Тема 7 Плоские волны в однородной изотропной среде Плоские волны в среде без потерь
Рассмотрим однородную плоскую волну в среде без потерь. Свойства среды описываются абсолютными диэлектрической а и магнитной а проницаемостями. Векторы и однородной плоской волны удовлетворяют уравнениям Максвелла без сторонних источников. Поэтому в однородной среде без потерь можно определить из системы уравнений Максвелла с вещественным волновым числом (, где f – частота колебаний:
(1)
(2)
Поскольку в однородной плоской волне составляющие могут зависеть только от одной координаты z, перпендикулярной плоским волновым поверхностям, то уравнение (1) примет вид:
, , (3)
Дифференциальные уравнения второго порядка для и (3) имеют общие решения:
, (4)
где – произвольные постоянные интегрирования, представляющие собой комплексные амплитуды вектора поля при z = 0 (например, ).
Подставляя (4) в (2), определим составляющие :
, , (5)
П
Рис.13
(6)
С
(7)
Поверхности равных фаз (ПРФ) в данном случае определяются уравнением , т.е. представляют собой плоскости, перпендикулярные оси . Волну, ПРФ которой образуют семейство параллельных создаваемую ЭЭВ, в пределах области V можно рассматривать как плоскую волну плоскостей, называют плоской волной.
2. Свойства плоской волны в однородной изотропной среде
Исследуем основные свойства плоской волны, распространяющейся в безграничной однородной изотропной среде. Источники, создающие волну, находятся за пределами рассматриваемой области. Поэтому векторы и удовлетворяют однородным уравнениям Гельмгольца. Предположим, что поле не зависит от координат и . Тогда уравнения принимают вид
(8)
где . Решая уравнение для вектора , получаем
(9)
где и - некоторые векторные, в общем случае комплексные, постоянные.
Считаем, когда потери в среде обусловлены только ее проводимостью, введем обозначение
(10)
получаем . Отметим, что больше величины в среде без потерь с теми же значениями и . Аналогично, обозначая
(11)
получаем .
Рассмотрим волну в момент в точке фаза напряженности электрического поля, соответствующего этой волне, равна . В момент в точке фаза той же функции равна . Полагая , приходим к соотношению . Как видно, положительным приращениям соответствуют положительные приращения . Следовательно, такая волна распространяется в положительном направлении оси .
Предположим, что источник, создающий электромагнитное поле, расположен со стороны отрицательных значений (рис.13). Так как среда считается безграничной и однородной, в рассматриваемой области пространства должна существовать только волна, распространяющаяся в положительном направлении оси . Поэтому в первом слагаемом в формуле (11) в соответствии с выбором вида множителя следует положить
(12)
При выбранном значении второе слагаемое в (9) описывает волну, распространяющуюся к источнику. Так как среда является однородной, то . Следовательно.
Аналогично, из уравнения Гельмгольца для вектора находим, что , где - некоторый постоянный (в общем случае комплексный) вектор. Непосредственно из уравнений Гельмгольца дополнительной информации о векторах и получить нельзя. Однако векторы и должны удовлетворять уравнениям Максвелла. Так как векторы и не зависят от переменных и , то, проецируя указанные уравнения на ось , замечаем, что и . Таким образом, и в случае векторы и перпендикулярны направлению распространения волны. Такие волны называют поперечными. Проецируя затем уравнения на оси X и У, приходим к соотношениям ,, из которых следует, что
(13)
где - характеристическое сопротивление волны (отношение поперечных к направлению распространения волны составляющих векторов и ). У волны, распространяющейся в среде с потерями, - комплексное число. В рассматриваемом случае
(14)
где
; (15)
В среде без потерь и ; .
Таким образом, поле плоской волны в среде с проводимостью, отличной от нуля, определяется выражениями
(16)
В среде без потерь ,
При изменении удельной проводимости от нуля до бесконечности угол увеличивается от нуля до , а модуль убывает от до нуля. Как видно, наличие потерь приводит к уменьшению абсолютной величины характеристического сопротивления, т.е. к увеличению при заданном значении . Это обусловлено тем, что величина определяется как током проводимости, так и током смещения. В среде без потерь существуют только токи смещения. В среде с потерями при тех же значениях и токи смещения остаются прежними, но к ним добавляются токи проводимости.
Проанализируем полученные результаты. Рассмотрим сначала случай, когда вектор имеет лишь одну составляющую, например, . Тогда вектор также будет иметь одну составляющую, перпендикулярную (в рассматриваемом примере ). Считая вектор вещественным () и переходя к мгновенным значениям векторов и из получаем
(17)
В случае среды без потерь формулы принимают вид
(18)
Из полученных формул видно, что поле плоской волны в однородной изотропной среде обладает следующими свойствами. Волна является поперечной. Комплексные амплитуды ( и ) векторов и всегда взаимно перпендикулярны, а в частном случае, когда вектор имеет одну составляющую (например, ), взаимно перпендикулярны и их мгновенные значения. Поверхности равных фаз определяются уравнением и представляют собой семейство плоскостей, перпендикулярных оси . Амплитуды векторов и экспоненциально убывают вдоль оси . Постоянную называют коэффициентом ослабления. В среде без потерь и
Рис.14
Рис.15
амплитуды векторов и не зависят от координат. При поверхности равных амплитуд (ПРА) совпадают с ПРФ. Волны, обладающие таким свойством, как и волны, амплитуды векторов и которых не зависят от координат, называют однородными. При между векторами и имеется фазовый сдвиг. Вектор опаздывает по фазе относительно вектора на угол . В среде без потерь векторы и изменяются синфазно. При изменении от нуля до бесконечности фазовый сдвиг возрастает от нуля до . На рис.14 и 15 показаны зависимости мгновенных значений векторов и от времени в некоторой фиксированной точке пространства () в среде с и в среде без потерь. На рис.16 и 17 показаны зависимости тех же величин от координаты в некоторый фиксированный момент времени для случаев и .
Фазовая скорость плоской волны находится так же, как в случае сферической волны. Рассмотрим перемещение ПРФ за время . В результате придем к равенству , из которого следует, что при
Рис.16
Рис.17
(19)
В среде без потерь и , т.е. равна скорости света в среде с теми же параметрами и . Так как , то в среде с потерями меньше в среде без потерь с теми же и .
Параметр , определяющий фазовую скорость, называют коэффициентом фазы. При фазовая скорость зависит от частоты (): с увеличением последней она возрастает. Предельное значение при равно . Кроме того, величина зависит от проводимости среды: при одинаковой частоте она будет меньше в среде с большей проводимостью.
Длина волны при
(20)
Она меньше длины волны в среде без потерь с теми же и . Ее значение зависит от проводимости среды. При длина волны , где .
Распространение волны сопровождается переносом энергии. При комплексный вектор Пойнтинга
(21)
содержит как действительную, так и мнимую часть. Это означает, что имеется как активный, так и реактивный поток энергии. Средняя за период плотность потока энергии экспоненциально убывает вдоль оси :
(22)
При комплексный вектор Пойнтинга является чисто действительным и не зависит от координат:
(23)
Как видно, в этом случае имеется только активный поток энергии.
Возникновение реактивного потока энергии в среде с может быть объяснено следующим образом. При распространении электромагнитной волны в среде возникают электрические токи с плотностью , на поддержание которых расходуется часть энергии волны. В свою очередь, возникшие в среде электрические токи, излучают .электромагнитное поле: создают вторичную плоскую волну, которая складывается с первичной, происходит непрерывный обмен энергией между волной и средой, что и приводит к возникновению реактивного потока энергии.
Скорость распространения энергии вычисляется по формуле и равна фазовой скорости:
(24)
Как видно, при скорость распространения энергии зависит от частоты. В среде без потерь одинакова при любой частоте.
Характеристическое сопротивление волны при также зависит от частоты. Модуль возрастает с увеличением . Его предельное значение при совпадает с характеристическим сопротивлением волны, распространяющейся в среде без потерь с теми же и , т.е. равно . Аргумент характеристического сопротивления изменяется от (при ) до нуля (при ).
Из изложенного следует, что свойства плоской волны, распространяющейся в среде с проводимостью и в среде без потерь, различны. Основное отличие состоит в том, что в среде без потерь параметры плоской волны ( и др.) одинаковы при любых частотах, а в среде с проводимостью они зависят от частоты. Зависимость свойств волны от частоты называется дисперсией, а соответствующие среды - диспергирующими. Отметим, что среда может быть диспергирующей и при , если характеризующие ее параметры и зависят от частоты.
В общем случае вектор имеет две составляющие и , между которыми возможен фазовый сдвиг. При этом вектор также будет иметь две составляющие и . Если составляющие вектора по осям и ( и ) изменяются синфазно, то поворотом осей координат и вокруг оси этот случай сводится к уже рассмотренному, когда вектор имеет одну составляющую. При наличии между составляющими и фазового сдвига, не равного , где - целое число, волна имеет некоторые особенности, например при мгновенные значения векторов не являются взаимно перпендикулярными. Перечисленные выше остальные свойства плоской волны имеют место и в этом случае.