2. Граничные условия для касательных составляющих векторов поля

Найдем граничные условия для касательных составляющих векторов напряженностей поля. Для этого сначала применим интегральную форму первого уравнения Максвелла к контуру (рис. 2б). Пустьи— орты нормали и касательной к поверхности S в точке (предполагаем, что нормаль и касательная в каждой точке существуют). Введем в точке орттакой, что . Считаем, что на контур натянута поверхность и .

При имеем: .

Интеграл по замкнутому контуру представляется в виде суммы интегралов по частям контура , и двух интегралов по боковым сторонам . Но если , то два последних интеграла стремятся к нулю. В интеграле правой части равенства при малом можно воспользоваться теоремой о среднем и вынести плотность полного тока из-под знака интеграла. Таким образом, получаем

(8)

Применим к контуру второе уравнение Максвелла в интегральной форме с учетом заданной плотности стороннего магнитного тока

, где - фиктивные сторонние токи

При при тех же условиях, получаем

(9)

В реальных средах на поверхности раздела и не обращаются в бесконечность (не имеют особенности), поэтому их произведения на при стремятся к нулю. Применяя теорему о среднем и сокращая результат на , имеем

Если — некоторый вектор, то — определяет касательную к поверхности S составляющую этого вектора. Таким образом, последние равенства дают математическую запись граничных условий на поверхности раздела сред

(10)

т.е. касательные составляющие векторов напряженностей электрического и магнитного полей остаются непрерывными при переходе через поверхность раздела реальных сред. Для комплексных амплитуд получаем:

(11)

3.Граничные условия на поверхности идеально проводящего тела.

Если тело объема V — металл, то его проводимость велика. При построении математической модели предполагают, что ,т.е. телу присваивают свойства идеального проводника, в котором ЭМ поле не может существовать — оно вытесняется в бесконечно тонкий слой у поверхности S . Надо установить граничные условия на S. Тело находится в изотропной непроводящей среде.

Пусть . Тогда при и . В плотности объемных электрического и стороннего магнитного зарядов у поверхности S выражаются произведениями соответствующих плотностей поверхностных зарядов и - функции, т.е. и (фиктивный сторонний магнитный заряд) имеют особенности при . Так как по определению (— физически бесконечно малый объем), то

где — плотность поверхностного электрического заряда.

Тогда . Аналогично,. Таким образом, получаем граничные условия на поверхности идеального проводника

(12)

Если , тои, следовательно,

, т.е. (13)

Устанавливаем поведение касательных к поверхности составляющих векторов Е и Н. Электрический и магнитный токи смещения через поверхность , опирающуюся на контур , при стремятся к нулю, так как на S они не имеют особенностей. Но контур охватывает полный ток проводимости или сторонний магнитный ток. Итак, при при

, a , где v — средняя скорость носителей заряда, (рис.3,б). Поскольку заряд сосредоточен на поверхности, то и , где J — плотность поверхностного тока.

Аналогичным образом получаем: , где — плотность поверхностного стороннего магнитного тока.

Таким образом, из находим

(14)

Эти условия показывают, что на идеально проводящем теле, расположенном в изотропной непроводящей среде, касательная составляющая вектора эквивалентна перпендикулярной ей составляющей плотности поверхностного электрического тока, а касательная составляющая вектора эквивалентна плотности стороннего поверхностного магнитного тока. Из последнего следует вывод: в математической модели оказывается возможным в качестве плотности поверхностного фиктивного стороннего магнитного тока задавать касательную составляющую вектора Е.

Отметим, что на идеально проводящем теле можно создать с помощью, например, щелей или отверстий в теле, в которых возбуждается ЭМ поле. Между кромками щелей возникает напряженность электрического поля, которую в (14) можно заменить плотностью поверхностного магнитного тока.

Если сторонние токи на теле отсутствуют, то получаем граничные условия

(15)

где J^B— плотность вторичного (индуцированного) поверхностного электрического тока

С помощью (15), можно получить для линейных изотропных непроводящих средважные условия, определяющие поведение векторов Н и Е у поверхности идеально проводящего тела. Расположим начало декартовой системы координат в некоторой точке локально у плоской поверхности раздела сред и направим осьzперпендикулярно этой поверхности (рис. 3,б). Тогдаикасаются поверхности в этой точке. Вне сторонних источников

.

Но на поверхности, т.е. при z = 0, касательные к поверхности составляющие Е должны обращаться в нуль, значит, , . Поскольку производные по х и у — это производные в поперечном относительно нормали направлении, то при z = 0. Таким образом, учитывая, что есть производная по нормали к S , а и — это касательные к S составляющие вектора, имеем

, т.е.при(16)

Для комплексных амплитуд получаем

(17)

При отсутствии сторонних токов на S имеем

Итак, на поверхности идеального проводника нормальная составляющая вектора и касательная составляющая вектора обращаются в нуль, а касательная составляющая вектора имеет экстремум. Эти граничные условия позволяют утверждать, что силовые линии магнитного поля (замкнутые) подходят к идеально проводящему телу так, что только касаются его поверхности, сгущаясь у этой поверхности. Силовые линии электрического поля к идеальному проводнику подходят так, что всегда перпендикулярны его поверхности.

В линейной изотропной однородной непроводящей () среде при отсутствии сторонних зарядов на S имеем: т.е. . Если точка р находится на поверхности S (при z = 0), то поскольку при z = 0 ,

необходимо, чтобы выполнялось граничное условие приz= 0. Таким образом, на идеально проводящей поверхности тела. Это позволяет утверждать, что на поверхности идеально проводящего тела нормальная составляющая вектора имеет зкстремум.

Нормальная составляющая вектора претерпевает скачкообразное изменение.