Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
2222.doc
Скачиваний:
91
Добавлен:
12.03.2015
Размер:
1.25 Mб
Скачать

3.2.4. Выбор наилучшего подходящего направления

Ограничение/,(X) < Ъ. ({Al,X)<b) называется активным в

фиксированной точкеЛ^е R, если/,(Х)= bi {{Акх/ = ь<)-

Шаг 1. Введем в рассмотрение множества индексов актив­ных ограничений в точке ле R:

У, к) = {/ е /,: / к) = *,} -индексное множество активных нелинейных ограничений;

j(xk) = \iel2 :Ц,Хк) = Ь1}- индексное множество актив­ных линейных ограничений;

51

Введем в ...,sYb

s(xk)=

Очевидно, что множество $(**) представляет собой мно­жество возможных направлений в точке X*, т.е. направлений не выводящих за пределы допустимой области.

Если Хк - внутренняя точка множества R, то Н [Хк) пусто,

т.е. нет активных ограничений и на выбор вектора S не наклады­вается никаких ограничений.

Шаг 3. Введем искусственную переменную а и определим множество (л+1)-мерных векторов с компонентами (st, s2,..., sn, о):

S'(Xk) =

Задачу выбора подходящего направления сформулируем как задачу линейного программирования:

(3.17)


max с

52

со-


s и еле-


Очевидно, что при а = О множества S'(**)H s(xk) впадают. Если, а > 0, то из ограничения (f,'(xk),S дует, что (fi'(xk),Sj<-cs, и направление S является подходя­щим. В этом случае (/;(хк),s)<О,iе/,к), т.е. S не направ­лено по касательной к нелинейным границам. При этом чем больше а, тем больше отличается от нуля (fl'^Xk),s\; т.е. тем

больший угол образуется между Sи внешней нормалью /•'(**). Поэтому в задаче (3.17) указывается требование максимизации. Если а < 0, то точка Хк оказывается точкой минимума функ-ЦИиДО-

Присутствие в задаче (3.17) ограничения о < 1 объясняется следующим образом. Когда речь идет о выборе направления, нас интересует именно направление, которое задается некоторым век­тором произвольной длины. Однако при решении ЗЛП (3.17) ве­личина а может оказаться неограниченной. Чтобы этого избе­жать следует наложить на длину вектора S некоторые ограниче­ния. Поэтому в постановке задачи (3.17) должно присутствовать так называемое условие нормализации. Таким условием может быть одно из следующих ограничений:

№ 1. (S,S)<\.

№ 2. —1 < 5 ■ ^ 1>У/ = 1>Я-

№ 3. s < 1, если-^- < 0; j. > -1, если^- > 0.

1 ах ох.

№4. а <, 1.

53

3.2.5. Определение длины шага

keR определено наилучшее подходящее на- теперь длину шага в этом направлен^,

те найдем такое числом при котором/„(X +а5 ), как функ­ция переменной а, принимает по а > 0 в допустимой обЛасти Ми. нимальное значение:

Эту задачу удобно решать в два этапа:

Шаг1, Определить значение а' = max {а: Хк + aSk e R), т е определить значение а, при котором луч Х(а) = Хк +aSk eR пе­ресекает границу области R. Это достигается нахождением кор­ней уравнений

где /0 (X) = х* + х\ -Юх, - 2 + 34;

= -*, +2*2-1.

Выполним одну итерацию рассмотренного метода возмож­ных направлений. В качестве начального приближения выберем точку Г°=(2;0).

Определим индексные множества активных ограничений в

Х°

точке Х°:

Поставим задачу выбора наилучшего подходящего направ­ления S в точке X как задачу линейного программирования с нормализацией № 3:

()

и выбором из них наименьшего положительного. Шаг 2. Выбрать число

a":fo(xk +a"Sk) = mm{fn(Xk +aSk)\ a>oj.

Если минимум достигается в точке Хк + a"S* , не принадле­жащей области R, тогда в качестве длины шага выбирается a '. Если же минимум достигается в допустимой области R, то в каче­стве длины шага берется a ".

Таким образом, длина шага ак,выполняемого т точки Хкв выбранном направлении S\ устанавливается по правилу: a, =min{a',a"}.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]