3.3.3. Алгоритм статистичекого градиента

В этом алгоритме, как и в предыдущем, в начале каждой итерации выбирается s реализаций 4'.---Д' случайного вектора £, и определяются пробные точки

Y^J=X^k+№^J,

где р > 0 - величина пробного шага. Далее, для всех Y'eR вычисляются значения функции/(А) и составляются разности Af=f(X^k) -f(Y^J). Затем формируется новое направление

60

3.3.2. Алгоритм наилучшей пробы

Л™"" ^аЛГ°^РИ™ ^{0Тличается от} предыдущего тем, что на каж­ итерации с помощью датчика случайных чисел формируется

где сумма берется только по тем;, 1 <; < s, для которых Y' e R, и по этому направлению делается шаг величиной а.

Если точка А"=Х^к₊аР\ полу ченная в результате этогооиага принадлежит допустимой области R, то полагают X X

61

повторяют

щей итерации. Если жеХг R, _то с новым набором из , реализа-

Построенный таким образом вектор /> называется статис­тическим градиентом. Такое название связано с тем, что в случае rTe" v = « iJ=e^j где е¹- единичные координатные векторы, описанный Алгоритм превращается в разностный аналог гради­ентного метода и направление Р^к при Р^О становится направле­нием антиградиента/(А) функции в точке X .

Величины 5>1,(3>0,а>0 являются параметрами алгоритма, существенно влияющими на качество итерационной процедуры.

Порядок выполнения работы

50. Кратко описать рассмотренные варианты метода случай­ного поиска.

51. Составить рабочие алгоритмы для каждого из них.

52. Выполнить с использованием компьютерного комплексарасчеты индивидуальной задачи по каждому из трех алгоритмовпри различных значениях их параметров.

53. Провести сравнительный анализ полученных результатов.Дать графическую иллюстрацию решения задачи по каждому алго­ритму.

54. Сформулировать выводы о влиянии параметров алгорит­мов на сходимость метода и о сравнительной эффективности изу­ченных алгоритмов. Содержание проделанной работы отразитьв отчете.

Задания для лабораторной работы Решить задачи нелинейного программирования:

( = x_] -2х₂+1>0;

. 9х₂ + 27 > 0; g, (X) = -5х² +16х₂ + 80 > 0;

+125 > 0; g₂ {X) = -х\ + 2х, + 4х₂ + 3 > 0; g₃ (X) = х, > 0; g₄ (X) =

55. f{X) = x; +9х; -Юх, -18x₂+34-»min; g_l{X) = -x_l -x_{2 +}+ 5>0;g₂{X) = -0,5х,² + х₂ + 4,5>0; g₃(X) = х, >0; g₄(А') = х₂ >0.

56. /(X) = х; + 4х; - 10х, - 16х₂ + 41 -> mm; g, {X) = -х] + 4х,- х₂ +1 > 0; g₂ (X) = -х,² + 4х, + Зх₂ - 3 > 0; g₃ {X) = х, > 0; g₄ (Z) =

= -2x,^: +4x,

= х,² +4.х² -8.x, -16х₂

7. /(Х) = х²+х²-4х,-:

g₂ (X) = -xf + х₂ > 0; g₃ {X) = х, > 0; g₄ {X) = х₂ > 0.

8. /(X) = х² + 9х₂² - 10-v, - 36х_: + 61 -> min; g, (X) = -х,² + 4х, •

— Ах + 12 > 0' " ' ^V^ ^v" 4- / V. + Z/ iiU, «,(-"■ / ⁼ *l -"' ^Л /

= х₂ > 0.

62

Предполагая, что функции/. (,, m _u(рывно дифференцируемы по совокупности1^*^_Шить поставленную задачу приближенно г ™ного метода первого порядка ^{С П}°^М°^ЩЬЮ

4 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

4.1. Постановка задачи оптимального управления

Рассматривается некоторая техническая система, математи­ческой моделью которой является гладкая динамическая система с непрерывным временем:

X = f(t,X(t),u(t)),te[t_o,t_k]; (4.1)

*('.) = *„; (4.2)

гдеX(t) = (*,«),x₂(t),...,xJLt)),u(t) = (_M,(0,.... и,(0),/= (f_vf_v-.f).

Начальное состояние системы {/₀, Д;_о)} и время перехода t_k - t₀считаются заданными, X(t_k) - свободно.

Качество управления предлагается оценивать интегральным функционалом

4.2. Градиентный метод решения задачи оптимального управления

4.2.1. Описание градиентного метода в функциональном пространстве

Градиентный метод является одним из эффективнейших чис­ленных методов решения задачи оптимального управления. Он состоит в последовательном «улучшении» некоторого произволь­но заданного управления, а именно: на каждом этапе улучшения предыдущее управление исправляется в напрвлении наибыстрей­шего приближения к искомому оптимальному управлению.

Перейдем к конструированию алгоритма, реализующего данный метод.

Пусть известно некоторое допустимое управление «нулево­го приближения» u-u"{t), которому соответствует в силу (4.1), (4.2) фазовая траектория X" (t) и некоторое численное значение функ­ционала /°=/ [и°(')]. вычисленное по формуле (4.3).

Построим новое управление

(4.4)

X{t),u{t))dt. (4.3)

'о

Тогда оптимизация рассматриваемой технической системы сводится к решению следующей задачи оптимального управле-

Для динамической системы (4.1) найти управление „(/),'^el'«.g. переводящее ее m_1a™_uu^ „_.. ^v J^

64

мала.

где 5w(0 такова, что норма ||5м| = max max

Тогда вариация фазовой траектории, вызванная таким рав­номерно малым изменением управления, будет подчиняться так называемым уравнениям в вариациях:

™Ж&хЬ)₊£-Н')М'лЪ ⁽⁴⁵⁾

Л дХ ^у'ди

= 0. <⁴-⁶>

65

ледующему результату.

дних от / = /₀ ДО' = '»с введением вспо-

к с

Л = 0. (4.7)

Однако непосредственное варьирование функционала (4.3) дает следующее соотношение:

\ /af° . Л I

(4.8

_671^

Добавим к правой части соотношения (4.8) равное нулю выражение (4.7):

5/ = <

Потребуем, чтобы вектор-функция X(t) удовлетворяла сле­дующим условиям:

(4.9)

40 = 0. (4.Ю)

Тогда задача построения согласно формулам (4.4) нового «улучшенного» управления сводится к задаче минимизации функ­ционала:

(4.11)

где Я =j 66

Очевидно, что поправки 5м = (5и (г), 6 ющие минимум 5/в соответствии с (4.11 следующим необходимым условиям:

_S1gn8_M(,)=s_lgn|:,v,e[,₀,_(t]. ₍₄₁₃₎

Таким образом, «улучшенное» управление u(t)=(u (/) „ (t) ..., м_г(/)), V?e[>₀, /J, найдем по формулам (4.4), задавая достаточно малые абсолютные значения поправок 8и, i = 1,..., г, и определяя их знаки по формулам (4.13).

Следует, однако, отметить, что предложенное правило вы­числения поправок 8м₍, / = 1, ..., г, V (£ [r_o, /J, не гарантирует обязательного убывания функционала (4.3) на каждом этапе рас­чета. Это объясняется невозможностью заранее предполагать, что принятым значениям поправок будет соответствовать значение 5/, близкое к А/. Поэтому на каждом этапе расчета следует нахо­дить Д/ = / - /° и в случае, если Л/ > 0, расчет следует повторить при уменьшенных |8м.|, i = 1,..., г.