3.1.3. Комбинированный метод штрафных функций

Вернемся к рассмотрению задачи условной оптимизации (3.1) со смешанными ограничениями. Данный метод является обобще­нием методов, изученных в подразд. 3.1,1 и 3.1.2, а именно: для учета ограничений типа равенств применяют штрафные фун­кции (как в методе внешней точки), для ограничений типа нера­венств - барьерные функции.

Таким образом, в основе комбинированного метода лежит сведение исходной задачи условной минимизации (3.1) к после­довательности задач без ограничений вида

1

-"■ r_k^g,{X)

Начальная точка задается внутри допустимой области R, т.е. при строгом выполнении ограничений типа неравенств g(X) > О, s=l, ..., р. На каждом к-м этапе точка минимума расширенной функции F(X, r_t) ищется при заданном значении г_кс помощью одно­го из методов безусловной минимизации. Полученная точкаХ'(г_к) используется в качестве начальной на следующем этапе, выполня­емом при увеличивающемся значении параметра г_к. При r_t-> со по­следовательность точек Х'{г_к) .стремится к точному решению X' исходной задачи.

3.1.4. Типовой пример

Найти минимум функции/(Х) = (.х_|-2)²+ (х_г-1)² при смешан­ных ограничениях h(X) =х_х-2х₂+1.= 0; g(X) = -0,25л:,²-х;+ 1> 0.

Воспользуемся комбинированным методом штрафных функ­ций.

Построим расширенную функцию:

= (л, -2)² +(х₂ -I)² +ф, -2x₂+\f +■

-0,25х,^г-х₂²+Г

Минимизацию F(X,r) выполним градиентным методом, в соответствии с которым направление спуска выбирается по ан­тиградиенту S^k =-F'(x^k). Тдгда минимизирующая последова­тельность построится по рекуррентной формуле

X^ki'=X^k +a_kS^k,k = 0,\, 2,...

Для этого на каждом шаге нам понадобятся значения функ­ций:

где присоединенная функция имеет

вид:

\ ₇ ф²+4.*--4) '

45

уу

dx_t

Следуя методу градиентного спуска, координаты точки Х^к*^] будут вычисляться так:

dx_t дх₂

В качестве исходной точки выберем Z⁰=(0,5;0,5). Результа­ты решения последовательности задач при увеличивающемся зна­чении г, начиная с г = 1, приведены в таблице.

44. Найти минимум функции f{X) = _x> +9x] -10.x, -18jc₂ +34при ограничениях А (X) = *, + ^ _ ₅ == о_; g (х) = -0,5xf + х₂ - 4,5 > 0;

45. Найти минимум функции f(x) = х] + Ах\ - 1(Ц - \Ьх_г + 41

при ограничениях

= x\ -4х,

= -x,²+4х, + -3>0;

6. Найти минимум функции /(^) = х,² +4.х₂² -8х, -16х₂ +32 при ограничениях h(X) = -x_t +x₂ -1 = 0;

Л' 0 1 2 3 Точноеi

г 1 10 100 1000 >ешение

*,» 0,500 0,872 0,846 0,838 0,823

*\{г) 0,500 0,841 0,885 0,904 0,911

л

>,5оо ,298 ,345 ,359 ,393

0,500 _, 0,190 0,076 0,030 0

g(X'(r)) 0,680 0,210 0,038 0,007 0

Задание для лабораторной работы

Решить задачи условной оптимизации со смешанными ог­раничениями:

1. Найти минимум функции f(X) -■ х^г_{ + х\ - 4х, - 2х₂ + 5 при

ограничениях h(X) = x, +2x₂ =1; g(X) = -0,25xf -x;-\>0;

2. Найти минимум функцииf(X) = x₁² +х^ —\6х₁ -10х₂ +89при ограничениях h(X) = 2х\ -12х_] +9х₂ -27 =0;g(X) - -5х; +

7. Найти минимум функции f(X) = х² + 9х² - Юх, -Збх, + 61 при ограничениях /г(Х) = -х²-4х, +4х₂-12 = 0; g(X) = -3xf +

+ 7х₂+27>0.

3.2. Метод возможных направлений 3.2.1. Постановка задачи выпуклого программирования

Рассмотрим задачу выпуклого программирования (ЗВП) шт{/₀(ДГ)|у;(ЛГ)<&,,/£/,; {4,Х)*Ь„ ieI₂\0<X<c}. (3.10) Введем обозначения:

fft₍.-/;(*), «6/,;^:ii. _1л у\ ;_РЛ. (3.11)

3. Найти минимум функции /(.Y) = x,² +x²₂ -14х, -4х₂ +53 при ограничениях h(X) = 2xf -25,x₂ -125 = 0;g(A^r) = -x; +2х_] + + 4х₂ - 3 > 0;

Тогда задачу (3.10) можно

,и/, ⁽³¹²⁾

записать следующим образом:

^(ЗЛЗ) 47

46