	Сб	B	30	10	20	15	0	0	0	Qmin
					A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7
	1	A5	0				0		1		0
	2	A3	20				1		0		0
	3	A7	0	45		0	0		0		1
				250		20	0	10	0		0

Экономический смысл решения заключается в том, что при заданных ограничениях на ресурсы и цены на изделия получается невыгодным производить изделия вида A, B и D. Общая стоимость всей произведенной предприятием продукции являет­ся максимальной при производстве изделия вида С в количестве при этом максимальная стоимость составит 250 рублей.

Пример 7. Найти симплекс-методом максимум функции

при ограничениях

Решение: Так как среди векторов A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆ имеется три еди­ничных вектора, то для данной задачи можно непосредственно найти опорный план.

Таковым является план X=(0; 0; 20; 24; 0; 18). Составляем симплексную таблицу (табл. 3. 7) и прове­ряем, является ли данный опорный план оптимальным.

Таблица 3.7

I	i	Базис	Сб	B	2	-6	0	0	5	0	Qmin
					A1	A2	A3	A4	A5	A6
	1	A3	0	20	-2	1	1	0	1	0	20
	2	A4	0	24	-1	-2	0	1	3	0	8
	3	A6	0	18	3	-1	0	0	-12	1	-
				0	-2	6	0	0	-5	0

Как видно из табл. 3.7, план не оптимален, так как есть отрицательные оценки ,рассчитываем оценки Q_min, и переходим к новому опорному плану и строим новую симплексную таблицу:

Таблица 3.8

II	i	Базис	Сб	B	2	-6	0	0	5	0	Qmin
					A1	A2	A3	A4	A5	A6
	1	A3	0	12			1		0	0	-
	2	A5	5	8			0		1	0	-
	3	A6	0	144	-1	-9	0	4	0	1	-
				40			0		0	0

Как видно из табл. 3.8, новый опорный план задачи не явля­ется оптимальным, так как в 4-й строке столбца вектора A₁ стоит отрицательное число . Поскольку в столбце этого вектора нет положительных элементов, данная задача не имеет оптимального плана.