1.9. Расчет сложных электрических цепей

1.9.1 Применение законов Кирхгофа

Сложной называется электрическая цепь, не сводящаяся к последо­вательному и параллельному соединению потребителей.

В качестве примера рассмотрим сложную цепь на рис. 8. Задача сводится к определению токов во всех ее ветвях, если э.д.с. и сопротивления ее элементов заданы. Для этого применим законы Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа исходит из того, что ни в одном узле не могут накапливаться электрические заряды и поэтому алгебраическая сумма токов в одном узле равна нулю ΣI = 0.

Второй закон Кирхгофа, являясь следствием закона сохранения энергии, формулируется следующим образом: алгебраическая сумма падений напряжений на резистивных элементах, составляющих замкнутый контур, равна алгебраической сумме э.д.с. источников э.д.с. этого контура Σ rI = Σ Е.

Рис. 8

Число неизвестных токов схемы равно числу m ее ветвей. Поэтому для решения задачи необходимо составить систему, состоящую из m = 6 независимых уравнений.

Установим сначала, какое число уравнений этой системы можно составить, пользуясь первым законом Кирхгофа. Предположим, что c схема имеет k узлов. В заданной схеме k = 4. Зададимся произвольным направлением токов отдельных ветвей схемы. Условимся, что токи, направленные к узлам, имеют знак «плюс», а токи, направленные от узлов – знак «минус». Для всех узлов схемы можно составить следующую систему уравнения:

для узла a: I₁ + I₅ + I₆ = 0

для узла b: I₂ – I₄ – I₅ = 0

для узла c: I₄ – I₆ – I₃ = 0 (1.17)

для узла d: I₃ – I₁ – I₂ = 0

Ток каждой ветви схемы входит в эти уравнения дважды с разными знаками, поэтому при суммировании левых частей первых трех уравнений:

I₁ + I₂ – I₃ + (I₄ – I₄) + (I₅ – I₅) + (I₆ – I₆) = 0 или I₁ + I₂ – I₃ = 0

получается уравнение, аналогичное уравнению, составленному для узла d. Следовательно, в общем случае уравнение, составленное по первому закону Кирхгофа для узла к, не является независимым, так как оно может быть получено суммированием ранее взятых уравнений для (k  1) узлов. Отсюда следует, что число независимых уравнений, которые можно составить по первому закону Кирхгофа, равно числу, узлов схемы без одного (k – 1).

Так как число ветвей m всегда больше числа узлов k, то недостающее число уравнений m – (k  1) можно составить, пользуясь вторым законом Кирхгофа для замкнутых контуров. Чтобы каждое из составляемых уравнений было независимо от предыдущих, надо всю схему разбить на независимые контуры. Разбивку следует начинать с выбора простейшего контура (с наименьшим числом ветвей), а затем следить, чтобы каждый следующий контур был независим от предыдущего, для чего в него должна входить хотя бы одна ветвь, не вошедшая в рассмотренные до этого контуры.

Выберем три независимых контура, как указано на схеме рис.8,. и примем обход их по направлению движения часовой стрелки. Тогда по второму закону Кирхгофа, получим:

для контура I: r₁I₁ – r₅I₅ – r₂I₂ = E₁ – E₂,

для контура II: r₂I₂ + r₄I₄ + r₃I₃ = E_2, (1.18)

для контура III: r₅I₅ – r₆I₆ – r₄I₄ = 0.

Решая систему из трех первых уравнений (1.17) и трех уравнений (1.18), можно найти токи всех участков схемы.

Если при решении уравнений токи отдельных участков получатся отрицательными, то это будет означать, что действительное направление токов противоположно выбранному направлению токов на схеме.