3.1.1. Метод штрафных функций

В соответствии с основной идеей исходную задачу (3.1) со смешанными ограничениями сводим к решению последователь­ности задач поиска безусловного минимума некоторой вспомо­гательной функции, т. е. задач вида

,k = l,2,-, (3.3)

где Р(Х, г_к) - присоединенная функция, играющая роль штрафа за нарушение ограничений (3.2) исходной задачи (3.1); г_к- весо-

41

,мо которого достигается компромисс

вой коэффициент, с ^n0M0Wb^ * _ренИя ограничений (3.2) и про­между необходимостью ^^Wf^Z_nmf{X).цессом минимизации целево ^ называемая штрафной

быстро возрастала R. При этом можно , r_k) обладала

функцией, подбирается так

кция FIX, О ^^ при удалении точки

достаточно эффективные методы безусловной минимизации.

Итак при практическом построении штрафной функции Р(Х Г) необходимо учитывать, что она должна принимать бес-кон^нома^ые значения при выполнении ограничении исходной задачи и достаточно большие при их нарушении. Такими свой­ствами обладает, например, штрафная функция вида

(3.4)

Как нетрудно заметить, функция (3.4) тождественно рав­на нулю, еслиХеЛ, т.е. если выполняются все ограничения исход­ной задачи. Но при нарушении хотя бы одного из ограничений возникает «штраф», величину которого можно сделать сколь угод­но большой путем выбора параметра г_к > 0. Поэтому при реше­нии последовательности задач (3.3) требуют выполнения условия /-,-> оо при £-» да, чем достигается возрастание штрафной функ­ции Р(Х, г) -* да при Л-> ад. При этом минимизация расширенной функции F(X, r_k) обеспечивает выполнение ограничений исход­ной задачи со все большей точностью.

Обычно, если штрафная функция строится в виде (3.4), начальная точка поиска выбирается вне допустимой области R-

42

На каждом к-м этапе определяется точка Jf*^ минимума расши­ренной функции F(X, r) при заданном значении параметра г с помощью одного из методов безусловной минимизации. Полу­ченная точкам (г_к) используется в качестве начальной на следу­ющем этапе, выполняемом при большем значении параметра г При непрерывном возрастании г_к последовательность точекХ'(г') стремится к точке X" - точному решению исходной задачи (3.1). В качестве условия окончания поиска можно использовать неравенства

Ф^'Ы-фе,, \x'{r_k)-X'{r^)\\<z₂, (3.5) где е,, е₂ - параметры точности.

Поскольку элементы последовательности {Х\г)} приближа­ются к точке X* извне допустимой области, рассмотренный ме­тод называют методом внешней точки.

3.1.2. Метод барьерных функций

Этот метод применяется для решения задач условной опти­мизации с ограничениями типа неравенств, т.е. задач вида

rmn{f(X)\g_s{X)>O,s=\,...,p}. (3.6)

Идея метода заключается в сведении задачи (3.6) к последо­вательности задач безусловной минимизации:

mm{F(X,r_k) = f(X) + P(X,r_k)\XeE"}, (3.7)

где присоединенная функция Р(Х, r_k) выбирается таким образом, чтобы при больших к она мало отличалась от целевой функции f(X) во внутренних точках XeR, но неограниченно возрастала при приближении точки А'к границе области R. Влияние такой функ­ции при больших к состоит в создании «барьера» с крутыми скло­нами вдоль границы допустимой области. Поэтому они и назы­ваются барьерными функциями.

Такими свойствами обладает, например, функция

(3.8)

43

сти

_ит^_{областиур}при приближении к границ» ^^ ^ ^

Начальная™«»*^_{(г)||ИНИМуМ}а расширенной функ-дом *-м этапе ищется точка Л ( , _{одного ш}

ции при заданном значении г _точкаГ(,₄) использует-

fi^urnDRHOH МИНИМИЗаЦИИ. llOJiyib"' * j

ся в качестве начальной на следующем этапе, выполняемом при уменьшающемся значении параметра г, При ^ 0 последователь­ность точе^(^) стремится к точке условного минимума Г.

Барьерные функции как бы препятствуют выходу из множе­ства R а если решение задачи лежит на границе, то процедура метода приводит к движению изнутри области к границе.

В качестве критерия останова можно использовать те же неравенства (3.5), что и в методе штрафных функций.

Согласно описанной процедуре точки X (г_к) лежат внутри допустимой области для каждого г_к. Этим объясняется, что ме­тод барьерных функций иногда называют методом внутренней точки.