3.2.6. Типовой пример

Решить задачу выпуклого программирования

Здесь 5=(s_]Vs₂) - искомый вектор; о-вспомогательная переменная; fo (X°),fx (Х°)- градиенты соответствующих функций в точке А"°,т.е. векторы

/_о'(дг°) = (2х, -10; 2л, -б)|_д.₀ = (-6;-6);

Итак, получили задачу в виде: max{a|-6i, -6s₂ +a<0; -s₂+g<0;s₂ >0;5, <1;.v₂ <l}.

Решим ее симплекс-методом. Вначале с целью уменьшения числа строк последующей симплекс-таблицы перейдем к новым переменным по формулам:

^l

55

чи к канонической форме введем' , _котора, _мо_

Определим длину шага а в этом направлении. Для этого найдем вначале то значение а', при котором луч Да) пересекает границу допустимой области R, т.е. найдем положительные кор­ни уравнений

^=12;

наша задача запишется так. max{_Л -Л 16*

Дальнейший процесс решения приведен в таблице.

				С		0		0		1		_ j		0			0
	С	р	R		А,		Аг		Аз		Аа		As		Аь			t
1	0		12		6		6		1		-1		1		0			12
2	0	At	1		0		1		1		-1		0		1			1
			0			0		0		-1		1	0			0
1	0	As	11		6		5		0		0		1		-1
2	1	Аз	1		0		1		1		-1		0		1
			1		0		1		0		0		0		1

Итак, задача решена за две итерации симплекс-метода и най­ден ее оптимальный план Y'=(0; 0; 1; 0; 11; 0), из которого полу­чаем у_] -0,у₂= 0. Тогда значения компонентов вектора, указыва­ющего наилучшее подходящее направление, вычисляются так:

Таким образом, в результате решения задачи выбора под­ходящего направления в точке Х°=(2; 0) найден вектор 5°= (1;1). тора "°^{СТРОИМ луч}' ^исх°Дятий из точки Г по направлению век-

56

а именно, уравнений

(2 + а)²-4(2 + а)-а + 4 = 0; -(2 + а)+2а-1 = 0; 2 + а = 3; 0 + а = 2

или а²-а = 0;а-3 = 0;2 + а = 3;а = 2. Отсюда найдутся корни а, = 0; а, = 1; а₃ = 3; а₄ = 1; а₅ = 2.

Таким образом, величина a' =min{l;3;l;2} =1. Далее, опре-

делим значение а", при котором функция /„(^(а)) достигает

минимума по а. Для этого приравняем к нулю производную этой функции по а и найдем корень полученного уравнения:

2(2 + a-5) + 2(a-3) = 0.

Отсюда получим а" = 3. Следовательно, искомое значение длины шага a₀ =min{a', a"} = mm {l;3} =1. Завершая итерацию, находим новую точку

1 Первая итерация полностью выполнена.

Задания для лабораторной работы Решить задачи выпуклого программирования: 1. Найти минимум функции f_o(X) = xf+x:-4x_t-2x₂+5 при ограничениях J\(X) = -x_i +2х₂ <1; f₁(X)=0,25x_l +x₂ _ ,

0<х, <0,5; 0<х,<1.

57

2 Найти минимум функции /₀ (X) - *, ₂

Wj^-2x²-12x, +9х₂<27; . при ограничениях f№)-^lx\ '

-16*₂-80<0; ₀<x,<4,5;0<x₂<4.

' 3 Найти минимум функции /₀ (X) = *,² ₊ х₂² - Их, - 4х_{2 +} 53 при ограничениях /(*) = tf ₊25х₂ <125; /₂(Х)=х,² -2х, --4х₂<3; 0<х, <4; 0<х₂<5.

46. Найти минимум функции f_o(X)--=xt +9x² -10x, -18x₂ +34при ограничениях f_t(X) = x, +x₂'<5; /₂(Х)=0,5х² -х₂ <4,5;0<х, <3,5; 0<х₂<4,5.

47. Найти минимум функции /₀ (Z) = х,² + 4х² - 10х, - 16х₂ + 41при ограничениях f_l{X) = x'-4x_] + х₂ <1; /₂(Х) = х,² -4х, --Зх₂<-3;0<х, <3,5;0<х₂<4.

48. Найти минимум функции /₀ (X) = х² + 4х₂ - 8х, -16х₂ + 32при ограничениях / (X) = -х, + х₂ < 1; /₂ (Х)= 2х] - 4х, - х₂ < -1;0<х, <3;0<х₂<3.

49. Найти минимум функции /₀ (X) = х\ + 9х₂² - 10х, - 36х₂ + 61при ограничениях f\X) = x] -4x, +4х₂<12; /₂(Л^р) = Зх₁² -7х₂ <<27;0<х, <3,5;0<х₂<3,5.

3.3. Метод случайного поиска

Рассмотрим задачу условной оптимизации

=R), (3.18)

допустимая область. Решить >вии неноепыинпй дифференцируемое™ фун-_>афных функций или одним ер, методом условного градиен-

та или методом проекции градиента. Однако на практике когда определение градиента функции/С*) затруднительно или велика размерность задачи (« и т - большие числа), предпочтение стда-ется методу случайного поиска.

Под названием метода случайного поиска объединяется большая группа поисковых методов, в которых для решения за­дачи (3.18) строится минимизирующая последовательность {X*} из Е" по правилу

*^W = **+a£\* = 0,l,2_>..., ₍3.i9)

где а_к > 0 - величина шага в случайном направлении

£*; £ = (si. • • •' \„) - какая-либо реализация л-мерного случайного

вектора Е, с известным законом распределения. Рекомендуется в качестве координат ^ случайного вектора £, выбирать независи­мые случайные величины, распределенные равномерно на отрез­ке Н;1].

Таким образом, метод случайного поиска предполагает на­личие датчика случайных чисел, обращаясь к которому можно получить реализацию случайного вектора \ с заданным законом распределения.

Изучим основные, наиболее употребительные варианты ме-' тода случайного поиска минимума функции f{X) на множестве RczE".

3.3.1. Поиск с возвратом при неудачном шаге

Этот алгоритм является простейшей реализацией метода случайного поиска. Смысл его заключается в следующем.

Пусть задано некоторое начальное приближение X eR. До­пустим, что нам уже известна точка Jf⁴e/U*0. С помощью датчи­ка случайных чисел получим какую-либо реализацию случайного вектора £,^к и в этом направлении по правилу (3.19) найдем точ^ку

где a > 0 - некоторое заданное начальное значение шага Полу­ченная точка X в общем случае может не удовлетворять ограни-

59

_Г-

—Гу» rZxl Формуле (,20> „р„

г. „ло_Ц1«_ю процедуру дробления шага повто-новом значении а. Описанную процедуру af

рять до тех пор, пока не выполнится условие XeR. Если же э гого добиться не удается вплоть до малого значения а_к< в, то выбран­ное случайное направление %^к следует считать неудачным. Также неудачным считается шаг, если условие XeR выполняется но зна­чение функции при этом не уменьшается, т.е./(А) >) (X У^отт следует возвратиться в исходное состояние, положив X -X и совершить новый шаг во вновь сформированном направлении. Если окажется, что количество неудачных шагов из точки Х\ не приводящих к уменьшению минимизируемой функции f(X), достаточно велико, то «неулучшаемая» точка л" может быть при­нята в качестве точки минимума функции/(АГ) в R, т.е. критерием прекращения поиска может служить выполнение соотношений

^=Xⁱ⁺¹=...=^^+w (3.21)

при достаточно большом N.

Если сделанный из точки Х^к шаг удачен, т.е. если найденная по формуле (3.20) точка XeR и при этом выполняется условие /(A) <f(X), то полученная точка ^принимается за очередную точ­ку минимизирующей последовательности, т.е. полагаем Х^кн = X и переходим к выполнению следующего этапа поиска, повторяя описанные операции в новой точке А"*^+|.

Для улучшения сходимости итерационного процесса реко­мендуется уменьшать начальное значение величины шага в каж­дой итерации по правилу сс^^-сс , 0 < у < 1.

В описанном варианте метода случайного поиска величины ос₀, р, у являются параметрами алгоритма, удачный выбор кото­рых существенно влияет на его эффективность.

некоторое заданное количество _s реализаций Ц » вектора t, и вычисляются значения функции {{Х)ъл точках

**+< , = !,..,, ₍₃,₂₎

которые принадлежат допустимой области R. Если все эти точки оказываются вне области R, то пробы повторяются с уменьшен­ным значением а. В качестве очередного (JH-l)-ro приближения выбирается пробная точка, в которой значение функции оказа лось наименьшим. Таким образом, (Ж)-я точкаX^м минимизи­рующей последовательности Определяется из соотношения

(3.23)

f(X^M) = mm {/[¥') | Y^JeR, 1 <j < s},

т.е. рабочий шаг выполняется в направлении наилучшей про­бы. Все остальные операции - те же, что и в предыдущем алго­ритме.

Величины 5 > 1 и а > 0 являются параметрами данного алгоритма, выбором которых можно улучшить его сходимость.