
Тема 7 Плоские волны в однородной изотропной среде Плоские волны в среде без потерь
Рассмотрим
однородную плоскую волну в среде без
потерь. Свойства среды описываются
абсолютными диэлектрической а
и магнитной а
проницаемостями. Векторы
и
однородной плоской волны удовлетворяют
уравнениям Максвелла без сторонних
источников. Поэтому в однородной среде
без потерь
можно определить из системы уравнений
Максвелла с вещественным волновым
числом
(
,
где f –
частота колебаний:
(1)
(2)
Поскольку
в однородной плоской волне составляющие
могут
зависеть только от одной координаты z,
перпендикулярной плоским волновым
поверхностям, то уравнение (1) примет
вид:
,
,
(3)
Дифференциальные
уравнения второго порядка для
и
(3) имеют общие решения:
,
(4)
где
– произвольные постоянные интегрирования,
представляющие собой комплексные
амплитуды вектора поля при z = 0
(например,
).
Подставляя
(4) в (2), определим составляющие
:
,
,
(5)
П
Рис.13
и
требуется
знать только в области
,
размеры которой малы по сравнению с
расстоянием до источника (
).
Введем декартову систему координат
,
ось
которой
проведена вдоль радиуса-вектора,
соединяющего середину вибратора
с
точкой
,
принятой за начало координат (рис. 13). В
пределах области
можно пренебречь изменением амплитуд
векторов
и
и, кроме того, считать, что их фазы зависят
только от координаты
,
т.е.
считать, что
,
a
Запишем:
(6)
С
и
перпендикулярны
друг другу и направлению распространения
волны (оси
).
Ориентация
векторов
и
относительно
осей
и м зависит от ориентации источника,
создающего поле. В общем случае эти
векторы могут иметь как
-ю,
так и
-ю
составляющие, связанные соотношениями
(7)
Поверхности
равных фаз (ПРФ) в данном случае
определяются уравнением
,
т.е.
представляют собой плоскости,
перпендикулярные оси
.
Волну, ПРФ которой образуют семейство
параллельных создаваемую ЭЭВ, в пределах
области
V можно
рассматривать как плоскую волну
плоскостей, называют
плоской волной.
2. Свойства плоской волны в однородной изотропной среде
Исследуем
основные свойства плоской волны,
распространяющейся в безграничной
однородной изотропной среде. Источники,
создающие волну, находятся за пределами
рассматриваемой области. Поэтому векторы
и
удовлетворяют однородным уравнениям
Гельмгольца. Предположим, что поле не
зависит от координат
и
.
Тогда уравнения принимают вид
(8)
где
.
Решая
уравнение для вектора
,
получаем
(9)
где
и
- некоторые векторные, в общем случае
комплексные, постоянные.
Считаем, когда потери в среде обусловлены только ее проводимостью, введем обозначение
(10)
получаем
.
Отметим, что
больше величины
в среде без потерь с теми же значениями
и
.
Аналогично, обозначая
(11)
получаем
.
Рассмотрим
волну в момент
в точке
фаза напряженности электрического
поля, соответствующего этой волне, равна
.
В момент
в точке
фаза той же функции равна
.
Полагая
,
приходим к соотношению
.
Как видно, положительным приращениям
соответствуют положительные приращения
.
Следовательно, такая волна распространяется
в положительном направлении оси
.
Предположим,
что источник, создающий электромагнитное
поле, расположен со стороны отрицательных
значений
(рис.13).
Так как среда считается безграничной
и однородной, в рассматриваемой области
пространства должна существовать только
волна, распространяющаяся в положительном
направлении оси
.
Поэтому
в первом слагаемом в формуле (11) в
соответствии с выбором вида множителя
следует
положить
(12)
При
выбранном значении
второе слагаемое в (9) описывает волну,
распространяющуюся к источнику. Так
как среда является однородной, то
.
Следовательно
.
Аналогично,
из уравнения Гельмгольца для вектора
находим, что
,
где
-
некоторый постоянный (в общем случае
комплексный) вектор. Непосредственно
из уравнений Гельмгольца дополнительной
информации о векторах
и
получить нельзя. Однако векторы
и
должны
удовлетворять уравнениям Максвелла.
Так как векторы
и
не
зависят от переменных
и
,
то, проецируя указанные уравнения на
ось
,
замечаем,
что
и
.
Таким образом, и в случае
векторы
и
перпендикулярны
направлению распространения волны.
Такие волны называют
поперечными.
Проецируя затем уравнения на оси X и У,
приходим к соотношениям
,
,
из которых следует, что
(13)
где
-
характеристическое сопротивление волны
(отношение поперечных к направлению
распространения волны составляющих
векторов
и
).
У волны, распространяющейся в среде с
потерями,
-
комплексное число. В рассматриваемом
случае
(14)
где
;
(15)
В
среде без потерь
и
;
.
Таким образом, поле плоской волны в среде с проводимостью, отличной от нуля, определяется выражениями
(16)
В
среде без потерь
,
При
изменении удельной проводимости от
нуля до бесконечности угол
увеличивается от нуля до
,
а модуль
убывает от
до
нуля. Как видно, наличие потерь приводит
к уменьшению абсолютной величины
характеристического сопротивления,
т.е. к увеличению
при заданном значении
.
Это обусловлено тем, что величина
определяется как током проводимости,
так и током смещения. В среде без потерь
существуют только токи смещения. В среде
с потерями при тех же значениях
и
токи смещения остаются прежними, но к
ним добавляются токи проводимости.
Проанализируем
полученные результаты. Рассмотрим
сначала случай, когда вектор
имеет лишь одну составляющую, например,
.
Тогда вектор
также будет иметь одну составляющую,
перпендикулярную
(в рассматриваемом примере
).
Считая вектор
вещественным
(
)
и переходя к мгновенным значениям
векторов
и
из получаем
(17)
В случае среды без потерь формулы принимают вид
(18)
Из
полученных формул видно, что поле плоской
волны в однородной изотропной среде
обладает следующими свойствами. Волна
является поперечной. Комплексные
амплитуды (
и
)
векторов
и
всегда взаимно перпендикулярны, а в
частном случае, когда вектор
имеет одну составляющую (например,
),
взаимно перпендикулярны и их мгновенные
значения. Поверхности равных фаз
определяются уравнением
и
представляют собой семейство плоскостей,
перпендикулярных оси
.
Амплитуды
векторов
и
экспоненциально
убывают вдоль оси
.
Постоянную
называют
коэффициентом ослабления.
В среде без потерь
и
Рис.14
Рис.15
амплитуды
векторов
и
не зависят от координат. При
поверхности равных амплитуд (ПРА)
совпадают с ПРФ. Волны, обладающие таким
свойством, как и волны, амплитуды векторов
и
которых не зависят от координат, называют
однородными.
При
между
векторами
и
имеется фазовый сдвиг. Вектор
опаздывает по фазе относительно вектора
на угол
.
В среде без потерь векторы
и
изменяются синфазно. При изменении
от нуля до бесконечности фазовый сдвиг
возрастает от нуля до
.
На рис.14 и 15 показаны зависимости
мгновенных значений векторов
и
от
времени
в
некоторой фиксированной точке пространства
(
)
в
среде с
и в среде без потерь. На рис.16 и 17 показаны
зависимости тех же величин от координаты
в некоторый фиксированный момент времени
для
случаев
и
.
Фазовая
скорость
плоской волны находится так же, как в
случае сферической волны. Рассмотрим
перемещение
ПРФ за время
.
В
результате придем к равенству
,
из
которого следует, что при
Рис.16
Рис.17
(19)
В
среде без потерь
и
,
т.е. равна скорости света в среде с теми
же параметрами
и
.
Так как
,
то
в
среде с потерями меньше
в
среде без потерь с теми же
и
.
Параметр
,
определяющий фазовую скорость, называют
коэффициентом
фазы.
При
фазовая скорость зависит от частоты
(
):
с увеличением последней она возрастает.
Предельное значение
при
равно
.
Кроме того, величина
зависит от проводимости среды: при
одинаковой частоте она будет меньше в
среде с большей проводимостью.
Длина
волны при
(20)
Она
меньше длины волны в среде без потерь
с теми же
и
.
Ее значение зависит от проводимости
среды. При
длина
волны
,
где
.
Распространение
волны сопровождается переносом энергии.
При
комплексный
вектор Пойнтинга
(21)
содержит
как действительную, так и мнимую часть.
Это означает, что имеется как активный,
так и реактивный поток энергии. Средняя
за период плотность потока энергии
экспоненциально убывает вдоль оси
:
(22)
При
комплексный вектор Пойнтинга является
чисто действительным и не зависит от
координат:
(23)
Как видно, в этом случае имеется только активный поток энергии.
Возникновение
реактивного потока энергии в среде с
может
быть объяснено следующим образом. При
распространении электромагнитной волны
в среде возникают электрические токи
с плотностью
,
на поддержание которых расходуется
часть энергии волны. В свою очередь,
возникшие в среде электрические токи,
излучают .электромагнитное поле: создают
вторичную плоскую волну, которая
складывается с первичной, происходит
непрерывный обмен энергией между волной
и средой, что и приводит к возникновению
реактивного потока энергии.
Скорость распространения энергии вычисляется по формуле и равна фазовой скорости:
(24)
Как
видно, при
скорость
распространения энергии зависит от
частоты. В среде без потерь
одинакова
при любой частоте.
Характеристическое
сопротивление волны
при
также зависит от частоты. Модуль
возрастает
с увеличением
.
Его
предельное значение при
совпадает с характеристическим
сопротивлением волны, распространяющейся
в среде без потерь с теми же
и
,
т.е. равно
.
Аргумент характеристического сопротивления
изменяется
от
(при
)
до нуля (при
).
Из
изложенного следует, что свойства
плоской волны, распространяющейся в
среде с проводимостью и в среде без
потерь, различны. Основное отличие
состоит в том, что в среде без потерь
параметры плоской волны (
и
др.) одинаковы при любых частотах, а в
среде с проводимостью они зависят от
частоты. Зависимость свойств волны от
частоты называется
дисперсией,
а соответствующие среды -
диспергирующими.
Отметим, что среда может быть диспергирующей
и при
,
если характеризующие ее параметры
и
зависят
от частоты.
В
общем случае вектор
имеет две составляющие
и
,
между которыми возможен фазовый сдвиг.
При этом вектор
также будет иметь две составляющие
и
.
Если составляющие вектора
по осям
и
(
и
)
изменяются синфазно, то поворотом осей
координат
и
вокруг оси
этот
случай сводится к уже рассмотренному,
когда вектор
имеет одну составляющую. При наличии
между составляющими
и
фазового сдвига, не равного
,
где
- целое число, волна имеет некоторые
особенности, например при
мгновенные
значения векторов
не являются взаимно перпендикулярными.
Перечисленные выше остальные свойства
плоской волны имеют место и в этом
случае.