1.2 Задачи на построение математической модели задач линейного программирования.

1.2.1 Максимизация выпуска продукции при ограничениях на расход ресурсов.

Производственная ситуация: необходимо спланировать работу хлебокомбината на некоторый период. Установлен перечень выпускаемой продукции, известна рыночная цена каждого продукта. Для производства продукции используются ресурсы: мука, дрожжи, соль, сахар, яйца, электроэнергия, отопление, труд пекарей, и т.д. Установлен полный перечень этих ресурсов и общее количество каждого ресурса, которое может быть израсходовано в плановом периоде. Известен расход каждого ресурса на единицу каждого продукта. Необходимо определить, сколько каждой продукции нужно производить, чтобы суммарная рыночная стоимость всей продукции (выпуск, выручка) была наибольшей.

Введем обозначения:

j=1,...,n - номера (индексы) производимых продуктов;

i =1,...,m - номера (индексы) используемых ресурсов;

b_i - запас i-го ресурса, т.е. допустимый расход i-го ресурса в плановом периоде;

c_j - рыночная цена j-го продукта;

a_ij- расход i-го ресурса на производство единицы j-го продукта;

x_j - плановый объем производства j-го продукта, величина неизвестная, ее нужно найти в процессе решения задачи.

Все исходные данные можно представить таблицей:

Таблица 1.1

Ресурсы	Продукты производства				Запасы ресурсов
	1	2	…j...	n
1	a11	a12	…..	a1n	b1
2	a21	a22	…..	a2n	b2
…..	…..	…..	…..	…..	…..
i	…..	…..	aij	…..
…..	…..	…..	…..	…..	…..
m	am1	am2	…..	amn	bm
Цена	c1	c2		cn

Рассмотрим числовой пример и сформулируем задачу линейного программирования.

Пример 1. Для изготовления пяти видов продукции используется три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цена каждого продукта приведены в таблице.

Таблица 1.2

Тип сырья	Нормы расхода сырья на один вид выпускаемой продукции					Запасы сырья
	А	Б	В	Г	Д
I	5	2	1	0	2	20
II	1	1	2	1	1	35
III	1	903	3	2	3	40
Цена изделия	12	7	18	10	20

Сформулируйте задачу линейного программирования по критерию «максимум рыночной стоимости всей продукции»

Решение:

Определим неизвестные величины - плановый объем производства видов продукции А, Б, В, Г, Д.

Мы хотим найти такой план производства ,при которых суммарная стоимость продукции будет наибольшей. Появляется еще одно понятие – критерий оптимальности: это такой экономический показатель, по которому оценивается решение задачи. В данной задаче критерий оптимальности – общая стоимость продукции. Экономисты обычно говорят в таком случае о валовом продукте в денежном выражении. Если произведенная продукция будет продана по указанным ценам, то полученные деньги составят валовой продукт или выручку. ОбозначимV – валовой продукт и запишем формулу для его вычисления в данной задаче:

В этом выражении цены умножаются на плановые объемы производства продуктов, и все суммируется. Данное выражение называют целевой функцией – это математическое выражение критерия оптимальности.

Теперь нам нужно записать математически то обстоятельство, что нельзя в производстве израсходовать больше ресурсов, чем их имеется. Запишем такое выражение для I-го ресурса:

Здесь слева от знака записан плановый расход I-го ресурса, а справа – наличие I-го ресурса. Смысл ограничения – нельзя израсходовать I-го ресурса больше, чем его имеется. Очевидно, что такие же ограничения должны быть записаны для II-го и III-го ресурсов.

Очевидно, что величины ,при которых суммарная стоимость продукции будет наибольшей, могут принимать любые положительные значения и ноль, но никак не могут быть отрицательной величиной.

Теперь приступим к созданию экономико-математической модели, т.е. к математической записи экономической задачи.

Целевая функция

при ограничениях на ресурсы